处理椭圆最值问题的八大策略

处理椭圆最值问题的八大策略数学组陈东生圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广,处理方法灵活等特点为高考命题者在此知识点设计综合问题提供了理论依据。如何选用恰当方法，明晰解题思路，是多数考生亟待解决的问题，笔者，教你“八招”。一：探求变量间的相关函数例1：点A、B分别是椭圆x2y21长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，3620且位于x轴上方，PAPF。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。解：（1）略的方程是x－3y+6=0mm6（）直线AP。设点M(,0),则M到直线AP的距离是。22于是m6又－6≤m≤解得m=2。设椭圆上的点(x,y)到点M的距离d2=m6,6,d22y22524(x92),15(x2)x4x420x929由于－6≤m≤6,∴当x=9时,d取得最小值152点评：本题求解难点是如何将动点M与椭圆上点P间的距离表示成某个变量的函数，常见处理方法是大胆引入变量，利用设而不求方法或直接换元变多元为一元函数进行求解二：寻求椭圆特征量a,b,c的等式或不等式例2：若A,B为椭圆x2y21(ab0)的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使AQB1200，a2b2求此椭圆离心率的最小值。解：不妨设A(a,0),B(a,0),Q(x,y)，则kAQy,kBQyxa，yyxa利用到角公式及AQB1200得：xaxatan1200（xa），1yya2xaxa2ab2b即2ab2又点A在椭圆上，故x2a2y2，化简得y又ybb23c23c2则4a2(a2c2)3c4，3e44e240解得6e1。3故椭圆离心率的最小值为6。3点评：对于此类最值问题求解关键是如何建立椭圆中的三大特征量 a,b,c之间的关系。常用方法是通过对椭圆上的特殊点（如顶点、焦点）的连线或由其围成的图形进行。分析，确定满足的条件，进而求解。三、利用椭圆标准方程特征巧用三角代换求最值：例3求椭圆x2y21上的点到直线l:x2y120的最大距离和最小距离.1612解：椭圆x2y21的参数方程为x4cos(02)则椭圆上任意一点P坐标为16122y3sinP(4cos,23sin),∴到直线的距离为4cos431281cos2sin38sin()302d5==5222562111sin()1当sin()1时，d取最大值，即d最大值45；66666当sin()1时，d取最小值，即d最小值4556x2y21a2b2cos2sin21,故经常点评：因为椭圆方程为类似于三角中的同角的平方关系用三角代换转化为角的运算，对于解题往往会收到奇效，但一定要注意角的范围.四：利用焦点三角形相关性质求最值x2y21(ab0)两个焦点为F1,F2，如果曲线C上存在一点Q，使F1QF2Q，例4：已知椭圆C：b2a2求椭圆离心率的最小值。解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：2cPF1PF2PF1PF22asin900sinsinsincossincos故e1450)2，故椭圆离心率的最小值为2。2sin(22点评：此法求最值问题关键是合理利用焦点三角形正弦定理或余弦定理建立的边角关系，再利用椭圆定义确定其隐含条件，找出其变量关系，建立等式并利用三角函数的有界性解题。五：利用题中数字特殊性由第二定义转化例5已知定点A（2，1），F（1，0）是椭圆 x2 y2 1的一个焦点，P是椭圆上的点，求 |PA|+3|PF|m 8的最小值.解：椭圆右准线l2:x 9.设 P 在l2上的射影为 D，由椭圆第二定义有PF1.3|PF||PD|.|PA|3|PF||PA||PD|.过A作AEl2于E,交椭圆于P3,ePD3P3使得|PA||PD|达到最小值为7点评：利用第二定义实现了数据的转化，本小题一般情形假如题设与本题类同，所求的便是PA 1|PF|的最小值六：利用椭圆的对称美例6已知x2y21的焦点为、，在直线l:xy60上找一点M,求以F1、F2为焦点，通95F1F2过点M且点M到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程.y解：F1（-2，0）、F2（2，0），F1关于l的对称点为’F1(-6,-4),连F1oF2x接F’1、F2交l于点M即为所求，2aF1'F245,c=2,b2=16，F1’所求椭圆为x2y21.M2016点评：：椭圆是一个很对称的几何图形对称是数学美的一个非常重要的方面，充分发掘几何图形的对称性，利用数形结合的思想，可以把复杂的运算简单化.七：利用平面几何知识例7：如图，在直线l:xy90上任意取一点M，经过M点且以椭圆x2y21的焦点作123椭圆，问当M在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？y解：椭圆的两焦点分别为F1（－3，0）、F2（3,0），F1'lNM''的方程为xy3P作F1关于直线l的对称点F1，则直线F1F1xy3FOFx由方程组y得P的坐标（－6，3），x9由中点坐标公式得的 F1'坐标（－9,6）,所以直线F2F1'的方程x 2y 3。x2y3M点坐标（－5,4）。由于'180265，解方程组得F1F2axy9点评：对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形边间关系或两点连线最短、垂线段最短的思想，此法较直观，易于求解。八、借助向量有关结论解题y2例8 P、Q、M、N四点都在椭圆 x2+2=1上，F为椭圆在 y轴上的焦点.已知PF与PQ共线，MF与FN共线，且PFMF=0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.解∵PFMF0PFMF.即MNPQ.当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴.不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴.∵F(0,1)∴MN的方程为：y=1，PQ的方y2yx21PN程为：x=0分别代入椭圆2中得：|MN|=2,|PQ|=22FQ11∴S四边形PMQN=2|MN|·|PQ|=2×2×22=2当MN,PQ都不与坐标轴垂直时，设MN的方程为y=kx+1(k≠0)，

M

o xx2y212k2,x1x2=·k21代入椭圆2中得(k2+2)x2+2kx－1=0,∴x1+x2=k22|MN|(1k2)[(x1x2)24x1x2]2)[(2k)2422(1k2)(1kk2k2]k22∴22|PQ|22(1k2)2k22同理可得：122k44k212(1k2)2(11)16∴S四边形PMQN=2|MN|·|PQ|=2k45k22=2k45k222(k21/k2)59k21即k1时，取等号).(当且仅当k22(1k2)216又S四边形PMQN=2k45k22，∴此时,9S四边形PMQN216综上可知：(S