应用地电学B课件：第2章-传导(直流)电场的理论基础

传导（直流）

地电场的理论基础应用地电学B传导（直流）

地电场的理论基础应用地电学B本节主要内容2.1.地下稳定电流场的传播规律 2.1.1稳定电流场的基本性质 2.1.2稳定电流场的微分方程的求解 2.1.3均匀大地中的稳定电流场及电阻率

的测定 2.1.4简单地电结构中的稳定电流场2.2地下激电场的传播规律 2.2.1等效电阻率法及均匀大地极化率的

测定 2.2.2激电场的边界条件 2.2.3简单地电结构中的激电场本节主要内容2.1.地下稳定电流场的传播规律本节主要内容2.3.传导地电场正演问题的模拟方法2.3.1稳定电流场的边值问题2.3.2数值模拟方法2.3.3物理模拟方法本节主要内容2.3.传导地电场正演问题的模拟方法地下稳定电流场的传播规律地下稳定电流场的传播规律，是传导类（直流）电法勘探的理论基础。传导类电法勘探中，要探测地下地质对象的存在与分布，首先要分析地下半空间建立的人工或天然电流场，然后研究由地质对象所产生的电场的变化，从而达到探测地下构造的目的

地下稳定电流场的传播规律地下稳定电流场的传播规律，是传导类（2.1.1稳定电流场的基本性质复习：（宏观）欧姆定律2.1.1稳定电流场的基本性质复习：（宏观）欧姆定律稳定电流场满足欧姆定律，在微观情况下，其微分形式是上式说明：稳定电流场中任一点的电流密度与该点场强成正比，与介质的电阻率成反比。上式既适用于均匀介质的情况，也适用于非均匀介质的情况。复习：（微观）欧姆定律稳定电流场满足欧姆定律，在微观情况上式说明：复习：（微观）电流叠加定律

稳定电流场满足叠加原理，即多个电流源产生的电流场可以表示为各个独立源单独作用下产生的电流场的矢量和，即：电流的叠加复习：（微观）电流叠加定律 稳定电流场满足叠加原理，即多个电在稳定电流场J中，任取一个不含源的闭合曲面，流过任何一个闭合曲面的电流密度通量均等于零，即在某一个封闭曲面中，流入的电流总量与流出的电流总量是相等的（电流是连续的）上式为稳定电流场的连续性方程式，由于矢量J满足散度定理复习：基尔霍夫(Kirchoff)定律在稳定电流场J中，任取一个不含源的闭合曲面，流过任何一个式中v为封闭面所包含的体积。由上两式和可得：

即为基尔霍夫定律的微分形式矢量的散度表示场量的场源的性质，基尔霍夫定律说明（在场源之外）电流不会凭空出现，也不会凭空消失，电流是处处连续的式中v为封闭面所包含的体积。由上两式和即为基尔霍夫定律的微在稳定电流场中，电荷的分布不随时间而改变，它和静电场一样具有势场特征，即场中任一点的电位只与该点到场源的相对位置有关，而与路径无关，是保守场。

对场中某点，单位距离上电位u的变化（即电位的负梯度）就等于该点的电场强度，电位的下降方向表示了场强的正方向复习：电流场的势在稳定电流场中，电荷的分布不随时间而改变，它和

即为数理方程中的拉普拉斯方程，上式反映了稳定电流场的内在规律。u为该方程的解。2.1.2稳定电流场的微分方程的求解对于稳定电流场而言，有若考虑求解的范围内无电流源则有：即为数理方程中的拉普拉斯方程，上式反映了稳定电流场的内直角坐标系中：圆柱坐标系中：球坐标系中：数学物理方程的解=通解+定解条件直角坐标系中：圆柱坐标系中：球坐标系中：数学物理方程的解=通对所研究的某一具体问题来说，它的解应该是唯一的。使场函数获得唯一解所须附加的限定条件称为定解条件。可以分为三类边界条件，即：1）狄利克莱边界条件（边界上的值）2）纽曼边界条件（边界上的法向导数）3）混合边界条件（一部分边界给出狄利克莱边界条件，另一部分给出纽曼边界条件）在直流地电学模拟中，一般采用混合边界条件进行定解对所研究的某一具体问题来说，它的解应该是唯一的。使场函数获得中国地质大学（北京）地信学院电法组制作1)极限情况的边界条件：当边界点离供电点无穷远时：当边界点靠近供电点时：2)地面（空气-地面界面）边界条件：

地面上电流密度法向分量等于零（场源点除外）单极场源供电中国地质大学（北京）地信学院电法组制作当边界点靠近供电点时：3)电性界面边界条件：界面两侧的电位连续界面两侧的电流沿法向连续界面两侧的电场强度沿法向连续界面两侧的电流满足类似于光学中的斯奈尔定律3)电性界面边界条件：界面两侧的电流满足类似于光学中的斯奈上式表明，在稳定电流场中，电位处处有限且连续；在界面两侧，电流密度在法线方向连续。在传导类电法中我们将要讨论的各种理论曲线，就是针对不同地电模型，在不同的坐标系中求解偏微分方程得到的。电流场的微分方程上式表明，在稳定电流场中，电位处处有限且连续；在界面两侧，电

假设地下半空间是均匀、各向同性的介质。使用两个供电电极将电流供入地下，然后在离供电电极一定距离的地方来观测场的分布。由于电极大小相对于电极之间的距离（数百米-数公里）来说一般很小，因此我们可以把电极看作是一个点电源。2.1.3均匀大地中的稳定电流场

及电阻率的测定假设地下半空间是均匀、各向同性的介质。使用两个1）单点电源的电场

点源在地表的情况

设在电阻率为ρ的无限半空间的地表，有一点电源A，其电流强度为+I。显然，在距点源A为rAM点的电流密度矢量为：1）单点电源的电场上式代入，得到M点的电场强度两边积分，得到M点的电位为：上式中，由于当点电源一定时，I为常数。对于均匀、各向同性无限半空间地表，点电源场的电位分布与r成反比，其等位面是以点源为中心的一系列同心圆。上式代入，得到M点的电场强度两边积分，得到M点的计算地下电阻率…计算地下电阻率…点源在地下的情况电源不在地表时，地下的电流将不再是均匀分布，也无法用之前的公式进行计算镜象法用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷/电流分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷/电流分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。点源在地下的情况镜象法中国地质大学（北京）地信学院电法组制作如果可以假设在地面上方存在一个极性相同，大小也相同的电流源，可以利用叠加原理，用镜像法求解（虚电流源法）：当观测点位于地面时，R=R’中国地质大学（北京）地信学院电法组制作当观测点位于地面时，R而x方向的电场和电流即可表示为：在X=0处，电场强度与电流密度均为零，而在的位置，有两个拐点，电场强度和电流密度最大而x方向的电场和电流即可表示为：在X=0处，电场强度与电流密2）两个点电源的电场

当地表有两个异性点电源供电时，根据电场的叠加原理，得到M点的电位表达式同理，便可求出两个异性点电源在M点的场强2）两个点电源的电场同理，便可求出两个异性点电

(a)平面图

(b)剖面图

(c)地表电位剖面两个点电源的电位及电场分布如下图所示。两个点电源的电位及电场分布如下图所示。

由图可见，越靠近电极，电位变化越大。在A极附近，电位迅速增高；在B极附近，电位迅速下降。在AB中部电位变化较慢，在AB中点电位为零。由图可见，越靠近电极，电位变化越大。在讨论均匀半空间电流密度随深度的变化电流密度沿垂直方向的变化讨论均匀半空间电流密度随深度的变化电流密度沿垂直方向的变化

在地表AB连线的中点o处，由A、B两个电极所形成的电流密度j0可以叠加为（5.3.3）同样，在AB的中垂线上深度为h的M点处的电流密度（5.3.6）在地表AB连线的中点o处，由A、B两个电（5.3.两者的比值就可以写为：两者的比值就可以写为：可见，对于一定的供电极距，电流的分布随深度衰减。而对于比较小的极距，电流密度随深度衰减快，比较大的深度处的电流密度已很微弱，从而难以探测到较深的异常体。对于比较大的极距，电流密度随深度衰减慢，即比较大的深度处仍具有较大的电流密度，从而可能探测到较深处的异常体。可见，对于一定的供电极距，电流的分布随深度衰减。

由图可见，电流密度主要分布在靠近地表附近的范围内，随着深度的加大，电流密度急剧减小。原则上说，要想加大勘探深度，只有相应地增大供电极距，从而使分配到一定深度范围的电流密度的百分数相对增大。由图可见，电流密度主要分布在靠近地表附近的范围内，随着3）地表偶极电流源的地下电流场当正负两个电流源相距很近，而两者的距离a与测量的位置M相比可以忽略时，我们称这两个电极源为电偶极子源，或简称偶极源电偶极子3）地表偶极电流源的地下电流场电偶极子M点的电场强度可以分解为沿向径OM的电场强度：和垂直向径方向的电场强度：其中m为偶极子的电偶矩，a为ab的距离：当偶极源在地面时，地中任一点电位为：M点的电场强度可以分解为沿向径OM的电场强度：其中m为偶极子中国地质大学（北京）地信学院电法组制作因此，E的总大小可以表示为：因此，电流密度可写为：中国地质大学（北京）地信学院电法组制作因此，E的总大小可以表中国地质大学（北京）地信学院电法组制作而当观测点位于地面时，θ=0或π，因此“变向角”的概念：地下电场在地下分布的方向α，与θ和β有关，当θ=θ0时：α=π/2,当θ>θ0时，α>π/2，当θ<θ0时，α<π/2，因此称之为“变向角”中国地质大学（北京）地信学院电法组制作而当观测点位于地面时，地下倾斜偶极源的情况设偶极源位于地下深度为h处，其倾斜角度为α，类似的可以得到偶极源的电势、电场与电流分布地下倾斜偶极源的情况均匀场点源场偶极场地下不同位置电流场的分布规律均匀场点源场偶极场地下不同位置电流场的分布规律3）均匀大地电阻率的测定测量均匀大地的电阻率，原则上可以采用任意形式的电极排列来进行，即在地表任意两点（A、B）供电，然后在任意两点（M、N）来测量其间的电位差，根据式便可求出M、N两点的电位。

一般在勘探上，为布设和计算方便，采用A/B/M/N同线的形式进行供电/采集3）均匀大地电阻率的测定以四极装置为例，不难求出M、N两点的电位：以四极装置为例，不难求出M、N两点的电位：从而大地电阻率的计算公式为

AB在MN间产生的电位差（5.2.13）（5.2.12）上式即为在均匀大地的地表采用任意电极装置（或电极排列）测量电阻率的基本公式。其中K为电极装置系数，其中：从而大地电阻率的计算公式为AB在MN间产生的电位差（5.2k是一个只与电极的空间位置有关的物理量。考虑到实际操作的便利性，在电法勘探中，一般总是把供电电极和测量电极置于一条直线上。k是一个只与电极的空间位置有关的物理量。考虑到实际操作的便利在野外施工之前，如何测定岩矿石的电阻率?在野外施工之前，如何测定岩矿石的电阻率?①露头测定法（in-situmeasurement）在原位测定最能代表岩矿石在自然地下环境中的电性特征。要求：a、露头表面平坦，有一定面积（长：＞2AB，宽＞1.5AB）；b、观测相互正交的两个方向的电阻率；c、供电极可近似为“点源”；d、保证与露头的接触，使接地电阻尽量小。b、观测相互正交的两个方向的电阻率；②标本测定法标本的采集，一般要求均匀地分布于所研究地质体的露头上，标本应具有代表性。对不同岩性、结构、矿化、蚀变等各类岩（矿）石均应系统测定。采集时应作记录，对标本的岩性进行必要的描述、编号，并将采集点点位标在地质图上②标本测定法要求：a、标本形状要规整；b、在水中浸泡至饱和；c、测量时把标本擦干；d、注意满足近似条件。标本电阻率的测量一般采用蜡封法或标本架法，利用欧姆定律进行计算要求：标本电阻率的测量样本偏离度统计用基本观测结果统计出来的常见值，与检查观测结果统计出来的常见值其相对误差不得超过20%。检查标本数量，应达到测定标本总数的10%；μ—平均相对误差；

n—检查标本的样品数；Ai——第i件样品一次测量结果；Bi——第i件样品另一次测量结果。样本偏离度统计

当地面水平、地下充满均匀各项同性的导电岩石时，用上述公式的计算结果为均匀大地电阻率。若进行测量的地段地下岩石电性分布不均匀时，计算结果称之为视电阻率，并用ρs表示。视电阻率及其定性分析方法当地面水平、地下充满均匀各项同性的导电岩石时，（5.3.1）

这是电阻率法中最基本的计算公式。在电阻率法的实际工作中，一般测得的都是视电阻率，只当电极排列位于某种单一岩性的地层中时，才会测到该地层的真电阻率。视电阻率的微分公式：（5.3.3）（5.3.1）这是电阻率法中最基本的计算公

上式就是视电阻率和电流密度的关系式，或称为视电阻率的微分公式。它表明某点的视电阻率和测量电极所在介质的真电阻率成正比，其比例系数就是测量电极间实际电流密度与假设地下为均匀介质时正常场电流密度之比。

显然，jMN包含了在电场分布范围内各种电性地质体的综合影响。上式就是视电阻率和电流密度的关系式，或称为视电

当地下半空间有低阻不均匀体存在时，由于正常电流线被低阻体所“吸引”，使地表MN处的实际电流密度减少，所以jMN<j0，s<MN

当地下半空间有低阻不均匀体存在时，由于正常电流线被低阻体所

相反，当地下半空间有高阻体存在时，由于正常电流线被高阻体所“排斥”，使地表MN处的实际电流密度增加，所以s

>MN。

因此，虽然视电阻率并非地下真实的电阻率，我们仍可以通过地表观测视电阻率的变化，揭示地下电性不均匀地质体的存在和分布。相反，当地下半空间有高阻体存在时，由于正常电流线被高视电阻率与地电断面性质的关系（a）均匀岩石；（b）围岩中赋存良导矿体；（c）围岩中赋存高阻岩体视电阻率的定性分析视电阻率与地电断面性质的关系视电阻率的定性分析地下稳定电流分布的定性规律总结①从正流到负；②电流守衡：电流总量不变；③能量最小原理： a、地面上j0达到最大值； b、随深度增加,电流减小； c、高阻体-“排斥”电流，

低阻体-“吸引”电流④同种电荷相互排斥： a、分散流动，充满整个地下半空间； b、高阻体上，地表电流j0

和电场E均大于均匀情况

低阻体上，地表电流j0

和电场E均小于均匀情况地下稳定电流分布的定性规律总结1)均匀电流场中球体的电场全空间条件下设围岩电阻率为ρ1，球体电阻率为ρ2，电流密度为j0,球体半径为r0,可以将球内外电位分解为所谓正常电位（背景场）和异常电位（异常场）2.1.4简单地电结构中的稳定电流场其中：U0为均匀电流场（背景场）的电位；U1a和U1a分别为球内和球外的异常电位2.1.4简单地电结构中的稳定电流场其中：U0为均匀电流场问题转化为如何求解异常场：由于背景场U0为均匀电流场，在球坐标下，容易求得：xyaj0电流线等位面由于球内外电位具有轴对称性质，位函数应与θ无关，因此；问题转化为如何求解异常场：由于背景场U0为均匀电流场，在球坐中国地质大学（北京）地信学院电法组制作从拉普拉斯方程出发，利用极限条件与边界条件求解解出

的一般表达式，即可写出球内、外电位解得表达式然后根据极限条件与边界条件确定系数，得到最终表达式

中国地质大学（北京）地信学院电法组制作从拉普拉斯方程出发，利半空间条件下由于地面电法的供电和测量均在地面分布，特别是讨论球外的电场分布更有实际意义。地面的影响仍可以用镜像法进行计算。当球体埋深比较深时，可忽略球体与地面以上镜像的相互作用；这时，可以将球外表达式的异常部分简单加倍得到地面一次电位的一阶近似：在均匀电流场中，球外的异常分布与一个位于球心的水平电偶极子的电流场等效，此时的电偶矩为：半空间条件下2)点源电流场中的垂直电阻率接触面设有点源A(I)位于垂直分界面左边岩石的地面上，A与分界面的距离为d，左右两侧的电阻率分别为ρ1，ρ2，欲求地下空间内的电场分布，同样可以利用“镜像法”进行求解。在界面左侧某一点M处的电位即可用原始电源与镜像源的叠加来表示：2)点源电流场中的垂直电阻率接触面在界面左侧某一点M处的电位在界面右侧某一点M2处的电位可以类似的表示为：而根据电位分布的连续性定理，在中央界面处的电位应可表示为：在界面右侧某一点M2处的电位可以类似的表示为：而根据电位分布除此以外，稳定电流场中界面上电流密度的法向分量也应是连续的：由于在分界面上，r=r1=r2，因此：结合之前的结论，有：其中：除此以外，稳定电流场中界面上电流密度的法向分量也应是连续的：我们设：则两侧电位可分别表示为：我们发现，在界面左侧，系数K12好像决定了被分界面反射到左侧的电流的作用，故称K12为反射系数。在界面右侧，系数1-K12好像决定了经过分界面透射到左侧的电流的作用，故称1-K12为透射系数。我们设：则两侧电位可分别表示为：我们发现，在界面左侧，系数K进而，我们可以写出在电源距离分界面为d时，横跨分界面方向(x)上的地表电场强度表达式：分析上述二式我们可以发现，在分界面右侧（无实电源存在）的电场与点电源位于电阻率等于的均匀介质中的电场等效。测点通过分界面时，电位曲线发生折曲，而电场发生跃变，电场两侧强度跃变的比值为进而，我们可以写出在电源距离分界面为d时，横跨分界面方向(x小结：地下稳定电流场的传播规律传播基本规律欧姆定律/克希霍夫定律/电场的势

求解势场微分方程：拉普拉斯方程+定解条件点电源产生的电场单点电源/双点电源(偶极源)电阻率法的测深原理

电流随深度的增加而衰减，极距越大，衰减越慢均匀大地电阻率的测定视电阻率的概念

高阻“排斥”电流，低阻“吸引”电流小结：地下稳定电流场的传播规律传播基本规律

在上一节中，我们讨论了稳定电流场在地下的传播规律，在这一节中，我们将通过主要讨论几种规则几何形体在直流长脉冲激发下通过理论计算方法取得的激电场，研究地下激电场的传播规律满足条件：1、极化电场达到稳定（T->∞）2、场源以外的电位分布满足拉普拉斯方程2.2地下激电场的传播规律稳定电流场激电场 在上一节中，我们讨论了稳定电流场在地下的传播规律，在这一节1．等效电阻率的概念

在之前极化效应的测量装置和测量结果中可以看到，由于存在激发极化效应，在流过标本的电流保持不变的条件下，标本两端的极化总场电位差随充电时间而增大。

2.2.1等效电阻率法及均匀大地极化率的测定1．等效电阻率的概念 2.2.1等效电阻率法及均匀大地极化

我们在上一章中了解到，这一随时间的增大应是与岩矿石极化性质有关。但另一方面，我们也可将上述现象理解为，体极化效应等效于体极化介质电阻率的随时间的增大。

显然，真实的电阻率不可能随时间增大，而为与介质在无激电效应时的真电阻率相区别，我们将发生体极化效应时，极化体对极化总场的电阻率称为“等效电阻率”。

显然，等效电阻率随频率或充电时间而变。

真电阻率等效电阻率 我们在上一章中了解到，这一随时间的增大应是与岩矿石极化性质中国地质大学（北京）地信学院电法组制作设大地为均匀无限半空间，电阻率为ρ，（极限）极化率为η。则由地面点电源A（＋I)和B（一I）在地面M和N点产生的一次场电位差为在T0或f∞的极限情况下，总场电位U(T)|T0或U(f)|f∞趋于无激电效应的一次场电位

U1，等效电阻率ρ(T)|T0或ρ(iω)|ω∞就等于介质真电阻率ρ。中国地质大学（北京）地信学院电法组制作设大地为均匀无限半空间在T∞或f0的另一极限情况下，总场电位趋于饱和值U(T)|T∞或U(f)|f0，此时的等效电阻率ρ(T)|T∞或ρ(iω)|ω0为“极限等效电阻率”，记为ρ*。此时总场电位差为即为时间趋于无穷时的等效电阻率（极化电阻率），我们知道时间域内极化率的定义：两边除以I--》在T∞或f0的另一极限情况下，总场电位趋于饱和值U(T)中国地质大学（北京）地信学院电法组制作等效电阻率与真电阻率的关系：根据上述极化率的计算式和等效电阻率的计算式，可以写出真电阻率（极限）等效电阻率中国地质大学（北京）地信学院电法组制作等效电阻率与真电阻率的均匀大地极化率的测定

为了确定大地的极化率，可以利用上述的“等效电阻率”法中的计算极化总场的电位差：

与上述的一次场的电位差公式相减：

即可得到二次场的电位差：从而得到均匀大地的极化率公式（与装置系数无关）：均匀大地极化率的测定 为了确定大地的极化率，可以利用上述的“

所谓“等效电阻率”是从欧姆定律的角度，将激电附加二次电流场等效为极化体电阻率的改变对电流场的影响。既：将具有激电效应的地质体利用纯电阻体代替，将激电效应并入地质体的电阻率看待。我们可以定义与分别为频率域和时间域中的等效电阻率，分别为ω和T的函数。并有：——真电阻率——极限等效电阻率由极限极化率式，可推出所谓“等效电阻率”是从欧姆定律的角度，将激电附面极化

岩、矿石的激发极化一般可以近似分为面极化与体极化，因此讨论激电场的边界条件也可以类似的进行分类讨论。

体极化2.2.2激电场的边界条件面极化 岩、矿石的激发极化一般可以近似分为面极化与体极化，因(1)面极化的边界条件

面极化中的双电层都出现在在极化体与围岩溶液的界面上，我们设极化体和围岩的电阻率分别为ρ1和ρ2，两侧的电位分别为U1

和U2，我们回想起双电层表面产生的过电位ΔΦ：其中k为面极化系数，显然，界面两侧的电位差应为ΔΦ，于是我们就可以得到界面两侧电位的连续性表达式：ΔΦjn(1)面极化的边界条件其中k为面极化系数，显然，界面两侧的另一方面，界面两侧的电流应为连续的，我们就可以得到界面两侧电流的连续性表达式：此外，在围岩内部，以及矿物内部应有：根据上述边界条件即可解拉普拉斯方程求解面极化矿物的电势场U分布jn另一方面，界面两侧的电流应为连续的，我们就可以得到界面两侧电（2）体极化的边界条件

体极化可以认为是许多单个面极化体组成的矿体的整体效应，其双电层出现在矿化颗粒与围岩的界面上，而单个极化体可以近似的等效于电偶极子。单个矿化颗粒的极化强度可以用电偶极子的极矩pi来表示，那么总体的极化强度就可以用单位体积内的等效电偶极矩来表示：在实际工作中所用的小充电电流的情况下，体极化可以近似认为是线性的，极化强度应与电流密度成正比：（2）体极化的边界条件单个矿化颗粒的极化强度可以用电偶极子

说明体极化情况下，极化强度P在数值上等于截面上的等效电流面密度。

我们设极化体和围岩的电阻率分别为ρ1和ρ2，两侧的电位分别为U1

和U2。我们若考虑一个很小的柱状极化单元，如右图所示，按定义，其等效电偶极矩为：若我们设柱状体两端通过电流为i,那么其极化强度可表示：说明体极化情况下，极化强度P在数值上等于截面上的等效电围岩矿体U1U2ρ1，η1ρ2，η2体极化条件下，微小的极化单元成体分布于极化体内，故在极化体与围岩的界面上没有电位跃变，即极化总场电位是连续的，即有：

除此以外，我们知道：由于界面两侧极化强度P一般不相等，所以截面上会出现剩余的等效极化电流源：而根据定义：，我们有：围岩矿体U1U2ρ1，η1ρ2，η2体极化条件下，微小的极化除此以外，在界面上总场电流密度的法向分量也应满足连续性方程：联合上述两个方程，不难得到：或者将电流密度转换为电势沿法向的导数形式：我们回想起之前的“等效电阻率”的定义：就可以将电阻率转换为等效电阻率除此以外，在界面上总场电流密度的法向分量也应满足连续性方程：总结一下体极化情况下的边界条件：此外，在围岩内部，以及矿物内部还应有：根据上述边界条件即可解拉普拉斯方程求解面极化矿物的电势场U分布总结一下体极化情况下的边界条件：场的类型一次场总场面极化体极化边界条件归纳出一次场和总场的边界条件

从而，体极化总场定解问题与一次场（无极化效应）的定解问题形式相同，仅是将一次场的电位表达式中将ρi替换成，即可为相应的体极化总场——等效电阻率法。

分界面上的电势连续

分界面上的电流密度连续总场面极化体极化归纳出一次场和总场的边界条件从而

对比无激电效应时的稳定电流场和包括体激电效应的极化总场的边界条件,可以看到，体极化总场的边界条件，在形式上完全和稳定电流场的相同。

此外，两种场都满足同一微分方程，故它们的解在形式上也应完全相同。由此得出结论：只要将无激发极化的一次场电位表达式中各介质的电阻率ρ换成相应的等效电阻率ρ*，便可得到体极化总场电位的表达式。这便是求解体极化总场“等效电阻率法”。应用地电学B课件：第2章-传导(直流)电场的理论基础（1）均匀电流场中的球面极化电场设球体处于均匀电流场中，坐标原点在球心，考虑到电流场的轴对称性，取球坐标系，在球体外部有：

，仍然可以将场分解为正常/异常场

对Ua采用分离变量法求解，利用边界条件

确定通解的待定系数后，有总场电位：2.2.3简单地电结构中的激电场（1）均匀电流场中的球面极化电场对Ua采用分离变量法求分析：①面极化系数k=0时，球体无极化效应，则得到球内外的总场场电位式与稳定电流场时完全相同…分析：②二次场电位式式中：

（a）均匀电流场中的面极化球体的二次电场可以等效为一个与外电场方向相反，偶极矩为Ps的偶极子场分布。

(b)Ps与外场电流密度、球半径平方、面极化系数成正比，与μ2成反比。②二次场电位式式中：（a）均匀电流场中的面(2)均匀电流场中的体极化球体设：围岩：电阻率为ρ1，η1=0

；球体：半径为r0，电阻率为ρ２，极化率为η２;

均匀外场：E0=ρ1j0；球坐标原点取在球心。仍然可以将场分解为正常/异常场的形式进行求解：

体极化情况下，可以利用等效电阻率法求解极化场的总电场(2)均匀电流场中的体极化球体体极化情况下，可以利用等效电阻①在均匀水平外电流场中一次场电位（无极化）②求解均匀水平外电流场中总场电位（有极化）时，可以利用“等效电阻率法”将在球体外部仍然有背景场为：代入U1的表达式：①在均匀水平外电流场中一次场电位（无极化）②求解均匀水平外电（c）在均匀水平外电流场中极化二次场电位有：利用又有其中（c）在均匀水平外电流场中极化二次场电位利用又有其中应用地电学B课件：第2章-传导(直流)电场的理论基础

分析：体极化球体激电二次场在球外的分布也与一个位干球心的电流偶极子电场等效。其强弱由等效电流偶极子的电流偶极矩Pv表示。从Pv表达式可看出：①Pv与j0成正比。

即二次场随外电流密度增大而增强。这与面极化的情况相同。②Pv与r03成正比。

即体极化球体的体积越大，二次场就越强。这充分体现了体极化的特点，显然不同于面极化的情况。③Pv近似与η2成正比。

即球体极化率值越大（体极化效应越强），二次场就越强。分析：体极化球体激电二次场在球外的分布也与一个位干球④Pv随相对电阻率μ2=ρ2/ρ1的变化较复杂：在良导电(ρ2/ρ10)和高阻(ρ2/ρ1∞)体极化体上，Pv（因而二次场）都趋于零；μ2→0，和μ2→

∞时，PV→0；而在某个中等大小的相对电阻率值时，二次场最强。这是体极化不同于面极化的又一个显著特点。它可借助于等效电阻率法，由一次场随相对电阻率变化的“饱和效应”

来解释。PV→PmaxPV→Pmax*2.3传导地电场正演问题的模拟方法什么是地球物理方法的正演问题？

物理学模型地球物理场响应

对于地电学而言，已知地下电性模型（电阻率/极化率/介电常数等），求解地下电磁场的分布规律，被称为地电学中的正演问题。对于传导类地电场，物理学模型对应着地下电阻率（等效电阻率）的分布，地球物理场就对应着地下的电势和电流场。

正演问题归根结底就是求解数学物理方程的边值和初值问题*2.3传导地电场正演问题的模拟方法什么是地球物理方法的正演2.3.1稳定电流场的边值问题

电阻率法的正演计算问题，可归结为求解稳定电流场的边值问题。以点源场中三维地电体的边值问题为例。

地下介质的电导率和电场均为三维空间的函数，即

和

U=U(x,y,z)（1）位函数U(x,y,z)所满足的微分方程设地表有一电流为I的点电流源，位于

地下介质电导率为地下建立的稳定电流场位函数U所满足的微分方程为（电源位于地表）：2.3.1稳定电流场的边值问题（2）位函数U(x,y,z)所满足的边值和衔接条件边值条件

由于电法所研究的稳定电流场分布于地下整个半空间，为了减少计算工作量，在求解边值问题时，通常把计算范围限定在一个有限的区域Ω内。这样，便需要在求解区域的边界Γ上，对电位函数U(x,y,z)赋予已知值。

可见，为了求解位场问题，还必须考虑所研究区域上的位场分布状况，即边值条件。我们知道，在数学物理方程中，一般定义三种类型的边值条件：（2）位函数U(x,y,z)所满足的边值和衔接条件可见，为（a）第一类边值条件其中Γ表示所研究区域Ω的边界，g(x,y,z)是定义在Γ上的已知函数。（b）第二类边值条件其中n是Γ的外法线。（c）第三类边值条件式中A为已知正数。（a）第一类边值条件其中Γ表示所研究区域Ω的边界，g(x,y衔接条件在所研究的区域Ω内，两种具有电导率为σ1和σ2的岩石交界面Γ处，电位和电流密度法向分量满足以下衔接条件：（a）由于电位的连续性，在交界面处（b）由于电流密度法向分量的连续性，在交界面处有其中n为交界面的法线方向。综上所述，计算传导类电法勘探的正演问题，或求解稳定电流场的边值问题，就是要根据情况确定未知的电位函数U，使其在已知电导率分布的求解区域内满足相应的微分方程和边值条件。衔接条件（b）由于电流密度法向分量的连续性，在交界面处有其中传导地电场正演问题的模拟方法如何求解数学物理方程？

解析法准确，但应用较窄数值模拟法精确，可以求解复杂形体物理模拟法精确，需要模型和条件近似传导地电场正演问题的模拟方法如何求解数学物理方程？一、解析法在简单地电条件下求解位场分布时，常用如下的解析法：分离变量法

：

假定待求的位函数由二个或三个仅含一个坐标变量的函数乘积所组成，然后将该乘积关系代入所求解的偏微分方程，经过整理，通过分离常数的联系，将原来的偏微分方程可转换为几个常微分方程的乘积，其数目等于独立坐标变量数。解这些常微分方程并以给定的边值（包括边界上的衔接条件）确定待定常数和函数（进行定解）后，即可得待求的位函数。一、解析法类比法

：在边值问题的分析计算中，根据位场解答的唯一性定理，各种物理场，不论其对应物理量的意义是否相同，只要它们具有相似的微分方程和边值，则所得解答在形式上必完全相似。基本方程静电场（区域）本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）

类比法：在边值问题的分析计算中，根据位场解答的唯一性定理，因而，我们就能把某一位场的分析计算结果，推广到一切相似的位场中去，比如，静电场和稳定电流场之间就可以利用比拟法进行相互推广求解。另外，在特定条件下，求解数学物理方程问题常用的解析方法还有“镜象法”“保角变换法”等等。应用地电学B课件：第2章-传导(直流)电场的理论基础2.3.2数值计算方法解析法只能求解少数规则形体的边值问题，对于复杂条件下电场分布，常需借助于数值计算方法。随着电子计算机的普及，数值计算方法获得迅速发展。目前，用于电法勘探的数值计算方法主要有：有限差分法、有限单元法，积分方程法和边界单元法等总体而言，这些数值计算方法的基本思想或流程为：1.把地下空间或异常体边界离散化；2.场所满足的微分方程离散化；3.形成线性代数方程组；4.解线性代数方程组得到离散点的函数值，得到边值问题的数值解。2.3.2数值计算方法总体而言，这些数值计算方法的基本思想有限差分法(FDM)有限差分法是目前电磁数值模拟方法的主流方法，是通过有限差分来近似导数（差分代替微分）的形式，寻求微分方程的近似解的一种数值方法。最大优点在于能够非常好的处理内部介质中电性间断引出的电磁场不连续现象。有限差分的不足之处为,它要求模型能够被剖分成规则的单元如四边形,六面体等,严重制约了其在复杂地球物理模型，特别是起伏地形情况下的应用。有限差分法(FDM)有限单元法（FEM）有限单元法基于变分法，利用节点值与节点基函数来形成整个电磁场的分布，不同于FDM,FEM是由电磁场的积分形式（通过Green定理将微分形式变换为电磁场的积分形式），通常也称有限法的解为微分形式的弱解。FEM的特点是并不要求模型能够被剖分成规则单元,如三角形与六面体单元(可以无限度精确地模拟地球物理模型),因此,FEM能够求解FDM难以求解的复杂地球物理模型。有限单元法（FEM）积分方程法(IE)积分方程法是从场参数所满足的微分方程边值问题出发，通过积分变换到相关参数所满足的积分方程并进行求解。IE的主要优点为，只需计算异常体（异常场）部分，无需剖分整个地下半空间，因而线性方程的维数相对FDM、FEM要小的多,可以快速求解模型;不足之处为,解的精度严重依赖于线性方程系数矩阵的精确度,由于其计算速度快的优点,在3D电磁法模型正演中,被广泛地应用积分方程法(IE)边界元法(BEM)边界元法是以边值问题的控制微分方程的基本解为基础，首先建立边界积分方程，之后在区域的边界上划分单元，并进行求解。BEM的主要优点为，对复杂边界的刻画和模拟较为完善，无需像FEM或FDM一样对边界进行精细剖分，因而线性方程的维数相对FDM、FEM也要小的多,可以快速求解模型;不足之处为难以刻画电性连续变化的复杂地下介质的构造边界元法(BEM)2.3.3物理模拟方法1物理模拟的基本原理根据物理实验中的相似理论，在进行物理模拟时，保持野外与室内地电模型的几何尺度按一定的比例缩小，并保持各地电体的电阻率比值不变，便可用实验方法获得与野外相似的观测结果。目前电法勘探常用的物理模拟方法有水槽、土槽、导电纸、电阻网络和薄水层等方法。2.3.3物理模拟方法设在野外实际条件下，地下有n个形状、大小和导电性不同的地质体，其电阻率分别为这时，地面任意两点MN间的电位差可表示为:则视电阻率可写成式中为地表水平、地下均匀各向同性介质情况下的电位差；G为与各地质体几何形状、大小、埋深、电极位置及地形起伏等因素有关的几何参数。设在野外实际条件下，地下有n个形状、大小和导电性不同的地质体若各电性不均匀体的电阻率比值参数与各长度因素的相对比值或几何参数G保持不变，则比值和因而，便可用利用相似原理的办法，将野外实际中各长度因素按一定比例缩小，并按实际的电阻率比值，在实验室中建造物理模型并进行观测，这样所获得的电场与视电阻率异常和野外相同，即这便是电阻率法物理模拟的基本原理。保持恒定若各电性不均匀体的电阻率比值参数与各长度因素的相对比值或几何水槽模拟法水槽模拟法是将模型、场源和工作装置布置在盛水槽内进行观测的一种物理模拟方法。它是用水作为均匀介质，以模拟围岩，用有机玻璃和胶本板等模拟理想高阻绝缘体，用铜板、钢球等模拟理想导体，用石墨粉掺水压紧或接合水泥制作的模型模拟有限电阻率的地质体。该法是电法勘探常用的物理模拟方法。水槽模拟可以分为二分之一空间与四分之一空间两种模拟方法。水槽模拟法应用地电学B课件：第2章-传导(直流)电场的理论基础2、体极化激发电场的模拟方法

“等效电阻率法”不仅可以用于体极化电场的解析计算，而且也可用于体极化电场的数值模拟和物理模拟。

在体极化条件下，总场电位所满足的微分方程和边界条件都是线性的，故模拟准则和无激电效应的一次场相同。

即要求：①保持模型和实地的几何尺寸成线性比例；②保持模型与实地的等效电参数相同（实际上，对导电性只要求相对电阻率相同）。这些条件是能够实现的，因而体极化的定量物理模拟是可能的。

2、体极化激发电场的模拟方法谢谢大家111谢谢大家111传导（直流）

地电场的理论基础应用地电学B传导（直流）

地电场的理论基础应用地电学B本节主要内容2.1.地下稳定电流场的传播规律 2.1.1稳定电流场的基本性质 2.1.2稳定电流场的微分方程的求解 2.1.3均匀大地中的稳定电流场及电阻率

的测定 2.1.4简单地电结构中的稳定电流场2.2地下激电场的传播规律 2.2.1等效电阻率法及均匀大地极化率的

测定 2.2.2激电场的边界条件 2.2.3简单地电结构中的激电场本节主要内容2.1.地下稳定电流场的传播规律本节主要内容2.3.传导地电场正演问题的模拟方法2.3.1稳定电流场的边值问题2.3.2数值模拟方法2.3.3物理模拟方法本节主要内容2.3.传导地电场正演问题的模拟方法地下稳定电流场的传播规律地下稳定电流场的传播规律，是传导类（直流）电法勘探的理论基础。传导类电法勘探中，要探测地下地质对象的存在与分布，首先要分析地下半空间建立的人工或天然电流场，然后研究由地质对象所产生的电场的变化，从而达到探测地下构造的目的

地下稳定电流场的传播规律地下稳定电流场的传播规律，是传导类（2.1.1稳定电流场的基本性质复习：（宏观）欧姆定律2.1.1稳定电流场的基本性质复习：（宏观）欧姆定律稳定电流场满足欧姆定律，在微观情况下，其微分形式是上式说明：稳定电流场中任一点的电流密度与该点场强成正比，与介质的电阻率成反比。上式既适用于均匀介质的情况，也适用于非均匀介质的情况。复习：（微观）欧姆定律稳定电流场满足欧姆定律，在微观情况上式说明：复习：（微观）电流叠加定律

稳定电流场满足叠加原理，即多个电流源产生的电流场可以表示为各个独立源单独作用下产生的电流场的矢量和，即：电流的叠加复习：（微观）电流叠加定律 稳定电流场满足叠加原理，即多个电在稳定电流场J中，任取一个不含源的闭合曲面，流过任何一个闭合曲面的电流密度通量均等于零，即在某一个封闭曲面中，流入的电流总量与流出的电流总量是相等的（电流是连续的）上式为稳定电流场的连续性方程式，由于矢量J满足散度定理复习：基尔霍夫(Kirchoff)定律在稳定电流场J中，任取一个不含源的闭合曲面，流过任何一个式中v为封闭面所包含的体积。由上两式和可得：

即为基尔霍夫定律的微分形式矢量的散度表示场量的场源的性质，基尔霍夫定律说明（在场源之外）电流不会凭空出现，也不会凭空消失，电流是处处连续的式中v为封闭面所包含的体积。由上两式和即为基尔霍夫定律的微在稳定电流场中，电荷的分布不随时间而改变，它和静电场一样具有势场特征，即场中任一点的电位只与该点到场源的相对位置有关，而与路径无关，是保守场。

对场中某点，单位距离上电位u的变化（即电位的负梯度）就等于该点的电场强度，电位的下降方向表示了场强的正方向复习：电流场的势在稳定电流场中，电荷的分布不随时间而改变，它和

即为数理方程中的拉普拉斯方程，上式反映了稳定电流场的内在规律。u为该方程的解。2.1.2稳定电流场的微分方程的求解对于稳定电流场而言，有若考虑求解的范围内无电流源则有：即为数理方程中的拉普拉斯方程，上式反映了稳定电流场的内直角坐标系中：圆柱坐标系中：球坐标系中：数学物理方程的解=通解+定解条件直角坐标系中：圆柱坐标系中：球坐标系中：数学物理方程的解=通对所研究的某一具体问题来说，它的解应该是唯一的。使场函数获得唯一解所须附加的限定条件称为定解条件。可以分为三类边界条件，即：1）狄利克莱边界条件（边界上的值）2）纽曼边界条件（边界上的法向导数）3）混合边界条件（一部分边界给出狄利克莱边界条件，另一部分给出纽曼边界条件）在直流地电学模拟中，一般采用混合边界条件进行定解对所研究的某一具体问题来说，它的解应该是唯一的。使场函数获得中国地质大学（北京）地信学院电法组制作1)极限情况的边界条件：当边界点离供电点无穷远时：当边界点靠近供电点时：2)地面（空气-地面界面）边界条件：

地面上电流密度法向分量等于零（场源点除外）单极场源供电中国地质大学（北京）地信学院电法组制作当边界点靠近供电点时：3)电性界面边界条件：界面两侧的电位连续界面两侧的电流沿法向连续界面两侧的电场强度沿法向连续界面两侧的电流满足类似于光学中的斯奈尔定律3)电性界面边界条件：界面两侧的电流满足类似于光学中的斯奈上式表明，在稳定电流场中，电位处处有限且连续；在界面两侧，电流密度在法线方向连续。在传导类电法中我们将要讨论的各种理论曲线，就是针对不同地电模型，在不同的坐标系中求解偏微分方程得到的。电流场的微分方程上式表明，在稳定电流场中，电位处处有限且连续；在界面两侧，电

假设地下半空间是均匀、各向同性的介质。使用两个供电电极将电流供入地下，然后在离供电电极一定距离的地方来观测场的分布。由于电极大小相对于电极之间的距离（数百米-数公里）来说一般很小，因此我们可以把电极看作是一个点电源。2.1.3均匀大地中的稳定电流场

及电阻率的测定假设地下半空间是均匀、各向同性的介质。使用两个1）单点电源的电场

点源在地表的情况

设在电阻率为ρ的无限半空间的地表，有一点电源A，其电流强度为+I。显然，在距点源A为rAM点的电流密度矢量为：1）单点电源的电场上式代入，得到M点的电场强度两边积分，得到M点的电位为：上式中，由于当点电源一定时，I为常数。对于均匀、各向同性无限半空间地表，点电源场的电位分布与r成反比，其等位面是以点源为中心的一系列同心圆。上式代入，得到M点的电场强度两边积分，得到M点的计算地下电阻率…计算地下电阻率…点源在地下的情况电源不在地表时，地下的电流将不再是均匀分布，也无法用之前的公式进行计算镜象法用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷/电流分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷/电流分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。点源在地下的情况镜象法中国地质大学（北京）地信学院电法组制作如果可以假设在地面上方存在一个极性相同，大小也相同的电流源，可以利用叠加原理，用镜像法求解（虚电流源法）：当观测点位于地面时，R=R’中国地质大学（北京）地信学院电法组制作当观测点位于地面时，R而x方向的电场和电流即可表示为：在X=0处，电场强度与电流密度均为零，而在的位置，有两个拐点，电场强度和电流密度最大而x方向的电场和电流即可表示为：在X=0处，电场强度与电流密2）两个点电源的电场

当地表有两个异性点电源供电时，根据电场的叠加原理，得到M点的电位表达式同理，便可求出两个异性点电源在M点的场强2）两个点电源的电场同理，便可求出两个异性点电

(a)平面图

(b)剖面图

(c)地表电位剖面两个点电源的电位及电场分布如下图所示。两个点电源的电位及电场分布如下图所示。

由图可见，越靠近电极，电位变化越大。在A极附近，电位迅速增高；在B极附近，电位迅速下降。在AB中部电位变化较慢，在AB中点电位为零。由图可见，越靠近电极，电位变化越大。在讨论均匀半空间电流密度随深度的变化电流密度沿垂直方向的变化讨论均匀半空间电流密度随深度的变化电流密度沿垂直方向的变化

在地表AB连线的中点o处，由A、B两个电极所形成的电流密度j0可以叠加为（5.3.3）同样，在AB的中垂线上深度为h的M点处的电流密度（5.3.6）在地表AB连线的中点o处，由A、B两个电（5.3.两者的比值就可以写为：两者的比值就可以写为：可见，对于一定的供电极距，电流的分布随深度衰减。而对于比较小的极距，电流密度随深度衰减快，比较大的深度处的电流密度已很微弱，从而难以探测到较深的异常体。对于比较大的极距，电流密度随深度衰减慢，即比较大的深度处仍具有较大的电流密度，从而可能探测到较深处的异常体。可见，对于一定的供电极距，电流的分布随深度衰减。

由图可见，电流密度主要分布在靠近地表附近的范围内，随着深度的加大，电流密度急剧减小。原则上说，要想加大勘探深度，只有相应地增大供电极距，从而使分配到一定深度范围的电流密度的百分数相对增大。由图可见，电流密度主要分布在靠近地表附近的范围内，随着3）地表偶极电流源的地下电流场当正负两个电流源相距很近，而两者的距离a与测量的位置M相比可以忽略时，我们称这两个电极源为电偶极子源，或简称偶极源电偶极子3）地表偶极电流源的地下电流场电偶极子M点的电场强度可以分解为沿向径OM的电场强度：和垂直向径方向的电场强度：其中m为偶极子的电偶矩，a为ab的距离：当偶极源在地面时，地中任一点电位为：M点的电场强度可以分解为沿向径OM的电场强度：其中m为偶极子中国地质大学（北京）地信学院电法组制作因此，E的总大小可以表示为：因此，电流密度可写为：中国地质大学（北京）地信学院电法组制作因此，E的总大小可以表中国地质大学（北京）地信学院电法组制作而当观测点位于地面时，θ=0或π，因此“变向角”的概念：地下电场在地下分布的方向α，与θ和β有关，当θ=θ0时：α=π/2,当θ>θ0时，α>π/2，当θ<θ0时，α<π/2，因此称之为“变向角”中国地质大学（北京）地信学院电法组制作而当观测点位于地面时，地下倾斜偶极源的情况设偶极源位于地下深度为h处，其倾斜角度为α，类似的可以得到偶极源的电势、电场与电流分布地下倾斜偶极源的情况均匀场点源场偶极场地下不同位置电流场的分布规律均匀场点源场偶极场地下不同位置电流场的分布规律3）均匀大地电阻率的测定测量均匀大地的电阻率，原则上可以采用任意形式的电极排列来进行，即在地表任意两点（A、B）供电，然后在任意两点（M、N）来测量其间的电位差，根据式便可求出M、N两点的电位。

一般在勘探上，为布设和计算方便，采用A/B/M/N同线的形式进行供电/采集3）均匀大地电阻率的测定以四极装置为例，不难求出M、N两点的电位：以四极装置为例，不难求出M、N两点的电位：从而大地电阻率的计算公式为

AB在MN间产生的电位差（5.2.13）（5.2.12）上式即为在均匀大地的地表采用任意电极装置（或电极排列）测量电阻率的基本公式。其中K为电极装置系数，其中：从而大地电阻率的计算公式为AB在MN间产生的电位差（5.2k是一个只与电极的空间位置有关的物理量。考虑到实际操作的便利性，在电法勘探中，一般总是把供电电极和测量电极置于一条直线上。k是一个只与电极的空间位置有关的物理量。考虑到实际操作的便利在野外施工之前，如何测定岩矿石的电阻率?在野外施工之前，如何测定岩矿石的电阻率?①露头测定法（in-situmeasurement）在原位测定最能代表岩矿石在自然地下环境中的电性特征。要求：a、露头表面平坦，有一定面积（长：＞2AB，宽＞1.5AB）；b、观测相互正交的两个方向的电阻率；c、供电极可近似为“点源”；d、保证与露头的接触，使接地电阻尽量小。b、观测相互正交的两个方向的电阻率；②标本测定法标本的采集，一般要求均匀地分布于所研究地质体的露头上，标本应具有代表性。对不同岩性、结构、矿化、蚀变等各类岩（矿）石均应系统测定。采集时应作记录，对标本的岩性进行必要的描述、编号，并将采集点点位标在地质图上②标本测定法要求：a、标本形状要规整；b、在水中浸泡至饱和；c、测量时把标本擦干；d、注意满足近似条件。标本电阻率的测量一般采用蜡封法或标本架法，利用欧姆定律进行计算要求：标本电阻率的测量样本偏离度统计用基本观测结果统计出来的常见值，与检查观测结果统计出来的常见值其相对误差不得超过20%。检查标本数量，应达到测定标本总数的10%；μ—平均相对误差；

n—检查标本的样品数；Ai——第i件样品一次测量结果；Bi——第i件样品另一次测量结果。样本偏离度统计

当地面水平、地下充满均匀各项同性的导电岩石时，用上述公式的计算结果为均匀大地电阻率。若进行测量的地段地下岩石电性分布不均匀时，计算结果称之为视电阻率，并用ρs表示。视电阻率及其定性分析方法当地面水平、地下充满均匀各项同性的导电岩石时，（5.3.1）

这是电阻率法中最基本的计算公式。在电阻率法的实际工作中，一般测得的都是视电阻率，只当电极排列位于某种单一岩性的地层中时，才会测到该地层的真电阻率。视电阻率的微分公式：（5.3.3）（5.3.1）这是电阻率法中最基本的计算公

上式就是视电阻率和电流密度的关系式，或称为视电阻率的微分公式。它表明某点的视电阻率和测量电极所在介质的真电阻率成正比，其比例系数就是测量电极间实际电流密度与假设地下为均匀介质时正常场电流密度之比。

显然，jMN包含了在电场分布范围内各种电性地质体的综合影响。上式就是视电阻率和电流密度的关系式，或称为视电

当地下半空间有低阻不均匀体存在时，由于正常电流线被低阻体所“吸引”，使地表MN处的实际电流密度减少，所以jMN<j0，s<MN

当地下半空间有低阻不均匀体存在时，由于正常电流线被低阻体所

相反，当地下半空间有高阻体存在时，由于正常电流线被高阻体所“排斥”，使地表MN处的实际电流密度增加，所以s

>MN。

因此，虽然视电阻率并非地下真实的电阻率，我们仍可以通过地表观测视电阻率的变化，揭示地下电性不均匀地质体的存在和分布。相反，当地下半空间有高阻体存在时，由于正常电流线被高视电阻率与地电断面性质的关系（a）均匀岩石；（b）围岩中赋存良导矿体；（c）围岩中赋存高阻岩体视电阻率的定性分析视电阻率与地电断面性质的关系视电阻率的定性分析地下稳定电流分布的定性规律总结①从正流到负；②电流守衡：电流总量不变；③能量最小原理： a、地面上j0达到最大值； b、随深度增加,电流减小； c、高阻体-“排斥”电流，

低阻体-“吸引”电流④同种电荷相互排斥： a、分散流动，充满整个地下半空间； b、高阻体上，地表电流j0

和电场E均大于均匀情况

低阻体上，地表电流j0

和电场E均小于均匀情况地下稳定电流分布的定性规律总结1)均匀电流场中球体的电场全空间条件下设围岩电阻率为ρ1，球体电阻率为ρ2，电流密度为j0,球体半径为r0,可以将球内外电位分解为所谓正常电位（背景场）和异常电位（异常场）2.1.4简单地电结构中的稳定电流场其中：U0为均匀电流场（背景场）的电位；U1a和U1a分别为球内和球外的异常电位2.1.4简单地电结构中的稳定电流场其中：U0为均匀电流场问题转化为如何求解异常场：由于背景场U0为均匀电流场，在球坐标下，容易求得：xyaj0电流线等位面由于球内外电位具有轴对称性质，位函数应与θ无关，因此；问题转化为如何求解异常场：由于背景场U0为均匀电流场，在球坐中国地质大学（北京）地信学院电法组制作从拉普拉斯方程出发，利用极限条件与边界条件求解解出

的一般表达式，即可写出球内、外电位解得表达式然后根据极限条件与边界条件确定系数，得到最终表达式

中国地质大学（北京）地信学院电法组制作从拉普拉斯方程出发，利半空间条件下由于地面电法的供电和测量均在地面分布，特别是讨论球外的电场分布更有实际意义。地面的影响仍可以用镜像法进行计算。当球体埋深比较深时，可忽略球体与地面以上镜像的相互作用；这时，可以将球外表达式的异常部分简单加倍得到地面一次电位的一阶近似：在均匀电流场中，球外的异常分布与一个位于球心的水平电偶极子的电流场等效，此时的电偶矩为：半空间条件下2)点源电流场中的垂直电阻率接触面设有点源A(I)位于垂直分界面左边岩石的地面上，A与分界面的距离为d，左右两侧的电阻率分别为ρ1，ρ2，欲求地下空间内的电场分布，同样可以利用“镜像法”进行求解。在界面左侧某一点M处的电位即可用原始电源与镜像源的叠加来表示：2)点源电流场中的垂直电阻率接触面在界面左侧某一点M处的电位在界面右侧某一点M2处的电位可以类似的表示为：而根据电位分布的连续性定理，在中央界面处的电位应可表示为：在界面右侧某一点M2处的电位可以类似的表示为：而根据电位分布除此以外，稳定电流场中界面上电流密度的法向分量也应是连续的：由于在分界面上，r=r1=r2，因此：结合之前的结论，有：其中：除此以外，稳定电流场中界面上电流密度的法向分量也应是连续的：我们设：则两侧电位可分别表示为：我们发现，在界面左侧，系数K12好像决定了被分界面反射到左侧的电流的作用，故称K12为反射系数。在界面右侧，系数1-K12好像决定了经过分界面透射到左侧的电流的作用，故称1-K12为透射系数。我们设：则两侧电位可分别表示为：我们发现，在界面左侧，系数K进而，我们可以写出在电源距离分界面为d时，横跨分界面方向(x)上的地表电场强度表达式：分析上述二式我们可以发现，在分界面右侧（无实电源存在）的电场与点电源位于电阻率等于的均匀介质中的电场等效。测点通过分界面时，电位曲线发生折曲，而电场发生跃变，电场两侧强度跃变的比值为进而，我们可以写出在电源距离分界面为d时，横跨分界面方向(x小结：地下稳定电流场的传播规律传播基本规律欧姆定律/克希霍夫定律/电场的势

求解势场微分方程：拉普拉斯方程+定解条件点电源产生的电场单点电源/双点电源(偶极源)电阻率法的测深原理

电流随深度的增加而衰减，极距越大，衰减越慢均匀大地电阻率的测定视电阻率的概念

高阻“排斥”电流，低阻“吸引”电流小结：地下稳定电流场的传播规律传播基本规律

在上一节中，我们讨论了稳定电流场在地下的传播规律，在这一节中，我们将通过主要讨论几种规则几何形体在直流长脉冲激发下通过理论计算方法取得的激电场，研究地下激电场的传播规律满足条件：1、极化电场达到稳定（T->∞）2、场源以外的电位分布满足拉普拉斯方程2.2地下激电场的传播规律稳定电流场激电场 在上一节中，我们讨论了稳定电流场在地下的传播规律，在这一节1．等效电阻率的概念

在之前极化效应的测量装置和测量结果中可以看到，由于存在激发极化效应，在流过标本的电流保持不变的条件下，标本两端的极化总场电位差随充电时间而增大。

2.2.1等效电阻率法及均匀大地极化率的测定1．等效电阻率的概念 2.2.1等效电阻率法及均匀大地极化

我们在上一章中了解到，这一随时间的增大应是与岩矿石极化性质有关。但另一方面，我们也可将上述现象理解为，体极化效应等效于体极化介质电阻率的随时间的增大。

显然，真实的电阻率不可能随时间增大，而为与介质在无激电效应时的真电阻率相区别，我们将发生体极化效应时，极化体对极化总场的电阻率称为“等效电阻率”。

显然，等效电阻率随频率或充电时间而变。

真电阻率等效电阻率 我们在上一章中了解到，这一随时间的增大应是与岩矿石极化性质中国地质大学（北京）地信学院电法组制作设大地为均匀无限半空间，电阻率为ρ，（极限）极化率为η。则由地面点电源A（＋I)和B（一I）在地面M和N点产生的一次场电位差为在T0或f∞的极限情况下，总场电位U(T)|T0或U(f)|f∞趋于无激电效应的一次场电位

U1，等效电阻率ρ(T)|T0或ρ(iω)|ω∞就等于介质真电阻率ρ。中国地质大学（北京）地信学院电法组制作设大地为均匀无限半空间在T∞或f0的另一极限情况下，总场电位趋于饱和值U(T)|T∞或U(f)|f0，此时的等效电阻率ρ(T)|T∞或ρ(iω)|ω0为“极限等效电阻率”，记为ρ*。此时总场电位差为即为时间趋于无穷时的等效电阻率（极化电阻率），我们知道时间域内极化率的定义：两边除以I--》在T∞或f0的另一极限情况下，总场电位趋于饱和值U(T)中国地质大学（北京）地信学院电法组制作等效电阻率与真电阻率的关系：根据上述极化率的计算式和等效电阻率的计算式，可以写出真电阻率（极限）等效电阻率中国地质大学（北京）地信学院电法组制作等效电阻率与真电阻率的均匀大地极化率的测定

为了确定大地的极化率，可以利用上述的“等效电阻率”法中的计算极化总场的电位差：

与上述的一次场的电位差公式相减：

即可得到二次场的电位差：从而得到均匀大地的极化率公式（与装置系数无关）：均匀大地极化率的测定 为了确定大地的极化率，可以利用上述的“

所谓“等效电阻率”是从欧姆定律的角度，将激电附加二次电流场等效为极化体电阻率的改变对电流场的影响。既：将具有激电效应的地质体利用纯电阻体代替，将激电效应并入地质体的电阻率看待。我们可以定义与分别为频率域和时间域中的等效电阻率，分别为ω和T的函数。并有：——真电阻率——极限等效电阻率由极限极化率式，可推出所谓“等效电阻率”是从欧姆定律的角度，将激电附面极化

岩、矿石的激发极化一般可以近似分为面极化与体极化，因此讨论激电场的边界条件也可以类似的进行分类讨论。

体极化2.2.2激电场的边界条件面极化 岩、矿石的激发极化一般可以近似分为面极化与体极化，因(1)面极化的边界条件

面极化中的双电层都出现在在极化体与围岩溶液的界面上，我们设极化体和围岩的电阻率分别为ρ