数理统计习题 数理统计练习题

一、填空题1.设X,X，…X为母体X的一个子样，如果g(X,X,…X),12n12n则称g(X,X，…X)为统计量。12n.设母体X~N(N,o2),o已知，则在求均值日的区间估计时，使用的随机变量为.设母体X服从方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5,则X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为。.假设检验的统计思想是。小概率事件在一次试验中不会发生5．某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为。.某地区的年降雨量X~N(NQ2)，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为：(单位：mm)587672701640650，则o2的矩估计值为。.设两个相互独立的子样X1,X2，…,X21与彳，…,y5分别取自正态母体N(1,22)与N(2,1),S2,S2分别是两个子样的方差，令X2=aS2,X2=(。+b)S2,已知121122X2~X2(20),X2~X2(4)，则a=,b=。12.假设随机变量X~t(n)，则—服从分布。X2.假设随机变量X~t(10),已知P(X2<X)=0.05，则入=。TOC\o"1-5"\h\z.设子样X,X，…,X来自标准正态分布母体N(0,1),X为子样均值，而1216P(又>>)=0.01,则入=.假设子样X,X，…，X来自正态母体N(N,o2),令y=3£X一42X则y的1216iii=1i=11分布.设子样X1X2，…,X10来自标准正态分布母体N(0,1),X与S*2分别是子样均值和子样方差，令Y=10^2，若已知尸(丫>X)=0.01，则入=―。S*2.如果01,02都是母体未知参数0的估计量，称,比92有效，则满足。.假设子样X,X，…,X来自正态母体N(从,o2),。2=CX1(X—X)2是。2的12ni+1ii=1一个无偏估计量，则C=。.假设子样X1,X2，…,X9来自正态母体N(日,0.81)，测得子样均值x=5，则口的置信度是0.95的置信区间为。.假设子样X1,X2，…,X100来自正态母体N(从,02),旦与o2未知，测得子样均值元=5，子样方差s2=1，则口的置信度是0.95的置信区间为。TOC\o"1-5"\h\z.假设子样X,X，…,X来自正态母体N(从,02),日与02未知，则原假设12nH0:日=15的t检验选用的统计量为。.正交设计中L(s)中S的选择原则是。n.一元线性回归分析中J=a+B龙+s，对随机误差£的要求是。.一元线性回归分析中J=a+B元+8中，对H0：p=0的检验所用的统计量为二、选择题.下列结论不正确的是()设随机变量X,Y都服从标准正态分布，且相互独立，则X2+Y2~x2(2)X,Y独立，X~x2(10),X+Y~x2(15)nY~x2(5)X,X,…X来自母体X~N(从,o2)的子样，X是子样均值，12n

tV(X-X)2/、则X-i~%2(〃)(52i=l④x,x,…x与y,y,…y均来自母体x〜n（n，o2）的子样，并且相互独立,12n12nX（x-X）2分别为子样均值，则（，_一-F（n-l,n-l）L（y-y）2ii=lTOC\o"1-5"\h\z.设4,%是参数°的两个估计量，正面正确的是（）。（0）＞。（02）,则称、为比气有效的估计量。（©）〈。（气），则称%为比以有效的估计量e,e是参数。的两个无偏估计量，d（o）＞d（o）,则称。为比o有效的估计量1212120,0是参数。的两个无偏估计量，D（e）＜D（0）,则称，为比0有效的估计量121212.设。是参数°的估计量，且。（e）＞°,则有（）①62①62不是92的无偏估计②02是02的无偏估计4.4.下面不正确的是①〃--u-aa③1(n)--t(n)1-aa③82不一定是92的无偏估计④62不是92的估计量）②X2（〃）=—―2（几）

1-aa④F（n,m）ii-aF（m,n）a5.母体均值的区间估计中，正确的是（）置信度1-a一定时，子样容量增加，则置信区间长度变长；置信度1-a一定时，子样容量增加，则置信区间长度变短；③置信度1—a增大，则置信区间长度变短；④置信度1-a减少，则置信区间长度变短。6对于给定的正数a，°＜aJ设％是标准正态分布的a上侧分位数，则有（

P(P(U<u)=1—aa2P(U>u)=1—aa2②P(IUl<u)=aa2P(IUl>u)=aa2.某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布N（日,a2）,日,a2为已知，现从某日生产0000的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得子样均值和子样方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设（）①X①X•日=日H-日。从0010②H0:…0H1：…0③H：③H：a2=a2H：a2wa20010④H：a2=a2H：a2>a20010Y,Y，…Y来自母体Y,12m.设子样XY,Y，…Y来自母体Y,12m£(X-N)2/ni1Y~N(N2,a2)，则茅的分布为£(Y-N)2/mi2i=1①F(n,m)②F(n-1,m-1)③F(m,n)④F(m-1,n-1)9.设x,x，…,x12n为来自X~N9.设x,x，…,x12n为来自X~N（N，a2）的子样观察值，N，a2未知，天=1巳ni=1则a2的极大似然估计值为（）①1£(x-X)2②1£(x-X)③£(x-X)2ninin-1i=1i=1i=1④吉Z(x「x)i=1.子样X,X，…X来自母体X~N（0,1）,X=1Zx12nnii=1则下列结论正确的是（）,S2=-L-Z(X-X)2

n-1ii=1①nX~N(0,1)②X~N(0,1)③£X2~%2(n)

ii=1X八——〜t(n—1)S.假设随机变量X~N（1,22）,X「X2,…,X100是来自X的子样，X为子样均值。已知Y=aX+b~N（0,1）,则下列成立的是（①a=-5,b=5②a=5,b=5③a=15,b=-I5④a=-15,b=.设子样X,X，…,X来自正态母体N（四,o2）,X与S2分别是子样均值和子样方差，12n则下面结论不成立的是（）①X与S2相互独立②X与（n-1）S2相互独立③X与±③X与±E（X-X）2相互独立④X与±E（X-田2相互独立o2i

i=1o2i

i=1.子样X1,X2,X3X4,X5取自正态母体N（从,02）,日已知，02未知。则下列随机变④—④—2(X-X)23i

i=1TOC\o"1-5"\h\z①X②X+X-2N③—Z(X-X)21202ii=1.设子样X,X，…,X来自正态母体N（四,o2）,X与S2分别是子样均值和子样方差，12n则下面结论成立的是（）①2X-X~N（从,o2）②n（X—）2~F（1,n-1）21S2③—③—~%2(n-1)02④X^n-1~t(n-1)STOC\o"1-5"\h\z15.设子样X,X，…,X来自母体X,则下列估计量中不是母体均值N的无偏估计量的12n是（）。①X②X+X+…+X12n③0.1X(6①X②X+X+…+X12n1n123.假设子样X,X，…,X来自正态母体N（日,02）。母体数学期望R已知，则下列估12n计量中是母体方差02的无偏估计是（）①12(X-X)2②-^―Z(X-X)2③-^―Z(X-从)2④1—Z(X-从)2nin-1in+1in-1ii=1i=1i=1i=1.假设母体X的数学期望日的置信度是0.95,置信区间上下限分别为子样函数TOC\o"1-5"\h\zb(X，…X)与a(X，…，X)，则该区间的意义是()1n1n①P(a<^<b)=0.95②P(a<X<b)=0.95③P(a<X<b)=0.95④P(a<X—曰<b)=0.95.假设母体X服从区间［0f］上的均匀分布，子样X,X，…,X来自母体X。则未知12n参数e的极大似然估计量0为（）②①2X②max；X,…,X）③min（X，…,X）④不存在1n1n.在假设检验中，记H0为原假设，则犯第一类错误的概率是（）①H0成立而接受H0②H0成立而拒绝H0③H0不成立而接受H0④H0不成立而拒绝H0.假设子样X,X，…,X来自正态母体N（从,o2）,X为子样均值，记12nS2=1Z（X—X）2S2=-L-Z（X—X）2ni2n—1ii=1i=1S2=1£（X-|!）2S2=-L-£（X-日）2ni4n—1ii=1i=1则服从自由度为n—1的/分布的随机变量是（）X-N—tX—N-tXX—^.—X—^.—①一^7n—1②一^”n—1③——^-vn④——^-vnSSSS1234三、计算题.设母体X〜N（12,4），抽取容量为5的子样，求子样均值大于13的概率；子样的最小值小于10的概率；子样最大值大于15的概率。.假设母体X〜N（10,22）,X,X，…,X是来自X的一个子样，X是子样均值，求128P(X>11)。TOC\o"1-5"\h\z.母体X~N(10,22),X,X，…,X是来自X的子样，X是子样均值，若128P(X>c)=0.05，试确定c的值。.设X,X，…,X来自正态母体N(10,22),X是子样均值，12n满足P(9.02<X<10.98)=0.95，试确定子样容量n的大小。.假设母体X服从正态母体N(20,32)，子样X1,X2,…,X25来自母体X，计算P]£X.—£X<182；II=1I=17J.假设新生儿体重X~N(从Q2)，现测得10名新生儿的体重，得数据如下：3100348025203700252032002800380030203260(1)求参数N和O2的矩估计；(2)求参数O2的一个无偏估计。[e-(x-0)x>0.设随机变量X的概率密度函数为f(x)=<八，设X,X，…,X来自[0x<012n母体X的一个子样，求0的矩估计和极大似然估计。.在测量反应时间中，一位心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以0.95的置信度使平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，那么测量的子样容量n最小应取多少.设随机变量X~N(日,1),x1,x2,…,x10是来自X的10个观察值，要在a=0.01的水平下检验H:日=0,H：日。0取拒绝域J={Xl>c}01a(1)c=?(2)若已知x=1,是否可以据此推断日=0成立？(a=0.05)(3)如果以J=1X|>L15}检验H：日=0的拒绝域，试求该检验的检验水平a。a0.假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X(单位mm)服从正态分布N(5.2,0.16),现在随机抽出15根纤维，测得它们的平均长度五二5.4，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为5.2mm.某地九月份气温X~N（从Q2），观察九天，得x=300C,s*=0.90。，求（1）此地九月份平均气温的置信区间；（置信度95%）（2）能否据此子样认为该地区九月份平均气温为31.50C（检验水平a=0.05）（3）从（1）与（2）可以得到什么结论？t（8）=2.3060.02512．正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为54686577706469726271,假设人的脉搏次数X~N（从Q2），试就检验水平a=0.05下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？13.设随机变量X~N（R,a2）,R,a2均未知，X与X相互独立。现有5个X的观察iiiii121值，子样均值X1=19,子样方差为s2=7.505,有4个X2的观察值，子样均值x2=18,子样方差为s2=2.593,2（1）检验X与X的方差是否相等？a=0.1,F（4,3）=9.12,F（3,4）=6.59120.050.05（1）在（1）的基础上检验X1与X2的均值是否相等。（a=0.1）.假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X服从正态分布N（10600,822），现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，子样方差s2=6992。当显著水平为a=0.05时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？.某种导线的电阻X~N（^,0.0052），现从新生产的一批导线中抽取9根，得s=0.009Q。（1）对于a=0.05，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？（2）求母体方差a2的95%的置信区间16、某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量X~N（从,a2），某日开工后，测得9包糖的重量如下：99.398.7100.5101.298.399.7102.1100.599.5（单位：千克）试求母体均值N的置信区间，给定置信水平为0.95。17、设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，X表示失眠患者服用甲药后睡眠时间的延长时数，Y表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，10人服用甲药，10人服用乙药，经计算得x=2.33,s*2=1.9;y=1.75,s*2=2.9，设12X~N（%o2）,Y~N⑴2,o2）；求『/2的置信度为95%的置信区间。18、研究由机器A和B生产的钢管的内径，随机地抽取机器A生产的管子18根，测得子样方差s*2=0.34，抽取机器B生产的管子13根，测得子样方差s22=0.29，设两子样独立，且由机器A和B生产的钢管的内径服从正态分布N（从Q2）,N（从，o2），试求母1122O2一，、一、体方差比一的置信度为90%的置信区间。O2219、设某种材料的强度X~N（从Q2），口,C2未知，现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm2为强度单位，由20件子样得子样方差s*2=0.0912，求o2和o的置信度为90%的置信区间。20、设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率P的置信度为95%的置信区间。21、一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，母体方差约为1800000，如果置信度为95%，并要使估计值处在母体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的子样？22、设电视机的首次故障时间X服从指数分布，入=EX，试导出入的极大似然估计量和矩估计。23、为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）相应的子样均值和方差为：x=22.2,x=28.5;s*2=16.63,s*2=18.92。假设每位职1212员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求母体平均值差的置信度为95%的区间估计。24、某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机地调查了1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18和0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。25、电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为子样，测得其平均寿命为1245小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？26、某机器制造出的肥皂厚度为5。相，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块为子样，测得其平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试分别以0.05和0.01的显著水平检验机器性能是否良好？（假设肥皂厚度服从正态分布）27、有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为8kg，第二种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为10kg。从两种方法生产的产品各抽取一个子样，子样容量分别为32和40，测得5=50kg,x2=44kg。问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差别a=0.05,z=1.960.02528、一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为26.1分钟，子样标准差为12分钟；另一组的8名工人用第二种工艺组装产品，平均所需的时间为17.6分钟，子样标准差为10.5分钟，已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短？a=0.05,t（16）=1.74590.0529、某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg，其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg。问这种化肥是否使小麦明显增产？a=0.0530、某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250kg。今从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250kg。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，该批食品能否出厂？a=0.0531、某种电子元件的寿命服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。a=0.05,t（15）=1.75310.0532、某电器经销公司在6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据：城市编号销售量户数（万户）154251892631919336827197477432025836520668916209要求：⑴计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数;（2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；⑶计算判定系数R2⑷对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验(。=0.05)，并对结果作简要分析。33、在每种温度下各做三次试验，测得其得率(%)如下：温度A14A3A4得率868690848588888383879288检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。34、测量9对做父子的身高，所得数据如下(单位：英父亲身高％606264666768707274儿子身高y63.665.26666.967.167.868.370.170(1)试建立了儿子身高关于父亲身高的回归直线方程⑵检验儿子身高关于父亲身高的回归直线方程是否显著成立？t(8)=2.3060.025(3)父亲身高为70，试对儿子身高进行置信度为95%的区间预测35、某商店采用四种不同的方式推销商品。为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差异随机抽取子样，得到如下数据：(a=0.05,F(3,16)=3.24)0.05方式1方式2方式3方式47795728086927784808268798891827084897582计算F统计量，并以。=0.05的显著水平作出统计决策。四、证明题TOC\o"1-5"\h\z1.设X,X,■,X(n>2)来自正态母体X，母体X的数学期望日及方差o2均存在，12n求证：从，从，口，口均是母体X的数学期望N的无偏估计。其中1234|Ll=X,|Ll=1(X+X)1221nL=1(X+2X+3X),L=X361234.假设随机变量X服从分布F(n,n)时，求证：P(X«1)=P&N仆=0.5TOC\o"1-5"\h\z.设X,X，…,X(n>2)来自正态母体X，母体X的方差o2存在，S2为子样方差，12n求证：S2为02的无偏估计。.假设母体X的数学期望日和方差o2均存在，X,X，…,X来自母体X，求证：X12n与W都是母体期望日的无偏估计，且DX&DW。其中X二1Exnii=1W=EnaX,(Ena=1)iiii=1i=1.已知T~t(n)，证明T2~F(1,n).设母体X的k阶矩日=E(Xk)存在，X,X，…,X来自母体X，证明子样k阶矩ki12na=1Exk为母体的k阶矩N=E(XQ的无偏估计。knikii=1.设母体X的密度函数为f(x)=［；elxx>0试证X是入的无偏估计人0x«0n.设母体X~U(0,0)，证明9=2X,9=——max(X,X,…,X)均是O的无偏估12n+112n计(X,X，…,X来自母体X的子样)12n.假设随机变量X服从分布F(n,n)时，求证：P(X<1)=P&>1}=0.5附加:5-1从正态母体N(3.4，62)中抽取容量为n的子样，如果要求其子样均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问子样容量n至少应取多大?

,1t2附表：标准正态分布表中(z)=卜^^-2dt-8%：2冗z1.281.645z1.281.6451.96中(z)0.9000.9500.9750.9902.335—2设母体X服从正态分布N5—2设母体X服从正态分布N(四Q2)6>0),从该母体中抽取简单随机子样X1，X2,…，X2n(n'2)，其子样均值为^=2n£Xi=1求统计量Y=£(X+X-2X)2的数学期望E(Y)。in+ii=15—3设随机变量X~t(n)(n>1),Y=—,则X2Y~Y~%2(n).Y~%2(n—1).Y~Y~F(n,1).Y~F(1,n).5—4设随机变量X,X5—4设随机变量X,X,■12,Xn(n>1)独立同分布，且其方差为O2>0,令Y」£ni=1(A)O2Cov(X,Y)(A)O2Cov(X,Y)=——1n(B)Cov(X,Y)=O21(C)n+2D(X+Y)=o21n(D)5—5设X,X,,X(n>122)为来自母体N(0,1)的简单随机子样X为子样均值，S2为子样方差，则nX~nX~N(0,1)nS2~%2(n)(n(n-1)X~t(n-1)S(n-1)X2-~F(n-1,1)£nX2ii=i=25―6设母体x的概率密度为f(x)=J(°+1)x°0^:<1，其中e>-1是未知参数，XI0,其它X1,…，Xn是来自母体X的一个容量为n的简单随机子样。分别利用矩估计法和极大似然估计法求°的估计量。6x5—7设母体X的概率密度为f(x)=6X5—7设母体X的概率密度为f(x)=0,其它X,X,，X是取自母体X的简单随机子样。12(1)求°的矩估计量°；(2)求°的方差D(°)。5—8设某种元件的使用寿命X的概率密度为八J2e-2(x-°)