平面解析几何复习课件3

第九节抛物线(一)第七章平面解析几何第九节抛物线(一)第七章平面解析几何1考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．理解数形结合的思想.考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单2课前自修知识梳理一、抛物线的定义平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线．注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线．课前自修知识梳理一、抛物线的定义3二、抛物线的类型、标准方程及其几何性质(注意：表中各式的p>0)标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图形焦点FFFF准线x=-x=y=-y=二、抛物线的类型、标准方程及其几何性质(注意：表中各式的p>4标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e=1焦半径=+x1=+=+y1=+标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py5三、圆锥曲线的统一定义(属知识拓展)平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线．三、圆锥曲线的统一定义(属知识拓展)6基础自测1．(2012·东莞市一模)已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为 () A．y2＝4x B．y2＝－4x C．x2＝4y D．y2＝8x解析：依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，则点A在原点，因为P(2,2)为AB的中点，所以点B的坐标为(4,4)，代入抛物线方程得p＝2.故选A.答案：A基础自测1．(2012·东莞市一模)已知抛物线C的顶点为原点72.(2012·西安市月考)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12解析：据已知抛物线方程可得其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，可得点P的横坐标xP＝4，由抛物线定义可知点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF|＝xP＋＝xP＋2＝4＋2＝6.故选B.答案：B2.(2012·西安市月考)设抛物线y2=8x上一点P到y83．若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为____________．解析：由抛物线定义知点，P的轨迹是以F(2,0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，所以p＝4，所以其方程为y2＝8x.答案：y2＝8x3．若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离94．(2011·厦门市模拟)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为______．解析：椭圆＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4.答案：44．(2011·厦门市模拟)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆10考点探究考点一求抛物线的标准方程及准线方程【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)；(2)焦点在直线x-2y-4=0上；(3)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，但|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)．考点探究考点一求抛物线的标准方程及准线方程【例1】求11思路点拨：对于(1)与(2)从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论；对于(3)由已知“抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上”，可设抛物线方程为y2=2px(p>0)，利用抛物线的定义可解决．思路点拨：对于(1)与(2)从方程形式看，求抛物线的标准方程12解析：(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)，∵过点(－3,2)，∴4＝－2p·(－3)或9＝2p·2.∴p＝或p＝.∴所求的抛物线方程为y2＝－x或x2＝y，前者的准线方程是x＝，后者的准线方程是y＝－.解析：(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py13(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线方程y2＝16x.焦点为(0，－2)时，＝2，∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.∴所求的抛物线的方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.(3)设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，其准线为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，14∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，∴(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y，y＝2px1，y＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2，故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，15点评：(1)求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，再由条件确定参数p的值．这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解．(2)应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个．如本题第(3)小题根据抛物线的顶点在原点及顶点在x轴设出方程，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，产生所设方程中的参变量，分析与求解均建立在抛物线的几何性质的基础上进行，难度不大，但基础性较强．点评：(1)求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线的标准16变式探究1.(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a¹0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2=±4xB．y2=±8xC．y2=4xD．y2=8x(2)已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线过点(4，-2)，则抛物线的标准方程是____________.变式探究1.(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a17解析：(1)抛物线焦点F坐标为，故直线l的方程为y＝2，它与y轴交点坐标为A，∴S△OAF＝××＝4，得a2＝64，a＝±8，即抛物线方程为y2＝±8x.故选B.(2)设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，因抛物线过点(4，－2)，∴42＝－2p×(－2)，p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y.答案：(1)B(2)x2＝－8y解析：(1)抛物线焦点F坐标为，故直线l的18考点二求以非标准方程形式给出的抛物线的焦点坐标或准线方程【例2】设a¹0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为()A．(a,0)B．(0，a)C.D．随a符号而定思路点拨：将抛物线方程化为标准形式，对照标准方程即可求得．解析：由y＝4ax2得x2＝y，所以焦点F的坐标是.故选C.答案：C考点二求以非标准方程形式给出的抛物线的焦点坐标或准线方程【例19变式探究2．抛物线x=ay2的焦点F是椭圆=1的左焦点，则a的值为______________．变式探究2．抛物线x=ay2的焦点F是椭圆20考点三利用抛物线的定义求距离和的最小值【例3】设P是抛物线y2=4x上的一动点．(1)求点P到点A(-2,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|+|PF|的最小值．思路点拨：由抛物线方程为y2=4x知此抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x=-1，由抛物线的定义知：点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(-2,1)与到点F(1,0)的距离最小的问题，从而获得问题的解答．考点三利用抛物线的定义求距离和的最小值【例3】设P是抛物线21解析：(1)由于A(-2,1)，F(1,0)，P为抛物线上任意一点，则|AP|+|PF|≥|AF|==，从而知点P到点A(-2,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到点A(-2,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值也为.(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，|P1Q|=|P1F|，那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即最小值为4.解析：(1)由于A(-2,1)，F(1,0)，P为抛物线上任22点评：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，由于抛物线的定义在利用上有较大的灵活性，因此，此类问题也有一定的难度．本题中的两小问有一个共性，都是利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解．点评：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关23变式探究3．(2012·泰安市月考)已知点M是抛物线y2=4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x-4)2+(y-1)2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为____________.解析：依题意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线x＝－1的准线的距离，结合图形不难得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.答案：4变式探究3．(2012·泰安市月考)已知点M是抛物线y2=424考点四与焦点弦有关的问题【例4】(2012·安徽卷)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为()A.B.C.D．2考点四与焦点弦有关的问题【例4】(2012·安徽卷)过抛物25点评：凡涉及焦点弦的问题，往往能利用抛物线的定义来解决，因此正确理解和掌握抛物线的定义和性质，将会给解题带来方便．点评：凡涉及焦点弦的问题，往往能利用抛物线的定义来解决，因此264．(2011·江西卷)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且=9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

，求l的值．解析：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.变式探究4．(2011·江西卷)已知过抛物线y2=2px(p>0)的27(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设

＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋428考点五抛物线与其他知识的综合【例5】(2011·广州市一模)已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．考点五抛物线与其他知识的综合【例5】(2011·广州市一模29平面解析几何复习课件330平面解析几何复习课件331平面解析几何复习课件332平面解析几何复习课件333平面解析几何复习课件334变式探究5．(2012·肇庆市一模)已知圆C与两圆x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n. (1)求圆C的圆心轨迹L的方程． (2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程． (3)试探究轨迹Q上是否存在点B(x1，y1)，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．变式探究5．(2012·肇庆市一模)已知圆C与两圆x2＋(y35解析：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C1(0，－4)，C2(0,2)，由题意得|CC1|＝|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程为y＝－1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，＝1，即p＝2，所以，轨迹Q的方程是x2＝4y.解析：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C1(0，－4)，C36平面解析几何复习课件337易错警示忽略多解性致误求到y轴的距离比到点的距离小2的动点P的轨迹方程．

学生错解：即为动点到点(2,0)的距离等于到直线x=-2的距离，由抛物线的定义可知点P的轨迹是抛物线，其方程为y2=8x.

错因分析：上述解法忽略了当动点“在过定点且与定直线垂直的射线上”也符合题意这一情形，因而产生漏解，因此要注意正确理解和掌握抛物线的定义和性质和注意问题的多解性，养成严密思考问题的习惯．易错警示忽略多解性致误38正解：依题意可知，动点P的轨迹需分类讨论：(1)当动点P在过定点(2,0)且与定直线(y轴)垂直的射线(即x轴的非正半轴)上时，其轨迹为一条射线，故其方程为y=0.(2)当动点P不在过定点(2,0)且与定直线(y轴)垂直的射线(即x轴的非正半轴)上时，动点P到点(2,0)的距离等于到直线x=-2的距离，其轨迹是一条抛物线，故其方程为y2=8x.综上可得动点P的轨迹方程为y2=8x或y=0.正解：依题意可知，动点P的轨迹需分类讨论：(1)当动点P在过39课时升华本课时重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质，难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，关键是定义的运用．在复习过程中注意以下几点：1．求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法．2．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．3．由于抛物线的离心率e=1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的．课时升华本课时重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质，难点是404．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．5．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程．6．在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化．4．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距417．焦半径：抛物线上的点M到焦点F的距离叫焦半径．8．抛物线中与焦点弦有关的一些性质．(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；(2)抛物线的通径为2p，通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦；(3)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①|AB|=x1+x2+p；②x1x2=，y1y2=-p2.7．焦半径：抛物线上的点M到焦点F的距离叫焦半径．42感悟高考品味高考1.(2012·四川卷)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=()A．2B．2C．4D．2感悟高考品味高考1.(2012·四川卷)已知抛物线关43平面解析几何复习课件344平面解析几何复习课件345平面解析几何复习课件346平面解析几何复习课件347高考预测1.(2012·郑州市质量预测)如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线方程为()A．y2=9xB．y2=6xC．y2=3xD．y2=x高考预测1.(2012·郑州市质量预测)如图，过抛物线y248解析：∵|BC|＝2|BF|，∴由抛物线的定义知∠BCD＝30°，又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即F为AC的中点，∴p＝|FD|＝|EA|＝.故抛物线方程为y2＝3x.故选C.答案：C解析：∵|BC|＝2|BF|，∴由抛物线的定义知∠BCD＝3492．(2011·苏州市调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F的距离与到定直线l：x=-1的距离相等．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F作倾斜角为45°的直线m交轨迹E于点A，B，求△AOB的面积．2．(2011·苏州市调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P50第九节抛物线(一)第七章平面解析几何第九节抛物线(一)第七章平面解析几何51考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．理解数形结合的思想.考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单52课前自修知识梳理一、抛物线的定义平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线．注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线．课前自修知识梳理一、抛物线的定义53二、抛物线的类型、标准方程及其几何性质(注意：表中各式的p>0)标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图形焦点FFFF准线x=-x=y=-y=二、抛物线的类型、标准方程及其几何性质(注意：表中各式的p>54标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e=1焦半径=+x1=+=+y1=+标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py55三、圆锥曲线的统一定义(属知识拓展)平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线．三、圆锥曲线的统一定义(属知识拓展)56基础自测1．(2012·东莞市一模)已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为 () A．y2＝4x B．y2＝－4x C．x2＝4y D．y2＝8x解析：依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，则点A在原点，因为P(2,2)为AB的中点，所以点B的坐标为(4,4)，代入抛物线方程得p＝2.故选A.答案：A基础自测1．(2012·东莞市一模)已知抛物线C的顶点为原点572.(2012·西安市月考)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12解析：据已知抛物线方程可得其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，可得点P的横坐标xP＝4，由抛物线定义可知点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF|＝xP＋＝xP＋2＝4＋2＝6.故选B.答案：B2.(2012·西安市月考)设抛物线y2=8x上一点P到y583．若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为____________．解析：由抛物线定义知点，P的轨迹是以F(2,0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，所以p＝4，所以其方程为y2＝8x.答案：y2＝8x3．若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离594．(2011·厦门市模拟)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为______．解析：椭圆＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4.答案：44．(2011·厦门市模拟)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆60考点探究考点一求抛物线的标准方程及准线方程【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)；(2)焦点在直线x-2y-4=0上；(3)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，但|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)．考点探究考点一求抛物线的标准方程及准线方程【例1】求61思路点拨：对于(1)与(2)从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论；对于(3)由已知“抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上”，可设抛物线方程为y2=2px(p>0)，利用抛物线的定义可解决．思路点拨：对于(1)与(2)从方程形式看，求抛物线的标准方程62解析：(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)，∵过点(－3,2)，∴4＝－2p·(－3)或9＝2p·2.∴p＝或p＝.∴所求的抛物线方程为y2＝－x或x2＝y，前者的准线方程是x＝，后者的准线方程是y＝－.解析：(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py63(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线方程y2＝16x.焦点为(0，－2)时，＝2，∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.∴所求的抛物线的方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.(3)设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，其准线为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，64∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，∴(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y，y＝2px1，y＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2，故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，65点评：(1)求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，再由条件确定参数p的值．这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解．(2)应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个．如本题第(3)小题根据抛物线的顶点在原点及顶点在x轴设出方程，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，产生所设方程中的参变量，分析与求解均建立在抛物线的几何性质的基础上进行，难度不大，但基础性较强．点评：(1)求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线的标准66变式探究1.(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a¹0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2=±4xB．y2=±8xC．y2=4xD．y2=8x(2)已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线过点(4，-2)，则抛物线的标准方程是____________.变式探究1.(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a67解析：(1)抛物线焦点F坐标为，故直线l的方程为y＝2，它与y轴交点坐标为A，∴S△OAF＝××＝4，得a2＝64，a＝±8，即抛物线方程为y2＝±8x.故选B.(2)设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，因抛物线过点(4，－2)，∴42＝－2p×(－2)，p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y.答案：(1)B(2)x2＝－8y解析：(1)抛物线焦点F坐标为，故直线l的68考点二求以非标准方程形式给出的抛物线的焦点坐标或准线方程【例2】设a¹0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为()A．(a,0)B．(0，a)C.D．随a符号而定思路点拨：将抛物线方程化为标准形式，对照标准方程即可求得．解析：由y＝4ax2得x2＝y，所以焦点F的坐标是.故选C.答案：C考点二求以非标准方程形式给出的抛物线的焦点坐标或准线方程【例69变式探究2．抛物线x=ay2的焦点F是椭圆=1的左焦点，则a的值为______________．变式探究2．抛物线x=ay2的焦点F是椭圆70考点三利用抛物线的定义求距离和的最小值【例3】设P是抛物线y2=4x上的一动点．(1)求点P到点A(-2,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|+|PF|的最小值．思路点拨：由抛物线方程为y2=4x知此抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x=-1，由抛物线的定义知：点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(-2,1)与到点F(1,0)的距离最小的问题，从而获得问题的解答．考点三利用抛物线的定义求距离和的最小值【例3】设P是抛物线71解析：(1)由于A(-2,1)，F(1,0)，P为抛物线上任意一点，则|AP|+|PF|≥|AF|==，从而知点P到点A(-2,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到点A(-2,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值也为.(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，|P1Q|=|P1F|，那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即最小值为4.解析：(1)由于A(-2,1)，F(1,0)，P为抛物线上任72点评：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，由于抛物线的定义在利用上有较大的灵活性，因此，此类问题也有一定的难度．本题中的两小问有一个共性，都是利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解．点评：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关73变式探究3．(2012·泰安市月考)已知点M是抛物线y2=4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x-4)2+(y-1)2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为____________.解析：依题意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线x＝－1的准线的距离，结合图形不难得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.答案：4变式探究3．(2012·泰安市月考)已知点M是抛物线y2=474考点四与焦点弦有关的问题【例4】(2012·安徽卷)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为()A.B.C.D．2考点四与焦点弦有关的问题【例4】(2012·安徽卷)过抛物75点评：凡涉及焦点弦的问题，往往能利用抛物线的定义来解决，因此正确理解和掌握抛物线的定义和性质，将会给解题带来方便．点评：凡涉及焦点弦的问题，往往能利用抛物线的定义来解决，因此764．(2011·江西卷)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且=9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

，求l的值．解析：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.变式探究4．(2011·江西卷)已知过抛物线y2=2px(p>0)的77(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设

＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋478考点五抛物线与其他知识的综合【例5】(2011·广州市一模)已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．考点五抛物线与其他知识的综合【例5】(2011·广州市一模79平面解析几何复习课件380平面解析几何复习课件381平面解析几何复习课件382平面解析几何复习课件383平面解析几何复习课件384变式探究5．(2012·肇庆市一模)已知圆C与两圆x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n. (1)求圆C的圆心轨迹L的方程． (2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程． (3)试探究轨迹Q上是否存在点B(x1，y1)，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．变式探究5．(2012·肇庆市一模)已知圆C与两圆x2＋(y85解析：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C1(0，－4)，C2(0,2)，由题意得|CC1|＝|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程为y＝－1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，＝1，即p＝2，所以，轨迹Q的方程是x2＝4y.解析：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C1(0，－4)，C86平面解析几何复习课件387易错警示忽略多解性致误求到y轴的距离比到点的距离小2的动点P的轨迹方程．

学生错解：即为动点到点(2,0)的距离等于到直线x=-2的距离，由抛物线的定义可知点P的轨迹是抛物线，其方程为y2=8x.

错因分析：上述解法忽略了当动点“在过定点且与