非线性方程求根课件

第4章非线性方程求根非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个不可缺的内容。但是，非线性方程的求根非常复杂。通常非线性方程的根的情况非常复杂：无穷组解无解一个解两个解四个解第4章非线性方程求根非线性科学是当今科学发1所以，只在某个区域内可能解存在唯一，而且经常很简单的形式得不到精确解：因此，通常我们用迭代法解非线性方程看迭代法之前，先看看一种简单直观的方法原理：所以，只在某个区域内可能解存在唯一，而且经常很简单的形式得不24.1对分法abx1x2ab什么时候停止？或x*4.1对分法abx1x2ab什么时候停止？或x*3While(|a-b|>eps)x=(a+b)/2f(x)若(|f(x)|<eps)x为解若f(x)*f(b)<0修正区间为[x,b]若f(a)*f(x)<0修正区间为[a,x]Endwhile每次缩小一倍的区间，收敛速度为1/2，较慢，且只能求一个根，使用条件限制较大算法2xx*不能保证x的精度While(|a-b|>eps)每次缩小一倍的区间，收敛速度44.2迭代法f(x)=0x=g(x)等价变换f(x)的根g(x)的不动点思路从一个初值x0

出发，计算x1=g(x0),x2=g(x1),…,xk+1=g(xk),…若收敛，即存在x*使得

，且g连续，则由可知x*=g(x*)，即x*是g的不动点，也就是f的根。4.2迭代法f(x)=0x=g(x)等价变换f5迭代法的基本步骤如下：1、给出方程的局部等价形式2、取合适的初值，产生迭代序列3、求极限易知，该值为方程的根一定收敛吗？迭代法的基本步骤如下：1、给出方程的局部等价形式2、取合适的6xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=7若满足：1、2、可导，且存在正数L<1，使得对任意的x，有则有：1、存在唯一的点2、迭代收敛，且有误差估计定理若满足：1、2、可导，且存在正数L<1，使得对任意的x，有则8①存在唯一性②做辅助函数，则有所以，存在点若，则有：又，则所以，任意的初值都收敛证明：①存在唯一性②做辅助函数，则有所以，存在点若，则有：又，则所9③误差估计由p的任意性，令证毕③误差估计由p的任意性，令证毕10构造满足定理条件的等价形式一般难于做到。要构造收敛迭代格式有两个要素：1、等价形式2、初值选取下面我们开始介绍若干种迭代法的构造方法构造满足定理条件的等价形式一般难于做到。要构造收敛迭代格式有114.3Newton迭代法将f(x)在初值处作Taylor展开取线性部分作为f(x)的近似，有：若，则有记为类似，我们可以得到xyx*x04.3Newton迭代法将f(x)在初值处作Taylor展12这样一直下去，我们可以得到迭代序列Newton迭代的等价方程为：所以若f(x)在a处为单根，则所以，迭代格式收敛这样一直下去，我们可以得到迭代序列Newton迭代的等价方程13收敛速度函数在a处作Taylor展开若a为p重根，取迭代格式为：即Newton迭代收敛速度快，格式简单，应用广泛收敛速度函数在a处作Taylor展开若a为p重根，取迭代格式14

例

用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-5.

解

Newton迭代格式为kxkƒ(xk)|xk-xk-1|012340.50.571020440.567155570.567143290.56714329-0.175639360.010747510.000033930.00000000030.00000000030.071020440.003864870.000012280.00000000例用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.15注：Newton’sMethod收敛性依赖于x0的选取。x*x0x0x0注：Newton’sMethod收敛性依赖于x0的选取164.4弦截法将Newton迭代中的导数，用差商代替，有格式是2步格式。收敛速度比Newton迭代慢x0x1切线

割线

4.4弦截法将Newton迭代中的导数，用差商代替，有格式17定义

设迭代xk+1=g(xk)收敛到g(x)的不动点x*。设ek=xk

x*，若，则称该迭代为p阶收敛，其中C称为渐进误差常数。定义设迭代xk+1=g(xk)收敛到g(x)184.4非线性方程组的Newton迭代法则，直接推广Newton迭代为：4.4非线性方程组的Newton迭代法则，直接推广Newt19实际中，用解方程组的形式实际中，用解方程组的形式20第4章非线性方程求根非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个不可缺的内容。但是，非线性方程的求根非常复杂。通常非线性方程的根的情况非常复杂：无穷组解无解一个解两个解四个解第4章非线性方程求根非线性科学是当今科学发21所以，只在某个区域内可能解存在唯一，而且经常很简单的形式得不到精确解：因此，通常我们用迭代法解非线性方程看迭代法之前，先看看一种简单直观的方法原理：所以，只在某个区域内可能解存在唯一，而且经常很简单的形式得不224.1对分法abx1x2ab什么时候停止？或x*4.1对分法abx1x2ab什么时候停止？或x*23While(|a-b|>eps)x=(a+b)/2f(x)若(|f(x)|<eps)x为解若f(x)*f(b)<0修正区间为[x,b]若f(a)*f(x)<0修正区间为[a,x]Endwhile每次缩小一倍的区间，收敛速度为1/2，较慢，且只能求一个根，使用条件限制较大算法2xx*不能保证x的精度While(|a-b|>eps)每次缩小一倍的区间，收敛速度244.2迭代法f(x)=0x=g(x)等价变换f(x)的根g(x)的不动点思路从一个初值x0

出发，计算x1=g(x0),x2=g(x1),…,xk+1=g(xk),…若收敛，即存在x*使得

，且g连续，则由可知x*=g(x*)，即x*是g的不动点，也就是f的根。4.2迭代法f(x)=0x=g(x)等价变换f25迭代法的基本步骤如下：1、给出方程的局部等价形式2、取合适的初值，产生迭代序列3、求极限易知，该值为方程的根一定收敛吗？迭代法的基本步骤如下：1、给出方程的局部等价形式2、取合适的26xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=27若满足：1、2、可导，且存在正数L<1，使得对任意的x，有则有：1、存在唯一的点2、迭代收敛，且有误差估计定理若满足：1、2、可导，且存在正数L<1，使得对任意的x，有则28①存在唯一性②做辅助函数，则有所以，存在点若，则有：又，则所以，任意的初值都收敛证明：①存在唯一性②做辅助函数，则有所以，存在点若，则有：又，则所29③误差估计由p的任意性，令证毕③误差估计由p的任意性，令证毕30构造满足定理条件的等价形式一般难于做到。要构造收敛迭代格式有两个要素：1、等价形式2、初值选取下面我们开始介绍若干种迭代法的构造方法构造满足定理条件的等价形式一般难于做到。要构造收敛迭代格式有314.3Newton迭代法将f(x)在初值处作Taylor展开取线性部分作为f(x)的近似，有：若，则有记为类似，我们可以得到xyx*x04.3Newton迭代法将f(x)在初值处作Taylor展32这样一直下去，我们可以得到迭代序列Newton迭代的等价方程为：所以若f(x)在a处为单根，则所以，迭代格式收敛这样一直下去，我们可以得到迭代序列Newton迭代的等价方程33收敛速度函数在a处作Taylor展开若a为p重根，取迭代格式为：即Newton迭代收敛速度快，格式简单，应用广泛收敛速度函数在a处作Taylor展开若a为p重根，取迭代格式34

例

用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-5.

解

Newton迭代格式为kxkƒ(xk)|xk-xk-1|012340.50.571020440.567155570.567143290.56714329-0.175639360.010747510.000033930.00000000030.00000000030.071020440.003864870.000012280.00000000例用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.35注：Newton’sMethod收敛性依赖于x0的选取。x*x0x0x0注：Newton’sMethod收敛性依赖于x0的选取364.4弦截法将Newton迭代中的导数，用差商代替，有格式是2步格式。收敛速度比Newton迭代慢x0x1切线

割线

4.4弦截法将Newton迭代中的导数，用差商代替，有格式37定义

设迭