圆的知识点总结汇编

学习好资料圆的知识总结（一）的有关质［知识纳］1.圆的有关概：圆、圆、半径圆的内、圆的部、心圆、圆；弦、直、弦心、弧、圆、优、劣、等弧弓形、形的高圆的内三角形三角形外接圆三角的外心圆内接边形、边形的接圆；圆角、圆角、圆接四边的外。2.圆的对称性圆是轴称图形经过圆的每一直线是它的称轴，有无数对称轴圆是以心为对中心的心对称形；圆具有转不变。3.圆的确定不在同条直线的三点定一个。4.垂直于弦的径垂径定垂直弦的直平分这弦，且平分所对的条弧；推论平分弦不是直）的直垂直于，并平分弦对的两弧；弦的垂平分线过圆心并且平弦所的两条；平分弦对的一弧的直垂直平弦，且平分所对的一条弧垂径定及推论可理解为个圆和条直线备下面个条中的任两个，可推出外三个过圆心②直于弦③平分（是直径；④平分所对的弧；⑤分弦所的劣。更多精品文档学习好资料推论圆的两条平行弦夹的弧等。5.圆心角、弧弦、弦距之间关系定理在同圆或圆中，等的圆角所的弧相，所对弦相等所对弦的弦心距等。推论在同圆或圆中，果两个心角两条弧两条弦两条弦弦心中有一组量等，那它们所应的其各组都分别等。此定理推论可理解成在同圆等圆，满足面四个件中的何一个能推出另三个：两个圆角相等②两圆心角对的弧等；③个圆心角或条弧所的弦相；④两弦的心距相。圆心角度数等它所对弧的度。6.圆周角定理一条弧所的圆周等于它对的心角的半；推论1同弧或等所对的周角相等；同圆或圆中，等的圆角所的弧也相等；推论2半圆（或径）所的圆周角是角；°的圆周角所对的弦是直径推论3如果三角一边上中线等于这的一半那么这三角形直角角形。圆周角度数等它所对弧的度的一。7.圆内接四形的性圆内接边形的角互补并且任一个角都等它的内角。※8.轨迹轨迹符合某一件的所的点组的图，叫做合这个件的点轨迹（1）面内，一定点距离等定长的的轨，是以个定点圆心，长为径的圆；（2）面内，已知线两个端的距离等的的轨迹是这条段的垂平分；（3）面内，已知角边的距相等的的轨，是这角的平线。［例题析］例已知：如图1，在O中，半径OM弦点N。图若＝，，求的长；若半径OM＝R，∠120°求长。解：①AB，半径OM⊥AB，∴BN∵＝1由勾股理得OA＝2∴＝OM＝ON1②∵半OMAB且∠＝120∴∠AOM＝60°更多精品文档学习好资料∵OAcosAON＝OM°＝∴说明：图1一般地若∠AOB°，⊥于NAO＝，＝h，则AB＝2Rsinn＝n例2.已知：如图，在△ABC，∠，∠＝25°，以点C圆心、半径作C，交于点，求

的度数图2分析：为弧与径定理关；与心角圆周角关；与、弦心有关；与弧间还存着和、、倍、的关系因此道题有多解法仅选几供参考解法一（用垂定理求如图－，过点CCE于点交

于点图－1∴又∵∠°，∠＝25°，∴∠°∴的度数为°，∴的度数为。解法二（用圆角求）图22，延长AC交⊙点，连结ED更多精品文档学习好资料图－2∵AE是直径，∴ADE＝90°∵∠90，∠25，∴∠∠B＝25°∴的度数为°。解法三（用圆角求）图23，连结CD图－3∵∠90，∠25，∴∠65∵CA＝CD，∴∠ADC∠A＝65∴∠50，∴

的度数50。例已知：如图3，△ABC接于⊙且＝⊙O半径等6cm，O到的距离于求的长析：因不知道A是角还是角，因圆心可能在角形内，还可在三角外部，以需分种情况行讨论略解：1）假若∠是锐角△ABC是锐角三角形。如图，由可知点A优弧BO

的中点因为BCAB根据垂定理推可知DO延长线必过点A，结∵BO＝6OD2∴在Rt△ADB中，ADDOAO628∴图3

图3－（2）∠A钝角，则△ABC钝角三形，如3－添加辅助线求出在ADB中，AD＝AO6－＝更多精品文档

，学习好资料∴综上所AB＝小结：是与三形外接有关的题，定要首判断三形的形，确定心与角形的置关系防止丢或多解例4.已知：如图4AB⊙O直径，CDAB，CD长线上点，⊙O于。求证：AE·EFEC图分析：证的等式AE·EFEC中，有条线段EFED△，另两线段AE没有在一三角中，欲其置三角形，只要加辅助设法证明△FED△可。证明：结AC∵四边接于圆∴∠∠∠∠DCA∵直径AB⊥CD∴∴∠∠∴∠＝∠CEA∴△△∴，∴EFED小结：边形内于圆这条件，常不在已知件中明给出的而是隐在图之中，分析已条件时千万不忽略一重要件。例已知：如5，AM是⊙的直径，过O一点BNAM垂足为N，其延长线交⊙于点，弦交点E。图如果CDAB，求证：EN＝NM如果弦CDAB点F且＝求证＝EF·ED如果弦CD点C旋，并且延长线于点F且AB那么（2）的论是否成立？成立，证明；不成，请说理由。更多精品文档学习好资料证明：连结（如图51图－1∵AM是直径，∴ABM＝90°∵CD⊥AB，∴∥CD∴∠∠又⊥∴CN＝BN∴Rt△CEN≌△∴NM（2连结，AC如图5－2）图－∵点是直平分线AM上一点∴BEEC∵CD＝AB，∴∴∠∠又＝AEAE∴△△∴∠＝∠ACD∠∵∠公共角∴△BED∽△FEB∴BE

2

＝·，∴

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＝·（3结论成立。图5－3图5－证明：（2）证△ABE≌△ACE∴BE＝CE，且∠ABE∠又∵＝CD∴∴∠∠∴∥∴∠∠180°而∠∠180°∴∠∠而∠公共角∴△△更多精品文档学习好资料∴BE

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＝·，∴

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＝·（二）线与圆关系1.直线与圆位置关直线和的位置相离相切相交公共点个数012公共点称无切点交点直线名无切线割线圆心到线的距离半径关系2.切线的判经过半的外端且垂直这条半的直是圆的线。3.切线的性圆的切垂直于过切点半径；推论经过圆心垂直于线的直必经过点；推论经过切点垂直于线的直必经过心。此定理推论可解为以三个条中任其中两就可推第三个：①垂直于切线；经过切；③经圆心。4.切线长定从圆外点引圆两条切，它们切线相等，心和这点的连平分两切线的夹角5.弦切角定弦切角于它所的弧对圆周角推论如果两个弦角所夹弧相等那么这两个切角也等；弦切角度数等它所夹弧的度的一。6.和圆有关比例线（1相交弦定理圆内两条相弦，被点分成两条段长的相等；（2推论如果弦与直径直相交那么弦一半是分直径成的两线段的例中项切割线理从圆外一点圆的切和割线切线长这点到割线圆交点两条线长的比中项；推论从圆外一点圆的两割线，一点到每条线与圆交点的条线段长的积等。7.三角形的切圆有关概：角形的切圆三角形内心圆的外三角形、边形的切圆、圆的外多边形作图：一个圆使它和知三角的各都相切［例题析］例6.已知：如图，⊙O的直径，是AB长线上点，⊙O于，DEE。更多精品文档学习好资料图求证：CDB∠分析：⊙O直径，联想直径的个性质图－1

图62

图－3直径上圆周角直角。连结则得RtABD垂径定如图6－若延长DE⊙O于则可得DE＝EF，；（3）过直外端的线与直垂直如图6，过B作⊙的切线BM，则⊥。由CD是⊙O的切线联想到线的三性质：过切点半径垂于切线如图61，若结OD则CD弦切角于它所的弧对圆周角若连则∠∠A；切割线理。如6，＝CB·CA由ABE，联想到下一些质：Rt△DEB两锐角余，即EDB＋∠EBD＝°；垂径定。如图－2，要延长DE交于F则可得相等的段，相的弧（3）造与射定理相的基本形。即结AD则可得△ADB直角三角形是斜边的高，可得到对相等锐角三个相的三角，还可用射影理、股定理、面公式等证明：结AD如图6∵直径，∴ADB°。∵DE⊥AB，∴∠EDB∠A∵CD是⊙O的线，∴CDB∠A∴∠此例题有许多法，比连结如图6－1利用切的定义又比如长DE⊙O于，连结BF如图6－，利用径定理还可过点B作的切线交CD点M如图6－，利切线长理，等，这诸证法读者不试证之小结：例题证∠CDB∠，即证明BD∠平分线由此证可以联到AD也是∠GDE的平分线。另外，过对此题的分和证明知，6－中隐含很多图的性质如相等锐角、相的线段相等的及相似角形等，为可将图6－4分解成三基本图。如图65，以利于进一步理解线段间的比关系。更多精品文档学习好资料图－4图－5例已知：如图点是半圆O的直径延长线上的点，半圆于CCD于点若PA：PC1：，＝，求PCAPC长。图证明：结CB∵PC切半圆于点，∴PCA∠B∵∠＝∠，∴△PAC△∴AC：BC＝：∴∵AB是半圆的直径，∠ACB90又∵⊥AB∴∴AB＝AD＋＝∵更多精品文档学习好资料∴例8.已知：如图8在Rt△ABC，∠＝，A平分线交点，为AB上的一，DE，以为圆心，DB长为半径⊙。图求证：1）⊙D的切线；（2）AB＋EB＝AC分析：1）欲证⊙D相，只要圆心AC距离等于的半径BD。因此要作ACF（2要证＋ABEB明的关是证BEFC这又转化证△EBD△CFD。证明：如图，过DF⊥AC，垂足∵AD是∠平分线，DB⊥AB∴＝DF∴点到距离等于圆D的半径∴AC是⊙D的线（2∵AB，⊙D半径等于，∴AB是⊙D的线，∴AF∵在Rt△FCD中，EDCDFD∴△△∴＝∴AB＋BE＝＋AC小结：关切线判定，要有两类型若要判的直线已知圆公共点可采用“连径证垂”的方；若要定的线与已圆的公点没有出，可用“圆心作垂线证垂线等于半”的方。此题属于一类例9.已知：如图9AB⊙O的弦P为BA长线上点，PE⊙O切于点EC为

中点，CE交于点。图求证：分析：已知可PE

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＝·PB因此要

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＝PAPB只要证PE＝PF即证∠PFE＝∠更多精品文档学习好资料证明一如图，作直径CD，交点G连结∴∠90∵点为的中点∴CD⊥AB∴∠∠D∵PE为⊙O切，E切点∴∠∠D，∠PEF＝∵∠∠∴∠＝∠PEF∴PF∵PE

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＝·，∴

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＝·证明二如图9－1连结、AE图－1∵点是的中点∴，∴∠CAB＝∠∵PE切⊙O于，∴∠＝C∵∠∠∠，∠∠∠∴∠∠∴＝∵PE

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＝·，∴

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＝·例10.（1）如图10已知线AB过圆心交⊙O于、B，直线AF⊙O于F（与重），直⊙O于C、，交长线于E且与垂直，足为G连结AD图求证：∠BAD∠②ADAE

图1（2）问题（）中当直线上平行动，与O切时，其它件不变①请你图10中画出变化的图形并对图10记字母；②问题1）中的两个结论是成立？果成立请给证明；果不成，请说明理。证明：①连结∵AB是⊙O的径，∴ADB90∴∠∠90更多精品文档学习好资料又∵是⊙O内接四边形∴∠∠B，∠BAD＝②连结CF∵∠∠∠∠FAB∴∠∠又∵∠∠F∴△△AFC∴，∴ADAF（2①见图101②两个论都成，证明下：①连结BC，∵AB是直径，∴ACB＝90°∴∠∠90∵GC切⊙O于C∴∠∠∴∠∠即∠＝∠CAG②连结CF∵∠∠∠∠GAC∴∠∠∠∠ACG∠∠E＝∠ACG－∠∴∠∠E，△ACF∽，∴∴AC

＝AE·（即ADAE·）说明：题通过化图形位置，查了生动手图的能，并通探究式提问加强了学生证题的考，这是前热的考题希望引大家的注。例如图AB⊙直径，O中点，BC垂足为图由这些件，你推出哪正确结？（求，不标注其字母，结论的程中所连助线不出现在论中，写推过程，出4个结论即可）若∠ABC直角，他条件变，除述结外，你能推出些新的确结论并画出形。分析：1）若连结，可证DE是⊙的切线若连结DB，由直AB点DAC中点，可BC∠A＝C。而且BC于点，又由双垂形，可，（2）结DOOB方法同。答：下结论可选择，图111

等。更多精品文档学习好资料图1（1）DE⊙O的切线②＝③∠∠C④

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＝BE·⑤CD

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＝CE·⑥∠C∠90⑦（2）BE②＝BE③CE④DE⑤CB⊙O切线⑥B⑦∠＝∠45⑧∠C＝∠⑨CB＝CD·⑩(11)(12)说明：题是结开放的索性问，答不唯一寻找结的关键抓住命的条及其特（尤是利用殊几何形的判和性，几何中如：相等系、殊图形两图形关系等（三）和圆的置关系［知识纳］1.基本概念两圆外、外切相交、切、内的定。两圆的切线、公切线内公切、公线长的义。两圆的心线、心距、共弦。2.圆和圆的置关系两圆的置圆心距与两圆的外公切内公切线半径r关系线条数切线条数条数外离224外切213相交

202内切101内含000相交两的性质相交两的连心垂直分两圆公共弦相切两的性质如果两相切，么切一定在心线上［例题析］例已知两圆切时圆心距10cm两圆内切时圆心为4cm，求两半径的。解：设圆的半分别为和rcm依题意得更多精品文档学习好资料答：大的半径，小圆的径为3cm。例已知：如两圆相于、B，过点A直线交圆于、D，过的直线交两圆E、。图求证：CE∥FD。分析：证CEFD，通过角关系证行，只要证E∠BFD或∠＋∠＝，若证E＝∠BFD，需将∠BFD转化成与⊙O有关的周角，圆内接边形的1角，只连结AB可；若证∠∠D180，也需结AB，得∠∠D∠EBA∠180°，则也得证。证明一（用同角证）结AB∵四边接于⊙∴∠∠1又∵∠∠∴∠∠∴CE∥FD证明二（用同内角证连结∵四边接于⊙1∴∠＋∠＝，又∵B∠D∴∠＋∠＝，∴ECFD小结：圆相交，常添辅助线作两的公共。（四）多边形圆［知识纳］1.基本概念正多边、正多形的中、正多形的径、正边形的心距、多边形中心以及平镶嵌等2.正多边形判定与质（1）圆分成等份：依次连各分点得的多形是这圆的接正n边形；经过各点作圆切线，相邻切的交为顶点多边形这个圆外切正n边形（2）何正多形都有个外接和一个切圆这两个是同心。3.正多边形有关计正边形的半径边心距正n边形分成2n个全等的直三角。如图16示，设形的中角为更多精品文档

，半径边长为，边心距r周长为n学习好资料P面积为S，则由有关形的性可以推：nn图（1

（2）

；（3；（4（5；（64.与圆有关计算

；

；（1圆的周长

；（2）弧长

；（3圆的面积

；（4）扇形面积

；（5弓形面积（如图16）5.与圆有关作图过不在一条直上的三作圆；作三角的内切；等分圆（三、、十二四、八五等），作三角形正四边、正六形。6.圆柱和圆锥侧面展图（1圆柱的侧面：（2）锥的侧积：

（r底面半径，：圆柱）（L＝2πR，圆锥母线长r是底面半）。（侧面展开图形的圆角的度数，R母线长。更多精品文档学习好资料［例题析］例14.已知：图17，两个同圆中，圆的弦AB与圆相切点CAB长为12cm求两个所围成环形面。图