九年级数学中考专题复习等腰三角形中的分类讨论考前强化提升训练

九年级数学中考复习《等腰三角形中的分类讨论》考前强化提升训练（附答案）一．选择题1．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（）A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°2．等腰三角形一边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）A． B． C．或 D．或3．等腰三角形的一个底角是40°，则它的顶角是（）A．100° B．40°或70° C．70° D．40°4．已知直线y＝﹣x+与x轴，y轴分别交于A，B两点，在x轴上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（）个A．2 B．3 C．4 D．55．在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或65°或80°6．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（）A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°7．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是（）A．24 B．25 C．26 D．24或258．△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（）A．67.5° B．22.5° C．45° D．67.5°或22.5°二．填空题9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝5，点P为△ABC内一动点．过点P作PD⊥AC于点D，交AB于点E．若△BCP为等腰三角形，且S△PBC＝，则PD的长为．10．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD⊥AC，垂足为D，点E在直线BC上，若CD＝CE，则∠BDE的度数为．11．已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝20°，则∠BAC的度数为．12．如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．三．解答题13．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点M在BC的反向延长线上，BM＝10，作射线MP⊥CM，点D从B出发，沿射线BM方向以每秒3个单位长变的速度运动，点Q从M点出发，沿射线MP方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D，Q两点同时出发，运动时间为t秒．（1）当t＝2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值．（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形．（3）是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请兑明理由．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）当点P在线段AB上时，BP＝cm．（用含t的代数式表示）（2）若△BCP为直角三角形，则t的取值范围是．（3）若△BCP为等腰三角形，直接写出t的值．（4）另有一动点Q从点C开始，按B→A→C→B的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．请直接写出t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．15．如图，方格纸中的每个小方格的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣3，0）．（1）点D的坐标为；（2）在图中作出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；（3）点E是x轴上的一个动点，当△OAE为等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．16．如图，CD是△ABC的高，CD＝8，AD＝4，BD＝3，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），PE⊥AB于点E，DF＝DE，FQ⊥AB于点F，交AC于点Q，连接QE．（1）若点P是BC的中点，则QE＝；（2）在点P的运动过程中，①EF+FQ的值为；②当点P运动到何处时，线段QE最小？最小值是多少？③当△AQE是等腰三角形时，求BE的长．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点P从点A出发以每秒5个单位的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒6个单位的速度向终点C运动，连接PQ，点P绕点Q顺时针旋转90°得到点M，以P、Q、M为顶点作正方形PQMN，设点P运动时间为t秒（t＞0）．（1）用含t的代数式表示线段BP的长．（2）当△PQB为钝角三角形时，求t的取值范围．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形时，求出此时t的值．（4）当△AMN是等腰三角形时，直接写出t的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连结AF，CD．设点D运动时间为t秒．（1）BC的长为；（2）当t＝2时，求△ADC的面积．（3）当△ABF是等腰三角形时，求t的值．19．如图，长方形ABCD中，AB＝10，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝7．（1）求AE的长；（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，△PAE是等腰三角形；②当t＝时，PE⊥AE．20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，AC＝5．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，运动速度为1单位长度/秒；同时点Q从点B出发，沿BA以1单位长度/秒的速度向终点A运动，当点Q经过AB中点D处时，停止1秒，然后继续运动．连结PQ，以PQ为边作正方形PQMN．设正方形PQMN的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）当PQ⊥AC时，求PQ的长．（2）当△APQ为等腰三角形时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）直接写出线段PQ在整个运动过程中的最小值．

参考答案一．选择题1．解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．有两种情况：①顶角∠A＝50°；②当底角是50°时，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故选：D．2．解：如图等腰△ABC，AB＝AC，过点A作AD⊥BC垂足为D，则BD＝BC．当底BC＝10cm时，∵等腰三角形周长为36cm，∴AB＝AC＝13cm，BD＝5cm．∴cosB＝cosC＝＝；当腰BA＝CA＝10cm时，∵等腰三角形周长为36cm，∴BC＝16cm，BD＝8cm．∴cosB＝cosC＝＝＝．故选：C．3．解：因为其底角为40°，所以其顶角＝180°﹣40°×2＝100°．故选：A．4．解：当x＝0时，y＝﹣x+＝，∴点B的坐标为（0，），OB＝；当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝1，∴点A的坐标为（1，0），OA＝1．在Rt△OAB中，OB＝，OA＝1，∠AOB＝90°，∴AB＝＝2，sin∠BAO＝，∴∠BAO＝60°．当BP＝BA时，OP＝OA，∴点P1的坐标为（﹣1，0）；当AP＝AB时，AP＝2，∵点A的坐标为（1，0），∴点P2的坐标为（3，0），点P3的坐标为（﹣1，0）；当PB＝PA时，∠BAO＝60°，∴△ABP为等边三角形，∴AP＝AB＝2，∴点P4的坐标为（﹣1，0）．综上所述：符合条件的点P有2个．故选：A．5．解：∠A＝180°﹣130°＝50°．当AB＝AC时，∠B＝∠C＝（180°﹣50°）＝65°；当BC＝BA时，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；当CA＝CB时，∠A＝∠B＝50°．∠B的度数为50°或65°或80°，故选：D．6．解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×＝65°；当50°是底角时亦可．故选：C．7．解：方程x2﹣10x+m＝0的有两个实数根，则Δ＝100﹣4m≥0，得m≤25，当底边长为4时，另两边相等时，x1+x2＝10，∴另两边的长都是为5，则m＝x1x2＝25；当腰长为4时，另两边中至少有一个是4，则4一定是方程x2﹣10x+m＝0的根，代入得：16﹣40+m＝0解得m＝24．∴m的值为24或25．故选：D．8．解：①如右图所示，CD在△ABC内部，∵AB＝AC，CD为AB上的高，∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠BCD＝∠ACB﹣ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°；②如右图所示，CD在△ABC外部，∵AB＝AC，CD为AB上的高，∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠B＝∠ACB＝×45°＝22.5°，∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝22.5°+45°＝67.5°；故答案是22.5°或67.5°．故选：D．二．填空题9．解：∵S，∴CD＝3，∴AD＝AC﹣CD＝6，∵∠ACB＝90°，PD⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，∴DE＝，过点P作PF⊥BC于点F，①当PB＝BC时，如图，∴PF＝CD＝3，PB＝BC＝5，在Rt△PBF中，BF＝＝4，∴DP＝CF＝BC﹣BF＝1，∵DP＜DE，∴点P在线段DE上，符合题意；②当PC＝PB时，如图，∴DP＝CF＝，∵DP＜DE，∴点P在线段DE上，符合题意；③当PC＝BC时，如图，∴PF＝CD＝3，PC＝BC＝5，在Rt△CDP中，DP＝＝4，∵DP＞DE，∴点P不在线段DE上，舍去，综上，PD的长为1或，故答案为：1或．10．解：如图，当E在C点左侧时，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠C＝∠ABC＝70°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝55°，∵BD⊥AC，∴∠BDE＝∠BDC﹣∠CDE＝90°﹣55°＝35°；当E在C点右侧时，如图，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠C＝∠ABC＝70°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝35°，∵BD⊥AC，∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝90°+35°＝125°，故答案为：35°或125°．11．解：由题意得，直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠B＝40°，∵∠ACD＝30°，如图1，∴∠ACB＝40°+20°＝60°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣40°＝80°；如图2，∴∠ACB＝40°﹣20°＝20°，∴∠BAC＝180°﹣20°﹣40°＝120°，综上所述，∠BAC的度数为80°或120°，故答案为：80°或120°．12．解：当△ABC为等腰三角形时，分以下两种情况：①如图1，以AB为底边时，AC＝BC，连接C1C2，AO，则C1C2过圆心O，∴C1C2⊥AB，∴AD＝AB＝1，∵OA＝2，∴OD＝＝，∴C1D＝2+，C2D＝2﹣，∴BC12＝＝8+4，BC22＝＝8﹣4；②如图2，以AB为腰时，AB＝AC3＝BC4＝2，连接OC3，AO，AO交BC3于E，则BE＝C3E，BC42＝4，∵OC3＝AO＝AC3＝2，∴△AC3O是等边三角形，∴∠EOC3＝60°，∴∠OC3E＝30°，∴C3E＝，∴BC3＝2，∴BC32＝（2）2＝12，综上，BC2＝8或12或4．故答案为：8或12或4．三．解答题13．解：（1）当t＝2时，DB＝6，∵BM＝10，∴DM＝4，∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，∴DM＝MQ，即4＝2a，解得，a＝2；（2）①当AC＝AD时，△DCA为等腰三角形，∵AB⊥CD，∴BD＝BC＝6，∴t＝2；②由勾股定理得，AC＝＝＝10，当AC＝CD＝10时，△DCA为等腰三角形，∵BC＝6，∴BD＝4，∴t＝；③当AD＝CD＝6+3t时，△DCA为等腰三角形，∵∠ABD＝90°，∴AB2+BD2＝AD2，即82+（3t）2＝（6+3t）2，解得，t＝，综上所述：t＝2或或时，△DCA为等腰三角形；（3）当△DMQ与△ABC全等，①△DMQ≌△ABC，∴MQ＝BC＝6，DM＝AB＝8，∵BM＝10，∴BD＝2或BD＝18，∴t＝或t＝6，∴a＝9或a＝1；②△DMQ≌△CBA，∴DM＝BC＝6，MQ＝AB＝8，∴BD＝4或16，∴t＝或，∴a＝6或，综上所述：当△DMQ与△ABC全等时，a＝9或1或6或．14．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，速度为每秒1cm，∴当点P在线段AB上时，BP＝4+5﹣t＝（9﹣t）（cm）．故答案为：（9﹣t）；（2）∵AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴P在AC上运动时△BCP为直角三角形，∴0＜t≤4，当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形（如图1中），∵×AB×CP＝×AC×BC，∴×5×CP＝×3×4，解得：CP＝（cm），∴AP＝＝＝（cm），∴AC+AP＝（cm），∵速度为每秒1cm，∴t＝，综上所述：当0＜t≤4或t＝，△BCP为直角三角形；故答案为：0＜t≤4或t＝；（3）如图2，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，则t＝3．如图3，当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，∴AP＝AB﹣BP＝2，∴t＝（4+2）÷1＝6．如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD＝，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝，∴PB＝2BD＝，∴CA+AP＝4+5﹣＝5.4，此时t＝5.4÷1＝5.4．如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则BD＝CD，∴PD为△ABC的中位线，∴AP＝BP＝AB＝，∴t＝（4+）÷1＝．综上所述，t为3或5.4或6或时，△BCP为等腰三角形；（4）当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t﹣3＝3，∴t＝2．当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣4+2t﹣8＝6，∴t＝6，∴当t＝2或6时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．15．解：（1）D（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）；（2）如图，四边形A1B1C1D1即为所求；（3）∵A（﹣3，4），∴OA＝＝5，当OA＝OE时，E（5，0）或（﹣5，0）．当AO＝AE时，E（﹣6，0）．当EA＝EO时，设E（m，0），则有﹣m＝，解得m＝﹣，∴E（﹣，0），综上所述，满足条件的点E的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（﹣6，0）或（﹣，0）．16．解：（1）如图1，设DG＝a，∵CD⊥AB，PE⊥AB，QF⊥AB，∴QF∥CD∥EF，∵DE＝DF，∴EG＝QG，∴DG是△EFQ的中位线，∴QF＝2a，∵tan∠BAC＝＝，即＝，∴AF＝a，DF＝DE＝4﹣a，∵BD＝3，∴BE＝3﹣（4﹣a）＝a﹣1，∵PE∥CD，BP＝PC，∴BE＝ED，∴a﹣1＝4﹣a，∴a＝，∴FQ＝2a＝5，EF＝2（4﹣a）＝8﹣2a＝8﹣5＝3，∴EQ＝＝；故答案为：；（2）①如图2，过点Q作QH⊥CD于H，∵FQ⊥AB，CD⊥AB，∴∠QFD＝∠FDH＝∠QHD＝90°，∴四边形FDHQ为矩形，∴DF＝QH＝DE，FQ＝DH，∵tan∠ACD＝＝＝＝，∴CH＝2QH＝EF，∴EF+FQ＝DH+CH＝8：故答案为：8；②由①得：EF+FQ＝8，设EF＝x，则FQ＝8﹣x，∴EQ＝＝＝，当x＝4时，EQ取最小值为＝4，此时，DE＝DF＝2，∴BE＝3﹣2＝1，∵PE∥CD，∴＝＝，Rt△BDC中，由勾股定理得：BC＝＝，∴PB＝，当PB＝时，线段QE最小，最小值是4；③设DE＝m，BE＝3﹣m，DF＝m（0≤m≤3），∴AE＝4+m，AF＝4﹣m，FQ＝8﹣2m，AC＝＝＝4，AQ＝（4﹣m），当△AEQ为等腰三角形时，存在以下三种情况：i）AQ＝AE，则4+m＝（4﹣m），解得：m＝6﹣2，∴BE＝3﹣（6﹣2）＝2﹣3；ii）AQ＝QE，∵QF⊥AE，∴AF＝EF，∴4﹣m＝2m，∴m＝，∴BE＝3﹣＝；iii）AE＝EQ，则4+m＝，7m2﹣40m+48＝0，解得：m1＝4（舍），m2＝，∴BE＝3﹣＝；综上所述，BE的长为2﹣3或或．17．解：（1）由题意得：AP＝5t，在Rt△ABC中，AB＝＝10．∴BP＝AB﹣AP＝10﹣5t．（2）当点Q未到达点C时，∠PQB＝90°时，由题意得：BQ＝6t，∵∠PQB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△BPQ∽△BAC．∴．∴．解得：t＝．∴当0＜t＜时，△PQB为钝角三角形；当点Q到达C点，∠CPB＝90°时，∵∠ACB＝90°，CP⊥AB，∴△CBP∽△BAC．∴．∴．解得：t＝．∴当＜t＜2时，△PQB为钝角三角形．综上，当0＜t＜时或当＜t＜2时，△PQB为钝角三角形．（3）当点Q未到达点C，PQ⊥BC时，∵四边形PQMN为正方形，∴∠MPQ＝90°．∵∠ACB＝90°，∴四边形PQCE为矩形，∴正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形．由（2）知：t＝．∴当t＝时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形．当点Q到达点C，点N在点A的上方时，设PN交AC于点E，若CP平分∠ACB，则∠ACP＝45°，∵四边形PQMN为正方形，∴∠NPQ＝90°，∴△CPE为等腰直角三角形，∴正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形．∵CP平分∠ACB，∴．∴．解得：t＝．∴当t＝时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形．当点Q到达点C，点N在点A的上方时，如图，设MN交AC于点D，交AB于点E，当AP＝AC时，则∠ACP＝∠APC．∵四边形PQMN为正方形，∴MN∥CP．即DE∥CP．∴四边形DEPC为等腰梯形．∴此时正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形．∵AP＝AC，∴5t＝8，∴t＝．∴当t＝时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形．综上，当t为或或时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形．（4）当点N在点A上方时，过点N作NE⊥AB于点E，过点Q作QD⊥AB于点D，如图，∵∠ANM＞90°，∴只有当AN＝MN时，△AMN是等腰三角形．∵四边形PQMN为正方形，∴∠NPQ＝90°，MN＝NP＝PQ．∴AN＝NP．∴AE＝EP＝AP＝t．∵∠EPN+∠ENP＝90°，∠EPN+∠QPD＝90°，∴∠ENP＝∠QPD．在△EPN和△DQP中，，∴△EPN≌△DQP（ASA）．∴EP＝DQ＝t．∵∠BDQ＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BDQ∽△BCA．∴．∴．解得：t＝0（不合题意，舍去）．当点N在点A上方时，此时点Q已经到达点C，过点M作MD⊥AC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，如图，当AM＝MN时，∵四边形PQMN为正方形，∴MN＝MQ＝PQ，∴AM＝MQ．∵MD⊥AC，AD＝DQ＝AC＝4．∵∠MQD+∠DQP＝90°，∠DQP+∠PQE＝90°，∴∠MQD＝∠PQE．在△MQD和△PQE中，，∴△MQD≌△PQE（AAS）．∴DQ＝EQ＝4．∴BE＝2．∵∠PEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△BPE∽△BAC．∴．∴．解得：t＝．当AM＝AN时，则∠AMN＝∠ANM．∵四边形PQMN为正方形，∴MN＝MQ＝PN，∠NMQ＝∠MNP＝90°．∴∠AMQ＝∠ANP．在△AMQ和△ANP中，，∴△AMQ≌△ANP（SAS）．∴AP＝AQ＝8．∴5t＝8，解得：t＝．当NM＝AN时，过点N作ND⊥AB于点D，过点Q作QE⊥AB于点E，如图，∵四边形PQMN为正方形，∴MN＝PQ＝PN，∠NMQ＝∠MNP＝90°．∴AN＝NP．∵ND⊥AB，∴AD＝DP＝AP＝t．∵∠NPD+∠DPQ＝90°，∠NPD+∠DNP＝90°，∴∠DNP＝∠DPQ．在△DNP和△EPQ中，，∴△DNP≌△EPQ（AAS）．∴DP＝EC＝t．∵∠ACB＝90°，CE⊥AB．∴△CEB∽△ACB．∴．∴．解得：t＝．综上，当t＝或或时△AMN是等腰三角形．18．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，由勾股定理得：BC＝＝＝6，故答案为：6；（2）如图1，过点C作CH⊥AB于H，S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，则×8×6＝×10×CH，解得：CH＝，当t＝2时，AD＝2×2＝4，则S△ADC＝×4×＝；（3）当FA＝FB时，DF⊥AB，∴AD＝AB＝×10＝5，∴t＝5÷2＝；当AF＝AB＝10时，∠ACB＝90°，则BF＝2BC＝12，∴AB•DF＝BF•AC，即×10×DF＝×12×8，解得：DF＝，由勾股定理得：AD＝＝＝，∴t＝÷2＝；当BF＝AB＝10时，∵BF＝10，BC＝6，∴CF＝BF﹣BC＝10﹣6＝4，由勾股定理得：AF＝＝＝4，∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，∴DF＝AC＝8，∴AD＝＝＝4，∴t＝4÷2＝2；综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为或或2．19．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠BAD＝90°，AB＝CD＝10，∵CE＝7，∴DE＝CD﹣CE＝10﹣7＝3，∵AD＝4，由勾股定理可得AE＝＝＝5，∴AE的长为5；（2）①由题知，BP＝2t，AP＝10﹣2t，若△PAE是等腰三角形，分一下三种情况：（Ⅰ）当AP＝AE时，即10﹣2t＝5，解得t＝，（Ⅱ）当EP＝EA＝5时，过点E作EF⊥AB于点F，∴PF＝AF＝AP＝（10﹣2t）＝5﹣t，由题知四边形ADEF是矩形，∴ED＝AF，即5﹣t＝3，解得t＝2，（Ⅲ）当PE＝PA＝10﹣2t时，过点E作EF⊥AB于H，∴四边形ADEH是矩形，∴EH＝AD＝4，AH＝ED＝3，∴PH＝PA﹣AH＝10﹣2t﹣3＝7﹣2t，在Rt△PHE中，由勾股定理得PH2+EH2＝PE2，即（7﹣2t）2+42＝（10﹣2t）2，解得t＝，综上，t的值为或2或时，△PAE是等腰三角形；②若PE⊥AE时，则△PEA是直角三角形，过点E作EF⊥AB于M，∴四边形ADEM是矩形，由①知，PM＝PA﹣AM＝10﹣2t﹣3＝7﹣2t，EM＝AD＝4，由勾股定理得PE2＝EM2+PM2＝42+（7﹣2t）2，∵PA＝10﹣2t，AE＝5，由勾股定理得PE2+AE2＝PA2，即42+（7﹣2t）2+52＝（10﹣2t）2，解得t＝，故答案为：．20．解：（1）点P到达点C所需的时间为＝5（秒），点Q到达中点D所需的时间为＝2（秒），点Q到达点A所需的时间为+1＝4+1＝5（秒），∴运动时间t的取值范围为0≤t≤5，在Rt△ABC中，BC＝＝＝3，∵PQ⊥AC，∴∠APQ＝90°，分以下三种情况：①如图①，当点Q在线段BD上，即：0≤t≤2时，AP＝BQ＝t，∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，在△APQ和△ABC中，，∴△APQ∽△ABC，∴＝＝，即：＝＝，解得：t＝（符合题意），此时，PQ＝t＝×＝，②当点Q与点D重合时，即：2＜t≤3时，AP＝t，BQ＝BD＝AB＝2，∴AQ＝AB﹣BQ＝2，同理可得：＝，即：＝，解得：t＝＜2（不符合题意，舍去），③当点Q在线段AD上时，即：3＜t≤5时，AP＝t，BQ＝t﹣1，∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣（t﹣1）＝5﹣t，同理可得：＝，即：＝，解得：t＝＜3（不符合题意，舍去），综上，PQ的长为．（2）根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：①如图②，当AP＝PQ时，△APQ为等腰三角形，过点P作PE⊥AB于点E，∴PE∥BC，由等腰三角形的三线合一，得：AE＝，当点Q在线段BD上，即：0≤t≤2时，AP＝BQ＝t，∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，∴AE＝＝，∵PE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴＝，即：＝，解得：t＝（符合题意），当点Q与点D重合时，即：2＜t≤3时，AP＝t，BQ＝BD＝AB＝2，∴AQ＝AB﹣BQ＝2，∴AE＝＝1，同理可得：＝，即：＝，解得：t＝＜2（不符合题意，舍去），当点Q在线段AD上时，即：3＜t≤5时，AP＝t，BQ＝t﹣1，∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣