研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二1．化以下矩阵为Smith标准型：12（1）;122200020020（2）;0(1)2002000322321223（3）423532234;24212301436022(4)0620.101003312200解：（1）对矩阵作初等变换121c1022c31212c1100c20c3c100(1)则该矩阵为Smith标准型为

212r3022r100(1)100c3c200，r1(1)00(1)1；(1)（2）矩阵的各阶行列式因子为D4()4(1)4,D3()2(1)2,D2()(1),D1()1,从而不变因子为d1()1,d2()D2()(1),d3()D3()(1),d4()D4()2(1)2D1()D2()D3()故该矩阵的Smith标准型为100(1)0000（3）对矩阵作初等变换322321224235322324214726r22r121r(2)r312224726c(2)c3211c2(2)c30321c1(1)c2003212r(5)r201r1(1)0故该矩阵的Smith标准型为

0000(1)；002(1)23c1c3322214c3c242332222322450102132245010013224501001001010r1r301c1c30100(

22221001)2(1)11;2(1)(1)(4)对矩阵作初等变换23014360220620101003312200

c12c5c23c3

0001000220020101003312200c13c2c32c2r2r1c42c3c5c4

0001000100022r22r100000020c3c100201010010000010000100000010100000000202000c1c40000c2c5000010000000100100000001在最后的形式中，可求得行列式因子D5()3(1)2,D4()(1),D3()D2()D1()1,于是不变因子为d1()d2()d3()1,d4()D4()(1),d5()D5()2(1)D3()D4()故该矩阵的Smith标准形为100000100000100.000(1)000002(1)2.求以下矩阵的不变因子：210（1）021；00210（2）0100；00100010；（3）010543200120120（4）20.102000解：（1）该矩阵的右上角的2阶子式为1，故D1()D2()1,而D3()(2)3，因此该矩阵的不变因子为d1()d2()1,d3()(2)2;（2）当0时，由于D4()()4,D3()()2，D2()D1()1，故不变因子为d1()d2()1，d3()()2,d4()()2当0时，由于D4()[()22]，且该矩阵中右上角的3阶子式为2(),且(2(),D4())1，则D3()1，故D2()D1()1，因此该矩阵的不变因子为d1()d2()d3()1,d4()[()22];（3）该矩阵的右上角的3阶子式为1，故D1()D2()D3()1,而D4()4233245，因此该矩阵的不变因子为d1()d2()d3()1,d4()4233245;（4）该矩阵的行列式因子为D1()D2()D3()1,D4()(2)4,因此该矩阵的不变因子为d1()d2()d3()1,d4()(2)4.3．求以下矩阵的初等因子：（1）3231；3232322232221221.（2）32212222解：(1)该矩阵的行列式因子为D1()1,D2()(1)(1)2，故初等因子为1,(1)2；(2)该矩阵的行列式因子为D1()1,D2()(1)(1)2，故不变因子为d1()1,d2()(1)(1),因此，初等因子为1,1,1.4．求以下矩阵的Jordan标准形：131616452373（1）576；（2）221；（3）252；687111410311103312340123（4）333；（5）186；（6）01.22221410020001解：（1）设该矩阵为A，则100EA010，00(1)2(3)故A的初等因子为(1)2(3)，则A的Jordan标准形为300011；001（2）设该矩阵为A，则100EA010，00(1)3故A的初等因子为(1)3，从而A的Jordan标准形为110011；001（3）设该矩阵为A，则100EA010,00(1)(21)故A的初等因子为1,i,i,从而A的Jordan标准形为1000i0;00i（4）设该矩阵为A，则100EA00,002故A的初等因子为,2，从而A的Jordan标准形为000001;000（5）设该矩阵为A，则100EA010,00(1)2故A的初等因子为,(1)2，从而A的Jordan标准形为000011;001（6）设该矩阵为A，则12340123EA01，020001该矩阵的各阶行列式因子为D1()D2()D3()1,D4()(1)4，则不变因子为d1()d2()d3()1,d4()(1)4，故初等因子为(1)4，则A的Jordan标准形为11000110001.100015．设矩阵142A034，043求A5.解：矩阵A的特色多项式为fA()IA(1)(5)2，故A的特色值为11,235.属于特色值11的特色向量为1(1,0,0)T,属于235的特色向量为2(2,1,2)T,3(1,2,1)T.设121100P[1,2,3]012,050,021005则APP1.,故14543541A5P5P10354454.04543546.设矩阵211A212，112求A的Jordan标准形J，并求相似变换矩阵P，使得P1APJ.解:(1)求A的Jordan标准形J.211100IA212010,11200(1)2故其初等因子为1,(1)2，故A的Jordan标准形100J011.001(2)求相似变换矩阵P.考虑方程组111x1(IA)X0,即222x20,111x3解之,得10X10,X21.11其通解为k1k1X1k2X2=k2,k1k2其中k1,k2为任意常数.考虑方程组111x1k1222x2k2,111x3k1k2111k1111k1222k20002k1k2,111k1k20002k1k2故当2k1k20时,方程组有解.取k11,k22,解此方程组,得0X30.1则相似变换矩阵100P[X1,X2,X3]010.1117.设矩阵102A011，010试计算2A83A5A4A24I.解:矩阵A的特色多项式为fA()IA321,由于283其中f()2

5424(321)f()(24203710),54352914.且A32AIO,故348262A83A5A4A24I=24A237A10I09561.061348.证明：任意可逆矩阵A的逆矩阵A1可以表示为A的多项式.证明:设矩阵A的特色多项式为f()IAnan1an2an1a,A12n则Ana1An1a2An2an1AanIO,即A(An1a1An2a2An3an1I)anI,由于A可逆,故an(1)nA0,则A11(An1a1An2a2An3an1I)an9.设矩阵21A，13试计算(A45A36A26A8I)1.解:矩阵A的特色多项式为fA()IA257,则A22A7IO,而4536268(257)(21)1,故11121(A45A36A26A8I)1(AI)111231.110.已知3阶矩阵A的三个特色值为1，－1，2，试将A2n表示为A的二次式.解:矩阵A的特色多项式为fA()IA(1)(1)(2),则设2nf()g()a2bc,由f(1)0,f(1)0,f(2)0,得abc1,abc1,4a2bc22n.解之，得a1(22n1),b0,c1(22n4),33因此A2naA2bAcI1(22n1)A21(22n4)I.3311.求以下矩阵的最小多项式：311422（1）020；（2）575；111674（3）n阶单位阵In；（4）n阶方阵A，其元素均为1；a0a1a2a3a1a0a3a2（5）Ba3a0.a2a1a3a2a1a0311解:(1)设A020,则111311100IA020020,11100(2)2故该矩阵的最小多项式为(2)2.422(2)设A575,则674I