概率与数理统计课件

§2.2离散型随机变量一、离散型随机变量1、离散型随机变量定义2、离散型随机变量的概率分布3、离散型随机变量的分布函数4、离散型随机变量的分布律的求法二、常见的离散型随机变量的概率分布及分布函数1、（0-1）分布（两点分布）2、等可能分布（离散型均匀分布）3、二项分布4、泊松分布§2.2离散型随机变量一、离散型随机变量1一、离散型随机变量1、离散型随机变量定义定义2、1若随机变量X的可能取值仅有有限或可列多个，则称此随机变量为离散型随机变量。即：X的可能取值记为xk,则离散型随机变量X=xkk=1,2,3,…在§2.1随机变量例1.1~例1.4中,X1,X2,X4为离散型随机变量，X3非随机变量。

一、离散型随机变量1、离散型随机变量定义22、离散型随机变量的概率分布

2、离散型随机变量的概率分布3概率与数理统计课件4Xx1x2x3xkpk……Xx1x2x3xkpk……50pkx0pkx63、离散型随机变量的分布函数

例2.1已知离散型随机变量X的概率分布为

P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5

试写出X的分布函数F(x)，并绘出图形。解：因X的取值只有1，2，3三个值，为求分布函数F(x)=P(Xx),先将（-，+）依X的取值分成四个区间（-，1），[1，2），[2，3）[3，+），再考虑：(1)当x(-，1)时，X在(-，x]内没有可能取值,故

F(x)=P(Xx)=P()=0(2)当x[1,2)时，无论x为何值，X在(-，x]上的可能取值仅有X=1，故

F(x)=P(Xx)=P(X<1)+P(X=1)+P(1<Xx)=0+0.2+0=0.2x121x233、离散型随机变量的分布函数

例2.1已知离散型随机变7(3)当x[2,3)时，无论x为何值，X在(-，x]上的可能取值仅有两值X=1或X=2，故

F(x)=P(Xx)=P(X<1)+P(X=1)+P(1<X<2)+P(X=2)

+P(2<Xx)

=0+0.2+0+0.3+0=0.5

(4)当x[3,+)时，无论x为何值，X在(-，x]上的可能取值仅有三值X=1，X=2或X=3，故

F(x)=P(Xx)=P(X<1)+P(X=1)+P(1<X<2)+P(X=2)

+P(2<X<3)+P(X=3)+P(3<Xx)=0+0.2+0+0.3+0+0.5+0=1

即得X的分布函数为(3)当x[2,3)时，无论x为何值，X在(-，x]8F(x)图形为xF(x)012310.50.2F(x)图形为xF(x)012310.50.29概率与数理统计课件10概率与数理统计课件114、离散型随机变量的分布律的求法（1）利用古典概率、条件概率、独立性等计算方法及其运算法则求出事件{X=xk}的概率pk=P{X=xk},k=1,2,…求法步骤为：第一步：先确定X的全部可能取值xk,k=1,2,…；第二步：具体求出事件{X=xk}的概率，即pk。例2.2设有甲、乙两势均力敌的排球队，在每一局比赛中各队取胜的概率都是1/2，求两个队在一场排球比赛中所打局数的概率分布及分布函数(先胜三局者取胜)。4、离散型随机变量的分布律的求法（1）利用古典概率、条件概率12概率与数理统计课件13即所求概率分布如下表：

X345Pk2/83/83/8即所求概率分布如下表：

X314（2）利用分布函数F(x)求概率分布求法步骤为：第一步：F(x)的各间断点xk的取值为X的可能取值；第二步：由pk=P{X=xk}=F(xk)-F(xk-0)求出事件{X=xk}的概率。（2）利用分布函数F(x)求概率分布求法步骤为：15概率与数理统计课件16例2.4一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个作质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它的概率分布。

例2.4一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两17（4）利用熟知分布求分布律（见后）熟知的离散型分布如下表分布类型分布律参数(0-1)分布0<p<1二项分布0<p<1几何分布0<p<1（4）利用熟知分布求分布律（见后）熟知的离散型分布如下表分布18分布类型分布律参数超几何分布r=min{n,m}负二项分布r1,0<p<1泊松分布>0等可能分布分布类型分布律参数超几何分布r=min{n,m}负二项分布r19例2.5一批产品有20个，其中有5个次品。从这批产品中随机抽出4个，试求4个中次品数的分布律。

例2.5一批产品有20个，其中有5个次品。从这批产品中随机20概率与数理统计课件213、一批产品包括7件正品，3件次品，有放回地抽取，每次一件，直到取到正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，试求抽取粗疏X的概率分布。

3、一批产品包括7件正品，3件次品，有放回地抽取，每次一件，22二、常见的离散型随机变量的概率分布及分布函数1、（0-1）分布（两点分布）设随机变量X的可能取值仅为0或1，其概率分布为P{X=k}=pk(1-p)1-kk=0,1(0<p<1)(2.5)或则称X服从参数为p的（0-1）分布。其分布函数为：Xpk011-pp二、常见的离散型随机变量的概率分布及分布函数1、（0-1）分23概率与数理统计课件24概率与数理统计课件25概率与数理统计课件262、等可能分布（离散型均匀分布）如果随机变量X可以取n个不同的值x1,x2,…,xn,且取每个xk值的概率相等，即P{X=xk}=1/nk=1,2,…,n(2.8)

则称X服从等可能分布或离散型均匀分布，其分布参数为n，可记为X~U(n)。其分布函数为2、等可能分布（离散型均匀分布）如果27概率与数理统计课件283、二项分布如果随机变量X取值为0，1，2，…，n的概率为则称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p)。其分布函数为应用模型：n重贝努利概型中事件A发生的次数X即服从B(n,p)。3、二项分布如果随机变量X取值为0，1，2，…29例如：（4）n个新生婴儿中男婴的个数的分布；（3）n台同型号机床，在一小时内，每台机床出故障的概率相同，则n台机床在同一小时内出故障的台数的分布；（5）某射手向同一目标射击n次，n次射击中击中靶心的次数的分布。（2）检查n只产品，其中次品个数X的分布；（1）n次投掷一枚硬币，其中正面出现次数X的分布；例如：（4）n个新生婴儿中男婴的个数的分布；（3）n台同型号30概率与数理统计课件31例2.8按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件中一级品的只数为X，试求（1）X的概率分布及分布函数；

（2）P(2.5<X3.8),P(X<7.2)及P(X>3.4)。解：本例为不放回抽样。但由于这些元件的总数很大，且抽查的数量相对于元件的总数来说又很小，因而可以当作有放回抽样来处理.故可以认为X~B(10,0.2).例2.8按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过150032具体数值如下表：

X01234pk0.10740.26840.3020.20130.0881X5678>9pk0.02640.00550.00080.00010具体数值如下表：

X01234pk0.10740.2684033x(-,0)[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)F(x)00.10740.37580.67780.8791x[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,+)F(x)0.96720.99360.99910.9991其概率分布图形如下：P{X=k}k012345678910x(-,0)[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)F(x34其分布函数图形为10.37580.1074012345678910xF(x)其分布函数图形为10.37580.107401235显然有

P(2.5<X3.8)=F(3.8)-F(2.5)=0.8791-0.6778=0.2013

P(X<7.2)=F(7.2)=0.9999

P(X>3.4)=1-P(X3.4)=1-F(3.4)=1-0.8791=0.1209一般地，当n不大于10时，F(x)的值可由《二项分布函数值表》查出，若n较大时，通常采用Poisson分布函数或正态分布函数作近似计算。

例2.9设某种疾病在鸭子中传染的概率为0.25。（1）求在正常情况下（未注射防疫血清时）50只鸭子和39只鸭子中，受到感染的最大可能只数；（2）设对17只鸭子注射甲种血清后，其中仍有一只受到感染；对23只鸭子注射乙种血清后，其中仍有两只受到感染。试问这两种血清是否有效？显然有

P(2.5<X3.8)=F(3.8)36概率与数理统计课件37概率与数理统计课件38概率与数理统计课件39概率与数理统计课件40练习：1、某柜台上有4个售货员，预备两个台秤共同使用，若每个售货员在一小时内均有15分钟使用台秤，试求一天10个小时内，平均有多少时间台秤不够用。2、设X服从参数为2，p的二项分布，且P{X1}=5/9,成功率为p的4重贝努利试验中至少有一次成功的概率是多少？3、若每次射击中靶的概率为0.7，试求射击10炮，击中3炮的概率，至少击中3炮的概率，最可能命中几炮？（答案见后）练习：1、某柜台上有4个售货员，预备两个台秤共同使用，若每个41概率与数理统计课件424、泊松(Poisson

)分布

4、泊松(Poisson)分布43应用模型：

通常用来描述大量独立试验中稀有事件A出现次数。（4）某商店一天内销售的某种商品数；（3）某路段，某时段内交通事故出现的次数；（5）一本书中某一页上印刷错误个数。（2）一大批产品中的废品数；注1：泊松分布中的参数表示平均值，如X表示单位时间内某电话交换台接到的呼叫次数，即表示在这单位时间内接到呼叫次数的平均数。例如：（1）电话交换台在一段时间内受到的呼唤次数应用模型：

通常用来描述大量独立试验中稀有事件A出现44概率与数理统计课件45

kn=10n=20n=40n=100P=0.1p=0.05p=0.025p=0.01=np=100.3490.3580.3690.3660.36810.3850.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015大于40.0040.0030.0050.0030.004n=10n=2046例2.10某电话交换台在一般情况下，一小时内平均接到电话60次，已知电话呼唤次数X服从泊松分布，试求在一般情况下，30秒内接到电话次数不超过一次的概率。

例2.10某电话交换台在一般情况下，一小时内平均接到电话47例2.11设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台，试比较两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。

例2.11设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生48概率与数理统计课件49概率与数理统计课件50例2.12（寿命保险问题）设在保险公司里有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在每年一月一日付12元保险费，而死亡时家属可到保险公司领取赔付费2000元。试问：（1）“一年内保险公司亏本”（记为A）的概率是多少？（2）“一年内保险公司获利不少于10000，20000元”（分别记为B1,B2）的概率是多少？

解：每年保险公司收入为2500*12=30000元，设X为2500人在一年中死亡的人数，则保险公司应赔付2000X元，若A发生，则有2500X>30000得X>15（人）即若一年中死亡人数超过15人，则公司亏本（此处不计3万元所得利息）。例2.12（寿命保险问题）设在保险公司里有2500个同一年龄51概率与数理统计课件52概率与数理统计课件53

54例2.13一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%，试求每台分机向总机要外线时能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数。例2.13一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假55概率与数理统计课件56概率与数理统计课件57§2.2离散型随机变量一、离散型随机变量1、离散型随机变量定义2、离散型随机变量的概率分布3、离散型随机变量的分布函数4、离散型随机变量的分布律的求法二、常见的离散型随机变量的概率分布及分布函数1、（0-1）分布（两点分布）2、等可能分布（离散型均匀分布）3、二项分布4、泊松分布§2.2离散型随机变量一、离散型随机变量58一、离散型随机变量1、离散型随机变量定义定义2、1若随机变量X的可能取值仅有有限或可列多个，则称此随机变量为离散型随机变量。即：X的可能取值记为xk,则离散型随机变量X=xkk=1,2,3,…在§2.1随机变量例1.1~例1.4中,X1,X2,X4为离散型随机变量，X3非随机变量。

一、离散型随机变量1、离散型随机变量定义592、离散型随机变量的概率分布

2、离散型随机变量的概率分布60概率与数理统计课件61Xx1x2x3xkpk……Xx1x2x3xkpk……620pkx0pkx633、离散型随机变量的分布函数

例2.1已知离散型随机变量X的概率分布为

P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5

试写出X的分布函数F(x)，并绘出图形。解：因X的取值只有1，2，3三个值，为求分布函数F(x)=P(Xx),先将（-，+）依X的取值分成四个区间（-，1），[1，2），[2，3）[3，+），再考虑：(1)当x(-，1)时，X在(-，x]内没有可能取值,故

F(x)=P(Xx)=P()=0(2)当x[1,2)时，无论x为何值，X在(-，x]上的可能取值仅有X=1，故

F(x)=P(Xx)=P(X<1)+P(X=1)+P(1<Xx)=0+0.2+0=0.2x121x233、离散型随机变量的分布函数

例2.1已知离散型随机变64(3)当x[2,3)时，无论x为何值，X在(-，x]上的可能取值仅有两值X=1或X=2，故

F(x)=P(Xx)=P(X<1)+P(X=1)+P(1<X<2)+P(X=2)

+P(2<Xx)

=0+0.2+0+0.3+0=0.5

(4)当x[3,+)时，无论x为何值，X在(-，x]上的可能取值仅有三值X=1，X=2或X=3，故

F(x)=P(Xx)=P(X<1)+P(X=1)+P(1<X<2)+P(X=2)

+P(2<X<3)+P(X=3)+P(3<Xx)=0+0.2+0+0.3+0+0.5+0=1

即得X的分布函数为(3)当x[2,3)时，无论x为何值，X在(-，x]65F(x)图形为xF(x)012310.50.2F(x)图形为xF(x)012310.50.266概率与数理统计课件67概率与数理统计课件684、离散型随机变量的分布律的求法（1）利用古典概率、条件概率、独立性等计算方法及其运算法则求出事件{X=xk}的概率pk=P{X=xk},k=1,2,…求法步骤为：第一步：先确定X的全部可能取值xk,k=1,2,…；第二步：具体求出事件{X=xk}的概率，即pk。例2.2设有甲、乙两势均力敌的排球队，在每一局比赛中各队取胜的概率都是1/2，求两个队在一场排球比赛中所打局数的概率分布及分布函数(先胜三局者取胜)。4、离散型随机变量的分布律的求法（1）利用古典概率、条件概率69概率与数理统计课件70即所求概率分布如下表：

X345Pk2/83/83/8即所求概率分布如下表：

X371（2）利用分布函数F(x)求概率分布求法步骤为：第一步：F(x)的各间断点xk的取值为X的可能取值；第二步：由pk=P{X=xk}=F(xk)-F(xk-0)求出事件{X=xk}的概率。（2）利用分布函数F(x)求概率分布求法步骤为：72概率与数理统计课件73例2.4一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个作质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它的概率分布。

例2.4一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两74（4）利用熟知分布求分布律（见后）熟知的离散型分布如下表分布类型分布律参数(0-1)分布0<p<1二项分布0<p<1几何分布0<p<1（4）利用熟知分布求分布律（见后）熟知的离散型分布如下表分布75分布类型分布律参数超几何分布r=min{n,m}负二项分布r1,0<p<1泊松分布>0等可能分布分布类型分布律参数超几何分布r=min{n,m}负二项分布r76例2.5一批产品有20个，其中有5个次品。从这批产品中随机抽出4个，试求4个中次品数的分布律。

例2.5一批产品有20个，其中有5个次品。从这批产品中随机77概率与数理统计课件783、一批产品包括7件正品，3件次品，有放回地抽取，每次一件，直到取到正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，试求抽取粗疏X的概率分布。

3、一批产品包括7件正品，3件次品，有放回地抽取，每次一件，79二、常见的离散型随机变量的概率分布及分布函数1、（0-1）分布（两点分布）设随机变量X的可能取值仅为0或1，其概率分布为P{X=k}=pk(1-p)1-kk=0,1(0<p<1)(2.5)或则称X服从参数为p的（0-1）分布。其分布函数为：Xpk011-pp二、常见的离散型随机变量的概率分布及分布函数1、（0-1）分80概率与数理统计课件81概率与数理统计课件82概率与数理统计课件832、等可能分布（离散型均匀分布）如果随机变量X可以取n个不同的值x1,x2,…,xn,且取每个xk值的概率相等，即P{X=xk}=1/nk=1,2,…,n(2.8)

则称X服从等可能分布或离散型均匀分布，其分布参数为n，可记为X~U(n)。其分布函数为2、等可能分布（离散型均匀分布）如果84概率与数理统计课件853、二项分布如果随机变量X取值为0，1，2，…，n的概率为则称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p)。其分布函数为应用模型：n重贝努利概型中事件A发生的次数X即服从B(n,p)。3、二项分布如果随机变量X取值为0，1，2，…86例如：（4）n个新生婴儿中男婴的个数的分布；（3）n台同型号机床，在一小时内，每台机床出故障的概率相同，则n台机床在同一小时内出故障的台数的分布；（5）某射手向同一目标射击n次，n次射击中击中靶心的次数的分布。（2）检查n只产品，其中次品个数X的分布；（1）n次投掷一枚硬币，其中正面出现次数X的分布；例如：（4）n个新生婴儿中男婴的个数的分布；（3）n台同型号87概率与数理统计课件88例2.8按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件中一级品的只数为X，试求（1）X的概率分布及分布函数；

（2）P(2.5<X3.8),P(X<7.2)及P(X>3.4)。解：本例为不放回抽样。但由于这些元件的总数很大，且抽查的数量相对于元件的总数来说又很小，因而可以当作有放回抽样来处理.故可以认为X~B(10,0.2).例2.8按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过150089具体数值如下表：

X01234pk0.10740.26840.3020.20130.0881X5678>9pk0.02640.00550.00080.00010具体数值如下表：

X01234pk0.10740.2684090x(-,0)[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)F(x)00.10740.37580.67780.8791x[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,+)F(x)0.96720.99360.99910.9991其概率分布图形如下：P{X=k}k012345678910x(-,0)[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)F(x91其分布函数图形为10.37580.1074012345678910xF(x)其分布函数图形为10.37580.107401292显然有

P(2.5<X3.8)=F(3.8)-F(2.5)=0.8791-0.6778=0.2013

P(X<7.2)=F(7.2)=0.9999

P(X>3.4)=1-P(X3.4)=1-F(3.4)=1-0.8791=0.1209一般地，当n不大于10时，F(x)的值可由《二项分布函数值表》查出，若n较大时，通常采用Poisson分布函数或正态分布函数作近似计算。

例2.9设某种疾病在鸭子中传染的概率为0.25。（1）求在正常情况下（未注射防疫血清时）50只鸭子和39只鸭子中，受到感染的最大可能只数；（2）设对17只鸭子注射甲种血清后，其中仍有一只受到感染；对23只鸭子注射乙种血清后，其中仍有两只受到感染。试问这两种血清是否有效？显然有

P(2.5<X3.8)=F(3.8)93概率与数理统计课件94概率与数理统计课件95概率与数理统计课件96概率与数理统计课件97练习：1、某柜台上有4个售货员，预备两个台秤共同使用，若每个售货员在一小时内均有15分钟使用台秤，试求一天10个小时内，平均有多少时间台秤不够用。2、设X服从参数为2，p的二项分布，且P{X1}=5/9,成功率为p的4重贝努利试验中至少有一次成功的概率是多少？3、若每次射击中靶的概率为0.7，试求射击10炮，击中3炮的概率，至少击中3炮的概率，最可能命中几炮？（答案见后）练习：1、某柜台上有4个售货员，预备两个台秤共同使用，若每个98概率与数理统计课件994、泊松(Poisson

)分布

4、泊松(Poisson)分布100应用模型：

通常用来描述大量独立试验中稀有事件A出现次数。（4）某商店一天内销售的某种商品数；（3）某路段，某时段内交通事故出现的次数；（5）一本书中某一页上印刷错误个数。（2）一大批产品中的废品数；注1：泊松分布中的参数表示平均值，如X表示单位时间内某电话交换台接到的呼叫次数，即表示在这单位时间内接到呼叫次数的平均数。例如：（1）电话交换台在一段时间内受到的呼唤次数应用模型：

通常用来描述大量独立试验中稀有事件A出现101概率与数理统计课件102

kn=10n=20n=40n=100P=0.1p=0.05p=0.025p