《高等数学》教学大纲

《高等数学》教学大纲AdvancedMathematics英文名称：Highermathematics课程类型：必修、基础理论课学时：160学分：8使用对象:理工科类各专业先修课程:数学课程的教学目的与任务高等数学课程是理工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课。通过本课程的学习，要求学生掌握微积分学；向量代数和空间解析几何；级数；和常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。在本课程的各个教学环节中，一方面要讲授高等数学知识，另一方面要逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算和综合运用所学知识去提出问题、分析问题和解决问题的能力。课程的基本要求本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。重点内容部分要求学生深入理解、牢固掌握、熟练运用。其它内容也时教学中必不可少的，只是在要求上低一些，对相应的概念和原理只作为一般的理解和了解。具体在课堂教学过程中会做些相应的说明。教学内容、方法及教学安排第一章：函数与极限建议学时：16[教学目的与要求]1.理解函数的概念，理解分段函数、参数式方程确定的函数，熟练地使用函数记号。2.了解函数的单调性、周期性、奇偶性和有界性。3.了解反函数、复合函数的概念。4.掌握基本初等函数的图形。5.能将简单实际问题中的函数关系表达出来。6.了解极限的e—N、e—δ的定义。理解极限思想。7.了解极限的基本性质，理解函数左、右极限概念。8.掌握极限四则运算法则。9.理解极限存在的两个准则，掌握利用两个重要极限求极限。11.了解无穷小，无穷大的概念，理解无穷小的性质以及它与极限的关系，掌握利用无穷小性质求某些极限，掌握无穷小的比较。12.理解函数在一点连续与间断的概念，掌握间断点的分类及判定。13.了解初等函数的连续性，连续函数的四则运算，复合函数及反函数的连续性。14.了解并会应用闭区间上连续函数的性质[教学重点与难点]极限、连续的概念；极限的求法[授课方法]多媒体授课[授课内容]第一节映射与函数第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷小与无穷大第五节极限运算法则第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较第八节函数的连续性与间断点第九节连续函数的运算与初等函数连续性第十节闭区间上连续函数的性质第二章：导数与微分建议学时：12[教学目的与要求]1．理解导数与微分的概念，能用导数求一些物理量，理解导数的几何意义，会用导数求平面曲线的切线与法线，了解函数可导性与连续性的关系。2．掌握导数和微分的运算法。能熟练计算初等函数的导数和某些函数的高阶导数。3．掌握隐函数，参数式方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会用对数求导法求导数。[教学重点与难点]导数微分的定义及其求法[授课方法]多媒体授课[授课内容]第一节导数概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程确定的函数的导数第五节函数的微分第三章：微分中值定理与导数的应用建议学时：14[教学目的与要求]1．理解罗尔中值定理，拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并会应用它们求证一些简单的中值问题。2．掌握利用罗必达法则求极限。3．理解函数极值的概念。掌握利用导数求函数极值，判定函数的增减性、凹凸性，求曲线的拐点、渐近线，解决应用中的简单的最大值和最小值问题。4．了解微分在近似计算上的应用。[教学重点与难点]中值定理及其应用；导数应用[授课方法]多媒体授课[授课内容]第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒公式第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第五节函数的极值与最大最小值第六节函数图形的描绘第四章：不定积分建议学时：12[教学目的与要求]1.理解不定积分的概念及基本性质。2.牢记不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法，掌握简单有理函数、三角函数有理式及无理函数的积分。[教学重点与难点]不定积分的定义及积分方法[授课方法]多媒体授课[授课内容]第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节有理函数积分第五章：定积分建议学时：8[教学目的与要求]1.理解定积分的概念及性质，理解积分（变）上限的函数及其求导，掌握利用牛顿—莱布尼兹公式求定积分，掌握奇偶函数、周期函数、和某些三角函数的积分性质。2.了解广义积分的概念，并会计算一些简单的广义积分。[教学重点与难点]定积分的定义及积分方法[授课方法]多媒体授课[授课内容]第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本性质第三节定积分的换元积分法和分部积分法第四节反常积分第六章：定积分的应用建议学时：6[教学目的与要求]掌握利用定积分来表达和计算一些几何量和物理量，如面积、体积、弧长、功、液体压力，了解引力和平均值的表达。[教学重点与难点]利用定积分计算面积、体积、功、液体压力[授课方法]多媒体授课[授课内容]第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用第三节定积分在物理学上的应用第七章：微分方程建议学时：12[教学目的与要求]1．理解微分方程、通解、初始条件和特解等基本概念。2．掌握识别和求解下列一阶微分方程的方法：变量可分离方程、齐次方程，一阶线性方程。3．掌握变量代换求解方程的思想。4．掌握几种特殊的高阶方程的降阶法。5．理解齐次线性方程和非齐次线性方程通解的结构。6．掌握二阶线性常系数方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性方程的解法。7．掌握非齐次项为型和型的二阶常系数非齐次线性方程的解法。[教学重点与难点]微分方程的解法[授课方法]多媒体授课[授课内容]第一节微分方程基本概念第二节可分离变量的微分方程第三节齐次微分方程第四节一阶线性微分方程第五节可降阶的高阶微分方程第六节高阶线性微分方程第七节常系数齐次线性微分方程第八节常系数非齐次线性微分方程第八章：空间解析几何与向量代数建议学时：14[教学目的与要求]1．理解矢量的概念。2．掌握矢量的计算，两个矢量的夹角的求法，两矢量的垂直和平行条件。3．掌握单位矢量，方向余弦，矢量的坐标表示，并能熟练地利用坐标进行矢量的运算。4．了解投影定理、矢量的分解、掌握矢量的模和方向数。5．掌握三种平面方程，三种直线方程，并能由已知条件求平面的方程和直线方程。6．掌握平行与垂直条件（平面与平面、平面与直线、直线与直线）。7．理解曲面方程的概念，能根据二次曲面的标准方程作出它的图形。8．理解空间两个曲线的交线的一般方程、空间曲线的参数式方程，掌握空间曲线在坐标面上的投影。[教学重点与难点]向量代数运算；直线、曲线、平面、曲面方程。[授课方法]多媒体授课[授课内容]第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程第九章：多元函数微分法及其应用建议学时：18[教学目的与要求]1．了解点集、邻域、区域、多元函数、点函数等概念。2．了解二元函数的极限与连续性等概念，及在有界闭区域上连续函数的性质，二元函数的几何意义。3．理解偏导数、全微分等概念，了解二元函数偏导的几何意义，了解全微分存在的充分、必要条件。4．掌握复合函数与隐函数求导法则，会求高阶偏导数，了解混合偏导数换序的条件，理解全导数。5．掌握简单的曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线的求法。6．理解多元函数极值概念，掌握求极值、求简单的最大、最小值问题和利用用拉格朗日乘法求条件极值。[教学重点与难点]偏导数、全微分的概念及其求法；多元函数微分法的应用[授课方法]多媒体授课[授课内容]第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法第十章：重积分建议学时：10[教学目的与要求]1．理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。2．掌握二重积分的计算方法。3.会利用二重积分解决一些实际问题。[教学重点与难点]二重积分的计算及其应用[授课方法]多媒体授课[授课内容]第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算方法第四节重积分的应用（二重积分）第十二章：无穷级数建议学时：14[教学目的与要求]1．理解无穷级数以及它的收敛、发散、和等概念，理解级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。2．掌握利用几何级数和P—级数（含调和级数）与正项级数比较来划定它的敛散性。3．掌握正项级数的比值判别法。4．了解利用莱布尼兹准则判定交错级数的收敛性，了解任意项级数的绝对收敛和条件收敛概念，并会判定。5．理解幂级数概念和阿贝尔定理，掌握幂级数的收敛半径及收敛区间的求法。6．了解幂级数的收敛区间内的一些基本性质（四则运算、连续性、逐项积分与逐项微分）。了解幂级数的和函数的求法。掌握函数展成幂级数的方法。7．了解利用函数的幂级数展式进行近似计算及其在实际问题中的应用。[教学重点与难点]数项级数的敛散性判定；幂级数展开；求和函数及收敛区域[授课方法]多媒体授课[授课内容]第一节常数项级数的概念和性质第二节常数项级数的审敛方法第三节幂