课题学习：最短路径问题-课件

精品课件八年级数学课题学习：最短路径问题第十三章轴对称人教版

精品八年级数学课题学习：最短路径问题第十三章轴对称人教版《课题学习：最短路径问题》初二数学

第十三章轴对称人教版《课题学习：最短路径问题》初二数学第十三章轴对称人教版教学目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

能利用平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．教学目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在教学重点教学难点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”

问题．如何利用轴对称和平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．教学重点教学难点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？知识回顾选第②条两点之间，线段最短如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小．两点在一条直线异侧这是为什么呢？两点之间，线段最短连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求．已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P，使得PA+探究相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？lAB探究相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海将军饮马问题精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？lAB将军饮马问题精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的探究将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．你能要自己的语言重新描述一下问题吗？探究将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．你能探究将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．你能要自己的语言重新描述一下问题吗？CC是l上一个动点，当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？探究将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．你能探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况，你还记得是怎么做的吗？连接两点，交点就是所求同侧的情况也能直连接两点吗？不行探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？能不能把点在同侧的问题转化为点在异侧的问题呢？提示：将点B“移”到l的另一侧B′处，得满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等．你想到怎么做了吗？探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．你能证明此时AC+BC最短吗？B’探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动证明证明此时AC+CB最短证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′，∵AC′+B′C′＞AB′,∴AC′+BC′＞AC+BC，即AC+BC最短．证明证明此时AC+CB最短证明：如图，在直线l上任取一点课题学习：最短路径问题_课件什么是将军饮马问题？怎么解决将军饮马问题？将军饮马问题什么是将军饮马问题？怎么解决将军饮马问题？将军饮马问题归纳总结条件特点简称为：两定一动

将军饮马问题直线同侧的两个定点和直线上一个动点问题特点求线段和最小求解思路利用轴对称，化折为直

求解原理两点之间，线段最短归纳总结条件特点简称为：两定一动

将军饮马问题直线同侧的两个例题某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为M，同时向A，B两个居民小区送电.（1）如果居民小区A，B在主干线l的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，并说明理由．例题某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为M例题某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为M，同时向A，B两个居民小区送电.（2）如果居民小区A，B在主干线l的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，并说明理由.作A的对称点可以吗？B’例题某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为M练习如图，P，Q是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PMQ的周长最短．提示：这本质上是“两定一动”

求线段和最小的将军饮马问题．练习如图，P，Q是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．提示1：先把问题抽象为数学问题．提示2：这本质上是“两定一动”

求线段和最小的将军饮马问题．练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游造桥选址问题如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）你能把这个问题抽象成一个数学问题吗？造桥选址问题如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座抽象可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？抽象可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动分析这又是求线段和最小的问题，你能想到什么呢？能变成这种基本类型就好了AM，MN，NB这三条线段的长度都会变化吗？只有AM和NB会变，MN是不变的．所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小．分析这又是求线段和最小的问题，你能想到什么呢？能变成这种基本思考怎么把这个问题转化为基本类型呢？你能证明这个结论吗？将AM沿着垂直于河岸的方向平移一个河宽的距离到A'N．现在就变成基本类型了．怎么确定取最小时的N点呢？连接A’B，与直线b的交点就是所求．思考怎么把这个问题转化为基本类型呢？你能证明这个结论吗？将A证明证明：如图，在直线b上取一个不与N重合的点N’，作M’N’⊥a于点M’，连接AM’,BN’，A’N’．由平移的性质可知，AM’=A’N’，AM=A’N∵A’N’+N’B＞A’B∴AM’+N’B＞AM+NB∴AM’+N’B＞AM+NB∴AM’+M’N’+N’B＞AM+MN+NB证明证明：如图，在直线b上取一个不与N重合的点N’，作M’N课题学习：最短路径问题_课件归纳总结造桥选址问题条件特点平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和问题特点求解思路求解原理求线段和最小利用平移，转移线段两点之间，线段最短归纳总结造桥选址问题条件特点平行间的垂线段的端点到两侧定点的将军饮马问题的变式已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．提示1：利用轴对称，化折为直．提示2：分别作A点关于OM，ON的对称点．将军饮马问题的变式已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在将军饮马问题的变式答案：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求．已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．将军饮马问题的变式答案：分别作点A关于OM，ON的对称点A′课题学习：最短路径问题_课件如何利用多次对称的方法求解将军饮马问题的变式．多次对称确定最短路径如何利用多次对称的方法求解将军饮马问题的变式．多次对称确定最将军饮马问题的变式如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家，

是草地的边沿，

是一条笔直的河流.每天，牧民要从马厩牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B处.请在图上画出牧民行走的最短路线(保留作图痕迹).将军饮马问题的变式如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，将军饮马问题的变式如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置;（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=_____°．答案：（2）30°．将军饮马问题的变式如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个角内一点出发的折线如图，点A是∠MON内的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小.提示：试一试对称．答案：作点A关于OM的对称点A’，然后过A’作ON的垂线，交OM于P，交ON于Q．A’Q最短的原理是什么？垂线段最短角内一点出发的折线如图，点A是∠MON内的一点，在射线OM角内一点出发的折线如图，在直角三角形BCD中，若点M、N分别是线段BD、BC上的两个动点，请在图上找到CM+MN最小时，M，N点的位置．提示：试一试对称．答案：作点C关于BD的对称点C’，然后过C’作BC的垂线，交BD于M，交BC于N．角内一点出发的折线如图，在直角三角形BCD中，若点M、N分别总结这节课我们学到了什么？条件特点简称为：两定一动

将军饮马问题直线同侧的两个定点和直线上一个动点问题特点求线段和最小求解思路利用轴对称，化折为直求解原理两点之间，线段最短总结这节课我们学到了什么？条件特点简称为：两定一动

将军饮马总结这节课我们还学到了什么？造桥选址问题条件特点平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和问题特点求解思路求解原理求线段和最小利用平移，转移线段两点之间，线段最短总结这节课我们还学到了什么？造桥选址问题条件特点平行间的垂线将军饮马问题有什么特点？如何发现并解决将军饮马问题？将军饮马问题的应用将军饮马问题有什么特点？如何发现并解决将军饮马问题？将军饮马美术字与轴对称美术字与轴对称利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案课题学习：最短路径问题_课件等腰三角形中相等的线段等腰三角形中相等的线段复习巩固下列图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴.复习巩固下列图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴.复习巩固画出下列轴对称图形的对称轴复习巩固画出下列轴对称图形的对称轴复习巩固如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E.求证AC=AB.复习巩固如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，复习巩固如图所示的点A，B，C，D，E中，哪两个点关于x轴对称？哪两个点关于y轴对称？点C和点E关于x轴对称吗？为什么？复习巩固如图所示的点A，B，C，D，E中，哪两个点关于x复习巩固如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD，AE.求∠D，∠E，∠DAE的度数.复习巩固如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB复习巩固如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形.复习巩固如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等复习巩固复习巩固综合应用试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？综合应用试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个综合应用如图，从图形Ι

到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果是轴对称，找出对称轴；如果是平移，是怎样平移？综合应用如图，从图形Ι

到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果综合应用如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高.求证：AD垂直平分EF.综合应用如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是综合应用如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD=BE=CF.求证△DEF是等边三角形.综合应用如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E拓广探索在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都是等腰三角形.这五个点应该怎样画？拓广探索在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都是等腰三角拓广探索如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD.求证DB=DE.拓广探索如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC拓广探索如图，△ABC是等腰三角形，AC=BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相较于F，连接CF并延长，交AB于点G.求证：G为AB的中点.拓广探索如图，△ABC是等腰三角形，AC=BC，△BDC拓广探索如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.拓广探索如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河精品课件八年级数学课题学习：最短路径问题第十三章轴对称人教版

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第十三章轴对称人教版《课题学习：最短路径问题》初二数学第十三章轴对称人教版教学目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

能利用平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．教学目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在教学重点教学难点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”

问题．如何利用轴对称和平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．教学重点教学难点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？知识回顾选第②条两点之间，线段最短如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小．两点在一条直线异侧这是为什么呢？两点之间，线段最短连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求．已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P，使得PA+探究相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？lAB探究相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海将军饮马问题精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？lAB将军饮马问题精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的探究将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．你能要自己的语言重新描述一下问题吗？探究将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．你能探究将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．你能要自己的语言重新描述一下问题吗？CC是l上一个动点，当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？探究将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．你能探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况，你还记得是怎么做的吗？连接两点，交点就是所求同侧的情况也能直连接两点吗？不行探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？能不能把点在同侧的问题转化为点在异侧的问题呢？提示：将点B“移”到l的另一侧B′处，得满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等．你想到怎么做了吗？探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．你能证明此时AC+BC最短吗？B’探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动证明证明此时AC+CB最短证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′，∵AC′+B′C′＞AB′,∴AC′+BC′＞AC+BC，即AC+BC最短．证明证明此时AC+CB最短证明：如图，在直线l上任取一点课题学习：最短路径问题_课件什么是将军饮马问题？怎么解决将军饮马问题？将军饮马问题什么是将军饮马问题？怎么解决将军饮马问题？将军饮马问题归纳总结条件特点简称为：两定一动

将军饮马问题直线同侧的两个定点和直线上一个动点问题特点求线段和最小求解思路利用轴对称，化折为直

求解原理两点之间，线段最短归纳总结条件特点简称为：两定一动

将军饮马问题直线同侧的两个例题某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为M，同时向A，B两个居民小区送电.（1）如果居民小区A，B在主干线l的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，并说明理由．例题某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为M例题某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为M，同时向A，B两个居民小区送电.（2）如果居民小区A，B在主干线l的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，并说明理由.作A的对称点可以吗？B’例题某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为M练习如图，P，Q是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PMQ的周长最短．提示：这本质上是“两定一动”

求线段和最小的将军饮马问题．练习如图，P，Q是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．提示1：先把问题抽象为数学问题．提示2：这本质上是“两定一动”

求线段和最小的将军饮马问题．练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游造桥选址问题如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）你能把这个问题抽象成一个数学问题吗？造桥选址问题如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座抽象可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？抽象可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动分析这又是求线段和最小的问题，你能想到什么呢？能变成这种基本类型就好了AM，MN，NB这三条线段的长度都会变化吗？只有AM和NB会变，MN是不变的．所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小．分析这又是求线段和最小的问题，你能想到什么呢？能变成这种基本思考怎么把这个问题转化为基本类型呢？你能证明这个结论吗？将AM沿着垂直于河岸的方向平移一个河宽的距离到A'N．现在就变成基本类型了．怎么确定取最小时的N点呢？连接A’B，与直线b的交点就是所求．思考怎么把这个问题转化为基本类型呢？你能证明这个结论吗？将A证明证明：如图，在直线b上取一个不与N重合的点N’，作M’N’⊥a于点M’，连接AM’,BN’，A’N’．由平移的性质可知，AM’=A’N’，AM=A’N∵A’N’+N’B＞A’B∴AM’+N’B＞AM+NB∴AM’+N’B＞AM+NB∴AM’+M’N’+N’B＞AM+MN+NB证明证明：如图，在直线b上取一个不与N重合的点N’，作M’N课题学习：最短路径问题_课件归纳总结造桥选址问题条件特点平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和问题特点求解思路求解原理求线段和最小利用平移，转移线段两点之间，线段最短归纳总结造桥选址问题条件特点平行间的垂线段的端点到两侧定点的将军饮马问题的变式已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．提示1：利用轴对称，化折为直．提示2：分别作A点关于OM，ON的对称点．将军饮马问题的变式已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在将军饮马问题的变式答案：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求．已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．将军饮马问题的变式答案：分别作点A关于OM，ON的对称点A′课题学习：最短路径问题_课件如何利用多次对称的方法求解将军饮马问题的变式．多次对称确定最短路径如何利用多次对称的方法求解将军饮马问题的变式．多次对称确定最将军饮马问题的变式如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家，

是草地的边沿，

是一条笔直的河流.每天，牧民要从马厩牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B处.请在图上画出牧民行走的最短路线(保留作图痕迹).将军饮马问题的变式如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，将军饮马问题的变式如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置;（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=_____°．答案：（2）30°．将军饮马问题的变式如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个角内一点出发的折线如图，点A是∠MON内的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小.提示：试一试对称．答案：作点A关于OM的对称点A’，然后过A’作ON的垂线，交OM于P，交ON于Q．A’Q最短的原理是什么？垂线段最短角内一点出发的折线如图，点A是∠MON内的一点，在射线OM角内一点出发的折线如图，在直角三角形BCD中，若点M、N分别是线段BD、BC上的两个动点，请在图上找到CM+MN最小时，M，N点的位置．提示：试一试对称．答案：作点C关于BD的对称点C’，然后过C’作BC的垂线，交BD于M，交BC于N．角内一点出发的折线如图，在直角三角形BCD中，若点M、N分别总结这节课我们学到了什么？条件特点简称为：两定一动

将军饮马问题直线同侧的两个定点和直线上一个动点问题特点求线段和最小求解思路利用轴对称，化折为直求解原理两点之间，线段最短总结这节课我们学到了什么？条件特点简称为：两定一动

将军饮马总结这节课我们还学到了什么？造桥选址问题条件特点平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和问题特点求解思路求解原理求线段和最小利用平移，转移线段两点之间，线段最短总结这节课我们还学到了什么？造桥选址问题条件特点平行间的垂线将军饮马问题有什么特点？如何发现并解决将军饮马问题？将军饮马问题的应用将军饮马问题有什么特点？如何发现并解决将军饮马问题？将军饮马美术字与轴对称美术字与轴对称利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案课题学习：最短路径问题_课件等腰三角形中相等的线段等腰三角形中相