新高三数学成才路二轮专项复习训练41空间几何体(含答案解析)

专题四第一讲一、选择题1．(文)(2013山·东文，4)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()8A．45，8B．45，38C．4(5＋1)，3D．8,8[答案]B[剖析]由正视图知四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，又因为侧棱长相等，所以棱锥是正四棱锥，斜高h′＝22＝1×2×5＝41×2×2×22＋15，侧面积S＝4×5，体积V＝23＝8.3(理)(2013绍·兴市模拟)某四棱锥的底面为正方形，其三视图以下列图，则该四棱锥的体积等于()A．1C．3

B．2D．4[答案]

B[剖析]

由三视图知，该几何体底面是正方形，对角线长

为2，故边长为2，几何体是四棱锥，有一条侧棱与底面垂直，其直观图如图，由条件知PC13，AC＝2，PA＝3，体积V＝13×(2)2×3＝2.2．(文)(2014长·春市三调)若一个圆柱的正视图与其侧面张开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为()A.πB.2ππ＋12π＋1C.2D.1π＋1π＋12[答案]B[剖析]2r＝hπ，则S＝2πr·h＝4πr2π，设圆柱的底面半径为r，高为h，则h2πr侧22，故圆柱的侧面积与全面积之比为4πr2π2＝2π，应选B.S全＝4πrπ＋2πr22π＋14πrπ＋2πr(理)(2014吉·林市质检)某由圆柱切割获得的几何体的三视图以下列图，其中俯视图是中心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为()A．12＋10B．6＋103π3πC．12＋2πD．6＋4π[答案]

C[剖析]

由三视图可知，该几体何是沿圆柱的底面夹角为

60°的两条半径与中心轴线相交获得平面为截面截下的圆柱一角，其中两个侧面都是矩形，矩形一边长为半径

2，一边长为柱高

3，另一侧面为圆柱侧面的

1，因此该几何体的侧面积为6

S＝2×3＋2×3＋1×(2π×6

2×3)＝12＋2π.3．(文)一个几何体的三视图以下列图，则该几何体的体积为

(

)A．12－πB．12－2πC．6－πD．4－π[答案]A[剖析]由三视图知，该几何体是一个组合体，由一个长方体挖去一个圆柱构成，长方体的长、宽高为4,3,1，圆柱底半径1，高为1，∴体积2V＝4×3×1－π×11＝12－π.(理)若某棱锥的三视图(单位：cm)以下列图，则该棱锥的体积等于()A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3[答案]B[剖析]由三视图知该几何体是四棱锥，可视作直三棱柱ABC－A1B1C1沿平面AB1C1截去一个三棱锥A－A1B1C1余下的部分．111×4×3)×5＝20cm3.∴VA－BCC1B1＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝×4×3×5－×(2234．(文)如图，直三棱柱的正视图面积为2a2，则侧视图的面积为()A．2a2B．a2232C.3aD.4a[答案]C[剖析]由正视图的面积为2a2，则直三棱柱的侧棱长为2a，侧视图为矩形，一边长为322a，另一边长为2a，因此侧视图的面积为3a.(理)(2013东·城区模拟)已知一个几何体的三视图以下列图(单位：cm)，那么这个几何体的侧面积是()A．(1＋2)cm2B．(3＋2)cm2C．(4＋2D．(5＋22)cm2)cm[答案]C1[剖析]由三视图可画出该几何体的直观图如图，其侧面积为1×1＋2×(1＋2)×1＋21×12＋12＝4＋2cm2.5．(文)(2013常·德市模拟)一个几何体的三视图以下列图，则该几何体的表面积为()A．6＋23B．6＋42C．4＋23D．4＋42[答案]D11[剖析]其直观图如图，表面积S＝2×(2×2×2)＋(2×22×2)×2＝4＋42.(理)(2013江·西师大附中、鹰潭一中联考)已知一个三棱锥的正视图与俯视图以下列图，则该三棱锥的侧视图面积为()33A.2B.41C．1D.2[答案]B[剖析]由题意知，此三棱锥的底面为有一个角为30°的直角三角形，其斜边长AC＝2，一个侧面PAC为等腰直角三角形，DE＝1，BF＝3，其侧视图为直角三角形，其两直角边与DE、2BF的长度相等，面积S＝1×1×3＝3.2246．(2014新·乡、许昌、平顶山调研)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图以下列图，则以下命题正确的选项是()8A．AD⊥平面PBC，且三棱锥D－ABC的体积为38B．BD⊥平面PAC，且三棱锥D－ABC的体积为316C．AD⊥平面PBC，且三棱锥D－ABC的体积为316D．AD⊥平面PAC，且三棱锥D－ABC的体积为3[答案]C[剖析]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又∵AD?平面PAC，∴BC⊥AD，由正视图可知，AD⊥PC，又PC∩BC＝C，∴AD⊥平面1111×4×4)＝16.PBC，且VD－ABC＝VP－ABC＝××4×(32232二、填空题7．(文)(2014天·津文，10)一个几何体的三视图以下列图(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.20π[答案]3[剖析]本题观察三视图及简单几何体的体积计算，观察空间想象能力和简单的计算能力．由三视图知，该几何体下面是圆柱、上面是圆锥．21220π∴V＝π×14＋π×22＝.33(理)(2013陕·西理，12)某几何体的三视图以下列图，则其体积为________．π[答案]3[剖析]由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为2的半个圆锥．∴V＝112π×(π×12)＝.2338．(文)(2013金·华一中月考)某几何体的三视图(单位：cm)以以下列图，则这个几何体的表面积为________cm2.[答案]12＋23[剖析]由三视图知，该几何体为正三棱柱，1底面积S1＝2×(2×2×3)＝23，侧面积S2＝3×(2×2)＝12，2∴表面积S＝S1＋S2＝12＋23cm.(理)(2013天·津十二区县联考)某几何体的三视图以下列图，则该几何体的体积为________．[答案]108＋3π[剖析]由三视图知，该几何体由上下两个全等的正四棱柱及中间的圆柱构成的组合2体，体积V＝2×(6×6×1.5)＋π×13＝108＋3π.9．(2013·苏，江8)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D、E、F分别是AB、AC、AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1V2＝________.[答案]111V1＝×S×h[剖析]V锥F－ADE＝342＝1.V柱ABC－ABC三、解答题10．(文)在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝1，AB＝4，BC＝23，CBA＝30°.(1)求证：AC⊥PB；(2)当PD＝2时，求此四棱锥的体积．[剖析](1)∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，又∠CBA＝30°，BC＝23，AB＝4，AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠CBA＝16＋12－2×4×23×23＝2，AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，故AC⊥BC.又∵PC、BC是平面PBC内的两条订交直线，故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB.(2)当PD＝2时，作CE⊥AB交AB于E，1在Rt△CEB中，CE＝CB·sin30°＝23×＝3，2又在Rt△PCD中，DC＝1，PC＝3，1115∴VP－ABCD＝·PC·SABCD＝×3×(1＋4)×3＝.3322(理)(2014山·西太原检测)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求证：平面BDGH//平面AEF；(3)求多面体ABCDEF的体积．[剖析](1)证明：因为四边形ABCD是正方形，因此AC⊥BD.又因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC?平面ABCD，因此AC⊥平面BDEF.(2)证明：在△CEF中，因为G、H分别是CE、CF的中点，因此GH∥EF，又因为GH?平面AEF，EF?平面AEF，因此GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，因此OH∥AF，又因为OH?平面AEF，AF?平面AEF，因此OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH，因此平面BDGH∥平面AEF.(3)解：由(1)，得AC⊥平面BDEF，又因为AO＝2，四边形BDEF的面积SBDEF＝3×22＝62，因此四棱锥A－BDEF的体积V1＝13×AO×SBDEF＝4.同理，四棱锥C－BDEF的体积V2＝4.因此多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.一、选择题11．(文)(2013眉·山市二诊)一个棱锥的三视图以下列图，则这个棱锥的体积是()A．6B．12C．24D．36[答案]B[剖析]由三视图知该几何体为有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，体积V＝1×(4×3)×33＝12.(理)(2013榆·林市一中模拟)已知某几何体的三视图以下列图，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为()A．8B．6C．4D．2[答案]B1[剖析]由V＝3×(a×3)×4＝24得，a＝6.12．(文)(2013江·西八校联考)某几何体的三视图(单位：m)以下列图，则其表面积为()A．(96＋322)m2B．(64＋323)m2C．(114＋162＋163)m2D．(80＋162＋163)m2[答案]D[剖析]由三视图知该几何体是一个组合体，中间是一个棱长为4的正方体(由正、侧视图中间部分和俯视图知)，上部是一个有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，下部是一个正四棱锥，表面积S＝2(12×4×4＋12×4×42＋42)＋4×42＋4×(12×4×23)＝80＋162＋163(m2)．(理)(2013德·阳市二诊)已知某几何体的三视图以下列图，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，依照图中的数据可得此几何体的体积为()2π14π1A.3＋2B.3＋62π12π1C.＋6＋26D.3[答案]C[剖析]由三视图知，该几何体为组合体，下部为一个半球，半球的直径为2，上部为三棱锥，有一侧棱与底面垂直，∴体积11×1＋4π2311＋2πV＝×(×1×1)3×(2)×＝6.322613．(文)(2013辽·宁文，10)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个极点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()317B．210A.213C.2D．310[答案]

C[剖析]

过C，B分别作

AB、AC

的平行线交于

D，分别过

C1、B1作

A1B1，A1C1的平行线交于

D1，连接

DD1，则

ABDC－A1B1D1C1

恰为该球的内接长方体，故该球的半径

r＝32＋42＋122＝13，应选C.22(理)一个半径为1的球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图以下列图，则剩下部分几何体的表面积为()13π15πA.3B.49πC．4πD.2[答案]D[剖析]由三视图知该几何体是一个球体，保留了下半球，上半球分为四份，去掉了对顶的两份，故表面积为球的表面积，去掉1球表面积加上6个1的圆面积．442121292，∴S＝4πR－(4πR)＋6×πR＝πR442又R＝1，∴S＝92π.二、填空题14．(文)(2013天·津市六校联考)某几何体的三视图以下列图，该几何体的体积为________．[答案]48[剖析]由三视图知，该几何体是一个组合体，其上部为长方体，下部为横放的四棱柱，其底面是上底长12，下底长6，高为2的等腰梯形，柱高为4，其体积V＝2×4×2＋(2＋6)×2×42＝48.(理)(2013内·江市一模)矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，沿BD将矩形ABCD折成一个直二面角A－BD－C，则周围体ABCD的外接球的表面积是________．[答案]100π[剖析]设矩形ABCD对角线BD的中点为O，则OA＝OB＝OC＝OD，∴折起后空间四边形ABCD的外接球球心为O，∴球O的半径R＝182＋62＝5，∴球O的表面积S＝4πR22100π.三、解答题15．(文)(2013北·京文，17)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD、PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[剖析](1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，因此PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，因此AB∥DE，且AB＝DE.因此四边形ABED为平行四边形．因此BE∥AD.又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，因此BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，因此BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.因此PA⊥CD.因此CD⊥平面PAD.因此CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，因此PD∥EF.因此CD⊥EF，又因为CD⊥BE，BE∩EF＝E，因此CD⊥平面BEF.因此平面BEF⊥平面PCD.(理)(2013浙·江理，20)如图，在周围体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.(1)证明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．[剖析]方法1：(1)取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OP、OF、FQ.1因为AQ＝3QC，因此QF∥AD，且QF＝AD.因为O、P分别为BD、BM的中点，因此OP是△BDM的中位线，1因此OP∥DM，且OP＝2DM.1又点M为AD的中点，因此OP∥AD，且OP＝4AD.从而OP∥FQ，且OP＝FQ，因此四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.又PQ?平面BCD，OF?平面BCD，因此PQ∥平面BCD.(2)作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点H，连接CH.因为AD⊥平面BCD，CG?平面BCD，因此AD⊥CG，又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD，又BM?平面ABD，因此CG⊥BM.又GH⊥BM，CG∩GH＝G，故BM⊥平面CGH，因此GH⊥BM，CH⊥BM.因此∠CHG为二面角C－BM－D的平面角，即∠CHG＝60°.设∠BDC＝θ.在Rt△BCD中，CD＝BDcosθ＝22cosθ，CG＝CDsinθ＝22cosθsinθ，BC＝BDsinθ＝22sinθ，BG＝BCsinθ＝22sin2θ.在Rt△BDM中，∵GH⊥BM，∴△BGH∽△BMD，∴HG＝BG·DM＝22sin2θ.BM3CG3cosθ在Rt△CHG中，tan∠CHG＝HG＝sinθ＝3.因此tanθ＝3.从而θ＝60°.即∠BDC＝60°.方法2：(1)如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)．设点C的坐标为→→，(x0，y0,0)．因为AQ＝3QC3231)．因此Q(x0，＋y0，4442因为M为AD的中点，故M(0，2，1)．又P为BM的中点，故P(0,0，1)，2→323y0,0)．因此PQ＝(x0，4＋44又平面BCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，→故PQ·u＝0.又PQ?平面BCD，因此PQ∥平面BCD.(2)设m＝(x，y，z)为平面BMC的一个法向量．→→2，1)，由CM＝(－x0，2－y0,1)，BM＝(0,2－x0x＋2－y0y＋z＝0，知2y＋z＝0.取y＝－1，得m＝(y0＋2，－1,22)．x0又平面BDM的一个法向量为n＝(1,0,0)．|y0＋2于是|cos〈m，n〉|＝|m·n|＝|＝1，x0|m||n|9＋y0＋222x0y0＋22＝3.①即()x0→→又BC⊥CD，因此CB·CD＝0，故(－x0，－2－y0,0)·(－x0，2－y0,0)＝0，即x20＋y20＝2.②x0＝0，x0＝±6，(舍去)或2联立①②，解得y0＝－2.2.y0＝2x0因此tan∠BDC＝|2－y0|＝3.又∠BDC是锐角，因此∠BDC＝60°.16．(文)(2013北·京西城区模拟)在以下列图的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.(1)求证：AC⊥平面FBC；(2)求周围体FBCD的体积；(3)线段AC上可否存在点M，使得EA∥平面FDM？证明你的结论．[剖析](1)证明：在△ABC中，AC＝3，AB＝2，BC＝1，∴AC⊥BC.又∵AC⊥FB，∴AC⊥平面FBC.(2)解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC.CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得∠BCD＝120°，CB＝DC＝1，∴FC＝1.∴S△BCD＝3，413∴周围体FBCD的体积为：VF－BCD＝3S△BCD·FC＝12.(3)线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM，证明以下：连接CE，与DF交于点N，连接MN.因为CDEF为正方形，因此N为CE中点．因此EA∥MN.因为MN?平面FDM，EA?平面FDM，因此EA∥平面FDM.因此线段AC上存在点M，使得EA∥平面FDM建立．(理)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是3，D是AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求二面角A1－BD－A的大小；(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．[剖析]解法一：(1)设AB1与A1B订交于点P，则P为A