最新高考数学逆袭专题-第3讲立体几何中的向量方法课件

第3讲立体几何中的向量方法第3讲立体几何中的向量方法高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与1.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

)解析

法一

以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.真题感悟图(1)图(2)1.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).法二

如图(2)，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PN∥BC1，MN∥AB1，∴AB1与BC1所成的角是∠MNP或其补角.∵AB＝2，BC＝CC1＝1，则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC答案

C在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(1)证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CDM，故BC⊥DM.所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.由于DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(1)证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)最新高考数学逆袭专题-第3讲立体几何中的向量方法课件3.(2018·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为正方形，

E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. (1)证明：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.3.(2018·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为正方形，E(2)解作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，(2)解作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面AB1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.考点整合1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m最新高考数学逆袭专题-第3讲立体几何中的向量方法课件热点一利用空间向量证明平行、垂直关系【例1】

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.热点一利用空间向量证明平行、垂直关系(1)BE⊥DC；证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.(2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABC设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，不妨令y＝1，可得n＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量.所以平面PAD⊥平面PCD.设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，不妨令y＝1，探究提高1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何定理的条件，如在(2)中忽略BE⊄平面PAD而致误.探究提高1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的【训练1】

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.求证： (1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD.证明

(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，C1(0，2，4).设BA＝a，则A(a，0，0)，【训练1】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90则B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，因此B1D⊥平面ABD.即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.则B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD⊂热点二利用空间向量计算空间角考法1求线面角或异面直线所成的角【例2－1】

(2018·烟台质检)如图，在梯形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD，AC⊥BD，平面BDFE⊥平面ABCD，EF∥BD，BE⊥BD.热点二利用空间向量计算空间角(1)证明∵平面BDFE⊥平面ABCD，平面BDFE∩平面ABCD＝BD，AC⊂平面ABCD，AC⊥BD，∴AC⊥平面BDFE.又AC⊂平面AFC，∴平面AFC⊥平面BDFE.∴OD＝OC＝1，OB＝OA＝2，∵FE∥OB且FE＝OB，∴四边形FEBO为平行四边形，∴OF∥BE，且OF＝BE＝2，又∵BE⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD.(1)证明∵平面BDFE⊥平面ABCD，平面BDFE∩平面则B(0，2，0)，D(0，－1，0)，F(0，0，2)，C(－1，0，0)，不妨设z＝1，得x＝y＝－2，得n＝(－2，－2，1).则B(0，2，0)，D(0，－1，0)，F(0，0，2)，C探究提高1.异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得，即cosθ＝|cosφ|.2.直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sinθ＝|cosφ|，有时也可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两方向向量的夹角(或其补角).探究提高1.异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的【训练2】

(2018·江苏卷)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点. (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.【训练2】(2018·江苏卷)如图，在正三棱柱ABC－A1因为AB＝AA1＝2，因为AB＝AA1＝2，设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，(1)证明：BC⊥B1M；(2)若平面MB1C把此棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角M－B1C－A的余弦值.(1)证明：BC⊥B1M；∴BC＝2，则有AB2＋BC2＝8＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又∵BB1⊥BC，BB1∩AB＝B，∴BC⊥平面ABB1A1，又B1M⊂平面ABB1A1，故BC⊥B1M.∴BC＝2，则有AB2＋BC2＝8＝AC2，(2)解由题设知，平面MB1C把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥C－ABB1M和四棱锥B1－A1MCC1.由(1)知四棱锥C－ABB1M的高为BC＝2，此时M为AA1中点，(2)解由题设知，平面MB1C把此三棱柱分成两个体积相等的∴A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，4)，M(2，0，2).设n1＝(x1，y1，z1)是平面CB1M的一个法向量，令z1＝1，可得n1＝(1，2，1)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面ACB1的一个法向量，∴A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，4)，M探究提高1.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.2.利用向量法求二面角，必须能判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”，否则解法是不严谨的.探究提高1.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角B－CD－C1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交.(1)求证：AC⊥平面BEF；(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形.又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF.因为AB＝BC，所以AC⊥BE.又EF∩BE＝E，所以AC⊥平面BEF.(2)解由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1，又CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，因为BE⊂平面ABC，所以EF⊥BE.(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，如图建立空间直角坐标系E－xyz，由题意得B(0，2，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1).设平面BCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，如图建立空间直角坐标系E－xyz，由题意得B(0，2，0)，令y0＝－1，则x0＝2，z0＝－4.于是n＝(2，－1，－4).所以直线FG与平面BCD相交.令y0＝－1，则x0＝2，z0＝－4.于是n＝(2，－1，－最新高考数学逆袭专题-第3讲立体几何中的向量方法课件解(1)设BD交AC于点O，连接OE.∵PB∥平面AEC，平面AEC∩平面BDP＝OE，∴PB∥OE.又O为BD的中点，∴在△BDP中E为PD中点.(2)连接OP，由题知PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，解(1)设BD交AC于点O，连接OE.(2)连接OP，由题设平面AEC的法向量为m＝(x1，y1，z1).设平面AEC的法向量为m＝(x1，y1，z1).设平面BDF的法向量n＝(x2，y2，z2)，设平面BDF的法向量n＝(x2，y2，z2)，最新高考数学逆袭专题-第3讲立体几何中的向量方法课件探究提高1.空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.2.空间向量求解探索性问题：(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论；(2)在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.探究提高1.空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它(1)当BF长为多少时，平面AEF⊥平面CEF?(2)在(1)的条件下，求二面角E－AC－F的余弦值.(1)当BF长为多少时，平面AEF⊥平面CEF?解(1)连接BD交AC于点O，则AC⊥BD.取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE.∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD.∴OG，AC，BD两两垂直.以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，解(1)连接BD交AC于点O，则AC⊥BD.设平面AEF，平面CEF的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).若平面AEF⊥平面CEF，则n1·n2＝0，设平面AEF，平面CEF的法向量分别为n1＝(x1，y1，z设平面AEC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则设平面AEC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则最新高考数学逆袭专题-第3讲立体几何中的向量方法课件最新高考数学逆袭专题-第3讲立体几何中的向量方法课件3.利用空间向量求解二面角时，易忽视二面角的范围，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.4.空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.应用的核心是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性.3.利用空间向量求解二面角时，易忽视二面角的范围，误以为两个最新高考数学逆袭专题-第3讲立体几何中的向量方法课件第3讲立体几何中的向量方法第3讲立体几何中的向量方法高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与1.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

)解析

法一

以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.真题感悟图(1)图(2)1.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).法二

如图(2)，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PN∥BC1，MN∥AB1，∴AB1与BC1所成的角是∠MNP或其补角.∵AB＝2，BC＝CC1＝1，则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC答案

C在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(1)证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CDM，故BC⊥DM.所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.由于DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(1)证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)最新高考数学逆袭专题-第3讲立体几何中的向量方法课件3.(2018·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为正方形，

E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. (1)证明：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.3.(2018·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为正方形，E(2)解作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，(2)解作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面AB1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.考点整合1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m最新高考数学逆袭专题-第3讲立体几何中的向量方法课件热点一利用空间向量证明平行、垂直关系【例1】

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.热点一利用空间向量证明平行、垂直关系(1)BE⊥DC；证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.(2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABC设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，不妨令y＝1，可得n＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量.所以平面PAD⊥平面PCD.设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，不妨令y＝1，探究提高1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何定理的条件，如在(2)中忽略BE⊄平面PAD而致误.探究提高1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的【训练1】

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.求证： (1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD.证明

(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，C1(0，2，4).设BA＝a，则A(a，0，0)，【训练1】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90则B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，因此B1D⊥平面ABD.即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.则B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD⊂热点二利用空间向量计算空间角考法1求线面角或异面直线所成的角【例2－1】

(2018·烟台质检)如图，在梯形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD，AC⊥BD，平面BDFE⊥平面ABCD，EF∥BD，BE⊥BD.热点二利用空间向量计算空间角(1)证明∵平面BDFE⊥平面ABCD，平面BDFE∩平面ABCD＝BD，AC⊂平面ABCD，AC⊥BD，∴AC⊥平面BDFE.又AC⊂平面AFC，∴平面AFC⊥平面BDFE.∴OD＝OC＝1，OB＝OA＝2，∵FE∥OB且FE＝OB，∴四边形FEBO为平行四边形，∴OF∥BE，且OF＝BE＝2，又∵BE⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD.(1)证明∵平面BDFE⊥平面ABCD，平面BDFE∩平面则B(0，2，0)，D(0，－1，0)，F(0，0，2)，C(－1，0，0)，不妨设z＝1，得x＝y＝－2，得n＝(－2，－2，1).则B(0，2，0)，D(0，－1，0)，F(0，0，2)，C探究提高1.异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得，即cosθ＝|cosφ|.2.直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sinθ＝|cosφ|，有时也可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两方向向量的夹角(或其补角).探究提高1.异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的【训练2】

(2018·江苏卷)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点. (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.【训练2】(2018·江苏卷)如图，在正三棱柱ABC－A1因为AB＝AA1＝2，因为AB＝AA1＝2，设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，(1)证明：BC⊥B1M；(2)若平面MB1C把此棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角M－B1C－A的余弦值.(1)证明：BC⊥B1M；∴BC＝2，则有AB2＋BC2＝8＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又∵BB1⊥BC，BB1∩AB＝B，∴BC⊥平面ABB1A1，又B1M⊂平面ABB1A1，故BC⊥B1M.∴BC＝2，则有AB2＋BC2＝8＝AC2，(2)解由题设知，平面MB1C把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥C－ABB1M和四棱锥B1－A1MCC1.由(1)知四棱锥C－ABB1M的高为BC＝2，此时M为AA1中点，(2)解由题设知，平面MB1C把此三棱柱分成两个体积相等的∴A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，4)，M(2，0，2).设n1＝(x1，y1，z1)是平面CB1M的一个法向量，令z1＝1，可得n1＝(1，2，1)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面ACB1的一个法向量，∴A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，4)，M探究提高1.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.2.利用向量法求二面角，必须能判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”，否则解法是不严谨的.探究提高1.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角B－CD－C1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交.(1)求证：AC⊥平面BEF；(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形.又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF.因为AB＝BC，所以AC⊥BE.又EF∩BE＝E，所以AC⊥平面BEF.(2)解由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1，又CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，因为BE⊂平面ABC，所以EF⊥BE.(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，如图建立空间直角坐标系E－xyz，由题意得B(0，2，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1).设平面BCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，如图建立空间直角坐标系E－xyz，由题意得B(0，2，0)，令y0＝－1，则x0＝