第九章-拉氏变换(与“变换”有关的文档共28张)

第九章拉氏变换第一页，共28页。引言Fourier变换的限制:绝对可积在整个数轴上有定义指数衰减函数e-bt(b>0)单位阶跃函数u(t)演变为拉氏变换双边拉氏变换:傅氏变换:第二页，共28页。傅氏变换与拉氏变换的关系¥<<¥-+=tjswb双边拉氏变换¥<<¥-=tjsw傅氏变换¥<<+=tjs0wb单边拉氏变换第三页，共28页。§9.1拉普拉斯变换的概念一、拉氏变换的定义设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积分在s的某一域内收敛(s是一个复参量)，则由此积分决定的函数可写为

称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)或象函数，记为F(s)=L[f(t)].又称f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换(简称为拉氏逆变换)或象原函数，即f(t)=L-1[F(s)]第四页，共28页。解:

由拉氏变换的定义有例1

分别求出单位阶跃函数u(t),符号函数sgnt,以及f(t)=1的拉氏变换(Res>0)(Res>0)(Res>0)例2

求出指数函数f(t)=ekt的拉氏变换解:(Res>Rek)第五页，共28页。例3

求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换解:

根据定义有同理可得二、拉氏变换的存在定理拉氏变换存在定理:

设函数f(t)满足下列条件：第六页，共28页。2°f(t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点；3°f(t)是指数级函数(增长速度不超过指数函数)1°当t＜0时，f(t)=0；则f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)＞c一定存在，F(s)是解析函数。即存在常数M>0及c>0使|f(t)|≤Mect

(0≤t<+∞)c称为f(t)的增长指数三、关于拉氏变换的积分下限问题f(t)在t=0附近有界时,f(0)与f(t)的Laplace变换无关第七页，共28页。f(t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点假如包括，我们把积分下限记为0+；假如不包括，我们把积分下限记为0-，于是得出了不同的拉氏变换。记第八页，共28页。例4

求单位脉冲函数d(t)的laplace变换.显然L+[d(t)]=0=1.例5

求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)的laplace变换.解:解:[Re(s)>-∞](Res>Reb)第九页，共28页。四、常用函数的拉氏变换公式第十页，共28页。(1)线性性质设a、b为常数,

§9.2拉氏变换的性质例1:

求常数A的Laplace变换.例2:

求函数f(t)=A(1-e-at)的Laplace变换.解:解:第十一页，共28页。例3

求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换解:第十二页，共28页。例4

求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换(2)相似性质(a为正实数)设L[f(t)]=F(s),则当a为正实数时证明：解:第十三页，共28页。(3)微分性质

推论：

设L[f(t)]=F(s),则有证明：第十四页，共28页。例5求函数f(t)=coswt的拉氏变换例6求函数f(t)=tm

的拉氏变换解:

由于故根据线性性质有解:第十五页，共28页。故(4)象函数微分性质

一般地，有

例7求函数f(t)=t的拉氏变换解:

由于故例8求函数f(t)=te-at

的拉氏变换设L[f(t)]=F(s),则第十六页，共28页。(5)积分性质

解:

由于故例9求函数f(t)=tsinkt的拉氏变换解:

由于故设L[f(t)]=F(s),则第十七页，共28页。推论:

证明：例10求函数的拉氏变换解:

由拉氏变换积分性质有第十八页，共28页。由微分性质有(6)象函数积分性质

若L[f(t)]=F(s)，则

证明：两边对s积分：第十九页，共28页。交换积分次序:推论:例11求函数f(t)=sint/t的拉氏变换解:

由于则由象函数积分性质有=arccots第二十页，共28页。令s=0得(7)延迟性质若t<0时,则对任一非负实数t0有证明：第二十一页，共28页。例11

设a>0,b>0,求单位阶跃函数1,t>b/a,0,t<b/au(at-b)=的拉氏变换.解:

由于则由延迟性质有而由相似性质有(8)位移性质（设a为常数）第二十二页，共28页。例12求函数f(t)=te-at

的拉氏变换解:

由于则由位移性质有例13求函数f(t)=e-atsinwt的拉氏变换解:

由于则由位移性质有同理第二十三页，共28页。§2.3拉氏逆变换由拉氏变换的定义有由傅氏逆变换的定义有两边同乘以ebt1.反演积分公式第二十四页，共28页。积分路线是平行于虚轴的直线Res=β反演积分公式第二十五页，共28页。一、求解常微分方程(组)§2.4拉氏变换的应用象原函数(方程的解)象函数微分方程象函数的代数方程取Laplace变换取Laplace逆变换解代数方程例19求解微分方程解:

设L[x(t)]=X(s),方程两边取拉氏变换第二十六页，共28页。解此方程得: