十字相乘法和分组分解法课件

新人教版·数学·八年级(上)第4课时十字相乘法和分组分解法15.3因式分解新人教版·数学·八年级(上)第4课时15.3利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式：当q>0时，q分解的因数a、b（）当q<0时，q分解的因数a、b（）同号异号知识要点q=ab，p=a+b利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=xxabax+bx=(a+b)x(x+a)(x+b)步骤：①竖分二次项与常数项；②交叉相乘，和相加；③检验确定，横写因式．顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱．x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=xxabax+bx1．x2+8x+12=2．x2-11x-12=3．x2-7x+12=4．x2-4x-12=(x+2)(x+6)(x-6)(x+2)(x-3)(x-4)(x-12)(x+1)5．x2+13x+12=(x+1)(x+12)6．x2-x-12=(x-4)(x+3)将下列各式因式分解：1．x2+8x+12=2．x2-11x-12=3．x2-7x对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三个问题：1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项．

2．符号规律：当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同．3．书写格式：竖分横积．注意对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三知识要点分组分解法分解因式：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

知识要点分组分解法分解因式：如果一个多项式适mx+my-nx-ny①②③④①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）解1：原式=（mx+my）-（nx+ny）=m(x+y)-n(x+y)=(x+y)(m-n)①③，②④两组，得（mx-nx）+(my-ny)解2：原式=（mx-nx）+(my-ny)=x(m-n)+y(m-n)=(m-n)(x+y)练一练mx+my-nx-ny①②③④①②，③④两组，得（mx+my（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组之间还有公因式可以提．（2）分组添括号时要注意符号的变化．（3）要将分解到底，不同分组的结果应该是一样的．注意（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组（2）分组添括号时要把下列各式因式分解：练一练（1）x2+2xy+y2-z2（2）ab+a+b+1解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2=(x+y)2-z2=(x+y+z)(x+y-z)（2）原式=(ab+a)+(b+1)=a(b+1)+(b+1)=(b+1)(a+1)把下列各式因式分解：练一练（1）x2+2xy+y2-z2（3）9a4-4a2+4a-1解：9a4-4a2+4a-1=9a4-(4a2-4a+1)

=9a4-(2a-1)2

=(3a2+2a-1)(3a2-2a+1)=(a+1)(3a-1)(3a2-2a+1)（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24=(x2+x-2)(x2+x-12)+24=(x2+x)2-14(x2+x)+48=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x+3)(x-2)(x2+x-8)（3）9a4-4a2+4a-1解：9a4-4a2+4a-1=（2007年株洲市）分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10解：令x4+x2=m，则原式可化为

(m-4)(m+3)+10=m2-m-12+10=m2-m-2=(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)（2007年株洲市）解：令x4+x2=m，则原式可化为如果a+b=0，求a3–2b3+a2b–2ab2的值．原式=a3+a2b-(2b3+2ab2

)=a2(a+b)-2b2(a+b)=(a+b)(a2-2b2

)练一练=0如果a+b=0，求a3–2b3+a2b–2ab2的值．解：4x4+1=4x4+4x2+1-4x2=（2x2+1）2-（2x）2=（2x2+1+2x）（2x2+1-2x）因式分解：4x4+1解：4x4+1因式分解：4x4+1因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．注意因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运新人教版·数学·八年级(上)第4课时十字相乘法和分组分解法15.3因式分解新人教版·数学·八年级(上)第4课时15.3利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式：当q>0时，q分解的因数a、b（）当q<0时，q分解的因数a、b（）同号异号知识要点q=ab，p=a+b利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=xxabax+bx=(a+b)x(x+a)(x+b)步骤：①竖分二次项与常数项；②交叉相乘，和相加；③检验确定，横写因式．顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱．x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=xxabax+bx1．x2+8x+12=2．x2-11x-12=3．x2-7x+12=4．x2-4x-12=(x+2)(x+6)(x-6)(x+2)(x-3)(x-4)(x-12)(x+1)5．x2+13x+12=(x+1)(x+12)6．x2-x-12=(x-4)(x+3)将下列各式因式分解：1．x2+8x+12=2．x2-11x-12=3．x2-7x对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三个问题：1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项．

2．符号规律：当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同．3．书写格式：竖分横积．注意对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三知识要点分组分解法分解因式：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

知识要点分组分解法分解因式：如果一个多项式适mx+my-nx-ny①②③④①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）解1：原式=（mx+my）-（nx+ny）=m(x+y)-n(x+y)=(x+y)(m-n)①③，②④两组，得（mx-nx）+(my-ny)解2：原式=（mx-nx）+(my-ny)=x(m-n)+y(m-n)=(m-n)(x+y)练一练mx+my-nx-ny①②③④①②，③④两组，得（mx+my（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组之间还有公因式可以提．（2）分组添括号时要注意符号的变化．（3）要将分解到底，不同分组的结果应该是一样的．注意（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组（2）分组添括号时要把下列各式因式分解：练一练（1）x2+2xy+y2-z2（2）ab+a+b+1解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2=(x+y)2-z2=(x+y+z)(x+y-z)（2）原式=(ab+a)+(b+1)=a(b+1)+(b+1)=(b+1)(a+1)把下列各式因式分解：练一练（1）x2+2xy+y2-z2（3）9a4-4a2+4a-1解：9a4-4a2+4a-1=9a4-(4a2-4a+1)

=9a4-(2a-1)2

=(3a2+2a-1)(3a2-2a+1)=(a+1)(3a-1)(3a2-2a+1)（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24=(x2+x-2)(x2+x-12)+24=(x2+x)2-14(x2+x)+48=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x+3)(x-2)(x2+x-8)（3）9a4-4a2+4a-1解：9a4-4a2+4a-1=（2007年株洲市）分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10解：令x4+x2=m，则原式可化为

(m-4)(m+3)+10=m2-m-12+10=m2-m-2=(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)（2007年株洲市）解：令x4+x2=m，则原式可化为如果a+b=0，求a3–2b3+a2b–2ab2的值．原式=a3+a2b-(2b3+2ab2

)=a2(a+b)-2b2(a+b)=(a+b)(a2-2b2

)练一练=0如果a+b=0，求a3–2b3+a2b–2ab2的值．解：4x4+1=4x4+4x2+1-4x2=（2x2+1）2-（2x）2