曲线方程与轨迹问题课件

知识梳理高考速递典例精析曲线方程与轨迹问题第十一讲1知识梳理高考速递典例精析1知识梳理

3.求曲线方程的基本方法：①已知曲线类型或依据曲线属性能判定是何种曲线，用待定系数法(又叫定义法)；②已知曲线上某动点满足的条件，用等式法求解(又叫直译法)；③所求动点随已知曲线上的动点而动，用坐标代入法求方程；④间接寻找动点坐标x、y的关系式，用参数法求方程.特例：动点是两动直线的交点，直接消参即得轨迹方程，叫交轨法2.理解曲线与方程的关系，注意求动点轨迹方程的完备性与纯粹性；1.掌握用坐标法研究几何问题的步骤，其中建系是关键；2知识梳理3.求曲线方程的基本方法：2.理解曲线与方程的关系1.(2008·北京卷)若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小于1，则点P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线高考速递D2.(2008·山东卷)设椭圆的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为()

B.C.D.A31.(2008·北京卷)若点P到直线x=-1的距离比它到点(分析：

已知曲线类型为双曲线用待定系数法，由两个条件建立两个方程，确定两个系数a、b.典例精析例1(2008·全国卷Ⅰ)双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，两条渐近线分别为、，经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点.已知|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，BF与FA同向，且AB被双曲线截得线段CD长为4，求双曲线的方程.

yOCAFBD4分析：已知曲线类型为双曲线用待定系数法，由两个条件建立两个不妨设渐近线【解析】因为(等差数列)，所以

所以，右焦点F(c,0)(c>0),且易求得|FA|=b,|OA|=a.因为OF为∠AOB的平分线(与同向),所以解得tan∠AOF=,或tan∠AOF=-2(舍去).设双曲线方程为(a>0,b>0),yOCAFBD5不妨设渐近线所以,即a=2b,将②代入①并化简得所以双曲线方程化为①且②设AB与双曲线的两交点的坐标分别为

则解得b=3,所以a=6,所以双曲线的方程为【回顾与反思】本题考查用待定系数法求曲线的方程.yOCAFBD6所以,即a=2b,【分析】(1)显然P是动点，但A也是动点，从A入手，用坐标代入法较好；(2)三点共线证法很多，若能找到所共的直线方程，再验证点在其上较简单.典例精析(变式训练)(2008·江西卷)如图，设点P(x0,y0)在直线x=m(y≠±m,0<m<1)上，过点作双曲线x2-y2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M(,0).(1)过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在曲线的方程；(2)求证：A、M、B三点共线.MyOPANBx=m7【分析】(1)显然P是动点，但A也是动点，从A入手，用坐标代(1)设则直线AN的方程为与联立，得交点设重心【解析】

所以因为点A在双曲线上，所以化简得即为重心G所在的曲线的方程.MyOPANBx=m8(1)设则直线AN的方程为与联立，得交点设(2)证明：设切线方PA的程为代入双曲线方程得从而注意到解得

所以切线PA的方程为同理，切线PB的方程为又因为在PA、PB上，所以MyOPANBx=m9(2)证明：设切线方PA的程为代入双曲线方程得从而注意到所以A、M、B三点共线.所以都在直线上.又点也在直线上，【回顾与反思】

本题考查双曲线的基础知识，同时考查学生推理、论证能力及运算能力.本题若从P点入手用参数法，则运算量很大，易出错，可见审题是关键.10所以A、M、B三点共线.所以典例精析例2(2008·湖北卷)如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于，求直线l的斜率的取值范围.BAOPD

11典例精析例2(2008·湖北卷)如图，在以点O为圆心，|AB【分析】(1)用定义法求轨迹方程；(2)将面积用直线l的斜率k表示，解不等式即得k的取值范围.由||MA|-|MB||为定值知动点M的轨迹是以A、B为焦点，且过点P的双曲线，设其方程为(a>0,b>0),(1)以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.FEAOBPDxyl解析所以

所以曲线C的方程为因为∠POB=30°，所以P(,1),12【分析】(1)用定义法求轨迹方程；(2)将面积用直线l的(2)因为D(0,2)，所以可设直线l的方程为代入曲线C的方程得因为直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，所以且所以且k≠±1.设点得所以FEAOBPDxyl13(2)因为D(0,2)，所以可设直线l的方程为而原点O到EF的距离平方得所以直线l的斜率取值范围为【回顾与反思】

定义法求轨迹方程能减少运算.注意解不等式需等价变换.14而原点O到EF的距离平方得所以直线l的斜率取值范围为【回顾与如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.【分析】本题涉及两个动点，P点的运动依从于Q点的运动，可用坐标代入法求轨迹方程

【解析】设动点

则N点的坐标为

因为点N在直线上所以变式训练典例精析P·xNyQO15如图，从双曲线联立①②解得又点Q在双曲线上，

将代入化简得【回顾与反思】本题考查了轨迹方程的求法及运算能力.P·xNyQO所以②又因为直线PQ垂直直线

①16联立①②解得又点Q在双曲线上，将代入化简得【回顾与反思】本【分析】(1)等式法求轨迹方程;（2）AP为动直线，以AP斜率为参数，找AQ、BP、BQ的关系解决问题.典例精析即为所求C点的轨迹M的方程【解析】(1)求C点的轨迹M的方程，并讨论轨迹M是何曲线；例3已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别(2,0)、(-2,0),边AC、BC所在直线的斜率