第四章控制系统的根轨迹分析法课件-002

○○○○相角条件：s○○○○s在s左边的零、极点其相角均为0在s右边的零、极点其相角均为π共轭复根相角为2π在实轴上的s

是否满足相角条件就看s

右边的零、极点之和是否是奇数在实轴上的s

是否满足相角条件就看s

右边的零、极点之和是否是奇数在实轴上的s

是否满足相角条件就看s

右边的零、极点之和是否是奇数奇数○○○○相角条件：s○○○○s在s左边的零、极点其相角均1出射角公式：出射角公式：2出射角公式：出射角公式：3第四章控制系统的根轨迹分析法课件_0024第四章控制系统的根轨迹分析法根轨迹分析法是一种图解分析法，利用它求解高阶系统中某一参数对系统性能的影响将非常方便。§4.1根轨迹的基本概念及分析方法介绍系统开环中某一参数从0→∞时，闭环系统特征根在S平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。[例]求系统特征方程的根随开环增益K的变化在S平面上的位置变化情况，并分析K对系统的影响。RY第四章控制系统的根轨迹分析法根轨迹分析法是5[解]系统特征方程为求得两个极点：ImRe0-1当K=0时：s1=0，s2=-1当K=1/4时：s1,2=-1/2K在0→1/4之间连续变化则s1和s2也连续变化，并且互相靠近。当K＞1/4时：s的实部为常数，其虚部随着K→∞是连续变化的，并且上下分开。该根迹表达如下信息：①无论K如何变化，闭环极点只可能出现在S平面的左半平面，系统始终稳定。②在0＜K＜1/4区间：s1,2是实数极点，所以阶跃响应是单调收敛的。由于s1离虚轴最近，所以它主导系统的响应，当K↑→s1远离虚轴，系统响应过程变快。③在1/4＜K＜∞区间：

s1,2是一对共轭复根，实部为常数，决定了系统的调节时间；-1/2虚部随着K增大而增大→ζ↓→σ%↑；画出ζ=0.707的等阻尼线，找出根迹与该线的交点，可得相应的s’→最佳值。s’s’s’s’[解]系统特征方程为求得两个极点：ImRe0-1当K=0时：6§4.2绘制根轨迹的基本规则一、根轨迹的幅值条件和相角条件RY系统的特征：1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1幅值条件:相角条件:在S平面上满足特征方程的s一定满足幅、相条件；同理满足幅、相条件的s一定满足特征方程。利用开环求解闭环§4.2绘制根轨迹的基本规则一、根轨迹的幅值条件和相角条7设系统的开环传递函数为开环零点开环极点根轨迹增益—将GH中最高阶相的系数化为1提出的常数闭环特征方程幅值条件幅值条件幅值条件相角条件相角条件相角条件相角条件是根轨迹的充分必要条件；幅值条件只有在求Kg参数时才使用。闭环极点这是什么？设系统的开环传递函数为开环零点开环极点根轨迹增益—将GH中最8二、绘制根轨迹的基本规则1.根轨迹的条数和对称性：特征方程有n个根就有n

条根轨迹，并且是对称于实轴的连续曲线。2.根轨迹的起点和终点：起始于开环极点，终止于开环零点和无穷零点。闭环特征方程Kg=0时（起点）闭环极点=开环极点Kg=∞时（终点），m个闭环极点=开环零点(n-m)个闭环极点=无穷零点3.实轴上的根轨迹：实轴上某区间存在根轨迹，则该区间右边的开环零、极点数之和必为奇数。ImRe二、绘制根轨迹的基本规则1.根轨迹的条数和对称性：特征方程有9ImRe0-14）分离点与会合点：两条或两条以上的根轨迹在S平面上相遇又立即分开的点。重根点在实轴上两个开环极点之间如果是根轨迹，必有分离点；两个开环零点之间是根轨迹，必有会合点。分离点→求解特征方程的重根。RY[例]已知代入求KImRe0-14）分离点与会合点：两条或两条以上的根轨迹在S105）根轨迹的渐近线

与实轴交点：与实轴交角：

当n＞m时，有m条根轨迹终止于开环的有限零点，而n-m条根轨迹将沿着与实轴交点为–σa

、交角为

φ的一组渐进线终止于无穷远处（无穷零点）。5）根轨迹的渐近线与实轴交点：与实轴交角：11ImRe0-1RY[例]在实轴上两开环极点之间是根轨迹，所以有分离点。系统开环为可得ImRe0-1RY[例]在实轴上两开环极点之间126)根轨迹与虚轴的交点交点[例]已知系统开环[解]已知与虚轴交点处求与虚轴交点系统特征方程为代入虚部为零实部为零解得：也可以用劳斯表求交点6)根轨迹与虚轴的交点交点[例]已知系统开环[解]已知与虚轴137）根轨迹的出射角和入射角出射角公式：所有开环有限零点到该点矢量的相角除起点外开环极点到该点矢量的相角入射角公式：8）闭环特征方程根之和与根之积a）(n-m)≥2时，根之和与根轨迹增益Kg无关，是个常数，即b）根之和不变

Kg增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。闭环极点开环极点7）根轨迹的出射角和入射角出射角公式：所有开环有限零点到该点14闭环极点与特征方程的系数关系（n-m≥2）=常数闭环极点与特征方程的系数关系（n-m≥2）=常数15[例1]已知系统开环试绘制闭环系统的概略根轨迹[解]已知开环①在[-1，0]和[-∞，-2]区间有根轨迹。②实轴上两个开环极点之间有根轨迹，必有分离点得（不合理）③渐近线④虚轴交点将s=jω代入特征方程[例1]已知系统开环试绘制闭环系统的概略根轨迹[解]已知开环16[例2]已知系统的开环传递函数试绘制闭环系统的概略根轨迹[解]由开环传递函数知①将零、极点标在图上②实轴上[-3，0]有根轨迹③求分离点求导试探法，得代入得④求渐近线n-m=4有四条渐近线⑤求与虚轴交点代入特征方程⑥画出根轨迹[例2]已知系统的开环传递函数试绘制闭环系统的概略根轨迹[解17幅值条件相角条件模值方程与相角方程的应用所有开环零点到闭环s的距离所有开环极点到闭环s的距离所有开环零点指向闭环s的相角所有开环极点指向闭环s的相角幅值条件相角条件模值方程与相角方程的应用所有开环零点到闭环18S1=－1.5+j1.2553幅k*=0.2643.826相39.91.82668.35.576147.91.82613.82621.826111.7160.3164.4k*=0.266180.3oS1=－1.5+j1.2553幅k*=0.2643.826相19§4.3参量根轨迹——广义根轨迹初根轨迹Kg以外，系统其它参数变化时的根轨迹称为参量根轨迹（或广义根轨迹）。1.开环零点变化的根轨迹

设系统开环传递函数为没有附加开环零点情况相当于设置设置零点在–2

左边时根轨迹与虚轴有交点，在右边时，根轨迹与虚轴没有交点。设置§4.3参量根轨迹——广义根轨迹初根轨迹20在虚轴的左边配置适当的零点在虚轴的左边配置适当的零点212.开环极点变化的根轨迹

设系统开环传递函数为没有配置极点配置极点配置极点配置极点2.开环极点变化的根轨迹设系统开环传递函数为没有配置极点配22配置在虚轴左边的极点要远离虚轴配置在虚轴左边的极点要远离虚轴23RYRYRY闭环传递函数分母一样，所以极点是一样的。A系统开环具有零点，闭环也有零点并且相同。B系统开环具有零点，但闭环没有零点。AB但是不是都具有闭环零点！控制器被控对象测量装置指令被控参数RYRYRY闭环传递函数分母一样，所以极点是一样的。A系统开24§4.4系统性能的根轨迹分析§4.4系统性能的根轨迹分析25[练习]画出概略根轨迹（a）（b）（c）（d）[练习]画出概略根轨迹（a）（b）（c）（d）26作业：4-3作业：4-327○○○○相角条件：s○○○○s在s左边的零、极点其相角均为0在s右边的零、极点其相角均为π共轭复根相角为2π在实轴上的s

是否满足相角条件就看s

右边的零、极点之和是否是奇数在实轴上的s

是否满足相角条件就看s

右边的零、极点之和是否是奇数在实轴上的s

是否满足相角条件就看s

右边的零、极点之和是否是奇数奇数○○○○相角条件：s○○○○s在s左边的零、极点其相角均28出射角公式：出射角公式：29出射角公式：出射角公式：30第四章控制系统的根轨迹分析法课件_00231第四章控制系统的根轨迹分析法根轨迹分析法是一种图解分析法，利用它求解高阶系统中某一参数对系统性能的影响将非常方便。§4.1根轨迹的基本概念及分析方法介绍系统开环中某一参数从0→∞时，闭环系统特征根在S平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。[例]求系统特征方程的根随开环增益K的变化在S平面上的位置变化情况，并分析K对系统的影响。RY第四章控制系统的根轨迹分析法根轨迹分析法是32[解]系统特征方程为求得两个极点：ImRe0-1当K=0时：s1=0，s2=-1当K=1/4时：s1,2=-1/2K在0→1/4之间连续变化则s1和s2也连续变化，并且互相靠近。当K＞1/4时：s的实部为常数，其虚部随着K→∞是连续变化的，并且上下分开。该根迹表达如下信息：①无论K如何变化，闭环极点只可能出现在S平面的左半平面，系统始终稳定。②在0＜K＜1/4区间：s1,2是实数极点，所以阶跃响应是单调收敛的。由于s1离虚轴最近，所以它主导系统的响应，当K↑→s1远离虚轴，系统响应过程变快。③在1/4＜K＜∞区间：

s1,2是一对共轭复根，实部为常数，决定了系统的调节时间；-1/2虚部随着K增大而增大→ζ↓→σ%↑；画出ζ=0.707的等阻尼线，找出根迹与该线的交点，可得相应的s’→最佳值。s’s’s’s’[解]系统特征方程为求得两个极点：ImRe0-1当K=0时：33§4.2绘制根轨迹的基本规则一、根轨迹的幅值条件和相角条件RY系统的特征：1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1幅值条件:相角条件:在S平面上满足特征方程的s一定满足幅、相条件；同理满足幅、相条件的s一定满足特征方程。利用开环求解闭环§4.2绘制根轨迹的基本规则一、根轨迹的幅值条件和相角条34设系统的开环传递函数为开环零点开环极点根轨迹增益—将GH中最高阶相的系数化为1提出的常数闭环特征方程幅值条件幅值条件幅值条件相角条件相角条件相角条件相角条件是根轨迹的充分必要条件；幅值条件只有在求Kg参数时才使用。闭环极点这是什么？设系统的开环传递函数为开环零点开环极点根轨迹增益—将GH中最35二、绘制根轨迹的基本规则1.根轨迹的条数和对称性：特征方程有n个根就有n

条根轨迹，并且是对称于实轴的连续曲线。2.根轨迹的起点和终点：起始于开环极点，终止于开环零点和无穷零点。闭环特征方程Kg=0时（起点）闭环极点=开环极点Kg=∞时（终点），m个闭环极点=开环零点(n-m)个闭环极点=无穷零点3.实轴上的根轨迹：实轴上某区间存在根轨迹，则该区间右边的开环零、极点数之和必为奇数。ImRe二、绘制根轨迹的基本规则1.根轨迹的条数和对称性：特征方程有36ImRe0-14）分离点与会合点：两条或两条以上的根轨迹在S平面上相遇又立即分开的点。重根点在实轴上两个开环极点之间如果是根轨迹，必有分离点；两个开环零点之间是根轨迹，必有会合点。分离点→求解特征方程的重根。RY[例]已知代入求KImRe0-14）分离点与会合点：两条或两条以上的根轨迹在S375）根轨迹的渐近线

与实轴交点：与实轴交角：

当n＞m时，有m条根轨迹终止于开环的有限零点，而n-m条根轨迹将沿着与实轴交点为–σa

、交角为

φ的一组渐进线终止于无穷远处（无穷零点）。5）根轨迹的渐近线与实轴交点：与实轴交角：38ImRe0-1RY[例]在实轴上两开环极点之间是根轨迹，所以有分离点。系统开环为可得ImRe0-1RY[例]在实轴上两开环极点之间396)根轨迹与虚轴的交点交点[例]已知系统开环[解]已知与虚轴交点处求与虚轴交点系统特征方程为代入虚部为零实部为零解得：也可以用劳斯表求交点6)根轨迹与虚轴的交点交点[例]已知系统开环[解]已知与虚轴407）根轨迹的出射角和入射角出射角公式：所有开环有限零点到该点矢量的相角除起点外开环极点到该点矢量的相角入射角公式：8）闭环特征方程根之和与根之积a）(n-m)≥2时，根之和与根轨迹增益Kg无关，是个常数，即b）根之和不变

Kg增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。闭环极点开环极点7）根轨迹的出射角和入射角出射角公式：所有开环有限零点到该点41闭环极点与特征方程的系数关系（n-m≥2）=常数闭环极点与特征方程的系数关系（n-m≥2）=常数42[例1]已知系统开环试绘制闭环系统的概略根轨迹[解]已知开环①在[-1，0]和[-∞，-2]区间有根轨迹。②实轴上两个开环极点之间有根轨迹，必有分离点得（不合理）③渐近线④虚轴交点将s=jω代入特征方程[例1]已知系统开环试绘制闭环系统的概略根轨迹[解]已知开环43[例2]已知系统的开环传递函数试绘制闭环系统的概略根轨迹[解]由开环传递函数知①将零、极点标在图上②实轴上[-3，0]有根轨迹③求分离点求导试探法，得代入得④求渐近线n-m=4有四条渐近线⑤求与虚轴交点代入特征方程⑥画出根轨迹[例2]已知系统的开环传递函数试绘制闭环系统的概略根轨迹[解44幅值条件相角条件模值方程与相角方程的应用所有开环零点到闭环s的距离所有开环极点到闭环s的距离所有开环零点指向闭环s的相角所有开环极点指向闭环s的相角幅值条件相角条件模值方程与相角方程的应用所有开环零点到闭环45S1=－1.5+