对称性在二重积分中的应用课件

—对称性在二重积分中的应用《高等数学》（同济大学第五版）主讲：张晓斌中国民航大学理学院1ppt课件—对称性在二重积分中的应用《高等数学》（同济大学第五版）主讲一、常用的有关二重积分的对称性定理二、定理的应用（典型例题分析）三、小结主要内容2ppt课件一、常用的有关二重积分的对称性定理二、定理的应用（典型例题一、常用的有关二重积分的对称性定理定义1：若二元函数

的定义域关于轴对称，且满足

（或），则称关于

为奇（偶）函数。定义2：若二元函数

的定义域关于轴对称，且满足（或），则称关于

为奇（偶）函数。定义3：若二元函数

的定义域关于直线

对称，且满足，则称

关于和对称。3ppt课件一、常用的有关二重积分的对称性定理定义1：若二元函数定理1若有界闭区域

关于

轴对称，在区域上连续，则当关于

为奇函数时当关于

为偶函数时4ppt课件定理1当关于为奇函数

定理1’若有界闭区域

关于

轴对称，在区域上连续，则当

关于

为奇函数时当

关于

为偶函数时5ppt课件定理1’当关于为奇函推论1.1若有界闭区域

关于

轴和

轴都对称，

在区域上连续，且关于和均为偶函数，则6ppt课件推论1.16ppt课件定理2若有界闭区域与区域

关于直线

对称，在区域上连续，则7ppt课件定理27ppt课件推论2.1若有界闭区域

关于直线

对称，

在区域上连续，则8ppt课件推论2.18ppt课件例1.如图，由于积分区域关于轴，轴都对称，且和中的被积函数分别关于是奇函数，根据定理1和定理1’得计算

其中解：二、定理的应用9ppt课件例1.计算例2.（总习题九1(2)）.则提示:如图，A设有平面闭区域10ppt课件例2.（总习题九1(2)）.则提示:如图，例3.有一个平面薄片,在

平面上占有区域

其面密度为，求该薄片的质量M。

由于积分区域关于轴，轴都对称，且被积函数关于都是偶函数，根据推论1.1得解：根据二重积分的物理意义，11ppt课件例3.有一个平面薄片,在平面上占有例4.设在连续，且证明证明:补区域使其与区域注意到被积函数关于

和

对称,考虑利用定理2，关于直线对称。12ppt课件例4.设在连续，且证明证明例5.设为取值恒大于0的连续函数，区域

，与是两个非零常数，则二重积分13ppt课件例5.设为取值恒大于0的连续函数，区域13ppt课件解：由于区域

关于直线对称，根据推论2.1可得从而14ppt课件解：由于区域关于直线对称三、小结本节给出了几种常用的有关二重积分的对称性定理，并通过例题分析对这些定理做了应用，讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化二重积分的计算。15ppt课件三、小结本节给出了几种常用的有关二重积分的对称性定理，并通过谢谢！16ppt课件谢谢！16ppt课件—对称性在二重积分中的应用《高等数学》（同济大学第五版）主讲：张晓斌中国民航大学理学院17ppt课件—对称性在二重积分中的应用《高等数学》（同济大学第五版）主讲一、常用的有关二重积分的对称性定理二、定理的应用（典型例题分析）三、小结主要内容18ppt课件一、常用的有关二重积分的对称性定理二、定理的应用（典型例题一、常用的有关二重积分的对称性定理定义1：若二元函数

的定义域关于轴对称，且满足

（或），则称关于

为奇（偶）函数。定义2：若二元函数

的定义域关于轴对称，且满足（或），则称关于

为奇（偶）函数。定义3：若二元函数

的定义域关于直线

对称，且满足，则称

关于和对称。19ppt课件一、常用的有关二重积分的对称性定理定义1：若二元函数定理1若有界闭区域

关于

轴对称，在区域上连续，则当关于

为奇函数时当关于

为偶函数时20ppt课件定理1当关于为奇函数

定理1’若有界闭区域

关于

轴对称，在区域上连续，则当

关于

为奇函数时当

关于

为偶函数时21ppt课件定理1’当关于为奇函推论1.1若有界闭区域

关于

轴和

轴都对称，

在区域上连续，且关于和均为偶函数，则22ppt课件推论1.16ppt课件定理2若有界闭区域与区域

关于直线

对称，在区域上连续，则23ppt课件定理27ppt课件推论2.1若有界闭区域

关于直线

对称，

在区域上连续，则24ppt课件推论2.18ppt课件例1.如图，由于积分区域关于轴，轴都对称，且和中的被积函数分别关于是奇函数，根据定理1和定理1’得计算

其中解：二、定理的应用25ppt课件例1.计算例2.（总习题九1(2)）.则提示:如图，A设有平面闭区域26ppt课件例2.（总习题九1(2)）.则提示:如图，例3.有一个平面薄片,在

平面上占有区域

其面密度为，求该薄片的质量M。

由于积分区域关于轴，轴都对称，且被积函数关于都是偶函数，根据推论1.1得解：根据二重积分的物理意义，27ppt课件例3.有一个平面薄片,在平面上占有例4.设在连续，且证明证明:补区域使其与区域注意到被积函数关于

和

对称,考虑利用定理2，关于直线对称。28ppt课件例4.设在连续，且证明证明例5.设为取值恒大于0的连续函数，区域

，与是两个非零常数，则二重积分29ppt课件例5.设为取值恒大于0的连续