时间序列模型案例

2.6案例分析1：中国人口时间序列模型(file:b2c1)图2.11中国人口序列(图2.11中国人口序列(1949-2000)图2.12中国人口一阶差分序列(1950-2000)从人口序列图可以看出我国人口总水平除在1960和1961两年出现回落外，其余年份基本上保持线性增长趋势。47年间平均每年增加人口1451.5万人，年平均增长率为17.5%。。由于总人口数逐年增加，实际上的年人口增长率是逐渐下降的。把47年分为两个时期，即改革开放以前时期(1949—1978)和改革开放以后时期(1978—1996),则前一个时期的年平均增长率为20%。，后一个时期的年平均增长率为13.4%。。从人口序列的变化特征看，这是一个非平稳序列。见人口差分序列图。建国初期由于进入和平环境，同时随着国民经济的迅速恢复，人口的年净增数从1950年的1029万人，猛增到1957年的1825万人。由于粮食短缺，三年经济困难时期是建国后我国惟一一次人口净负增长时期(1960,1961),人口净增值不但没有增加，反而减少。随着经济形势的好转，从1962年开始人口年增加值迅速恢复到1500万的水平，随后呈连年递增态势。1970年是我国历史上人口增加最多的一个年份，为2321万人。随着70年代初计划生育政策执行力度的加强，从1971年开始。年人口增加值逐年下降，至1980年基本回落到建国初期水平。1981至1991年人口增加值大幅回升，主要原因是受1962—1966年高出生率的影响(1963年为43.73%。)。这种回升的下一个周期将在2005年前后出现，但强势会有所减弱。从数据看，1992年以后，人口增加值再一次呈逐年下降趋势。由于现在的人口基数大于以往年份，所以尽管年增人口仍在1千万人以上，但人口增长率却是建国以来最低的(1996年为10.5%。)。从△%的变化特征看，1960,1961年数据可看作是两个异常值，其它年份数据则表现为平稳特征。但也不是白噪声序列，而是一个含有自相关和(或)移动平均成分的平稳序列。下面通过对人口序列yt和人口差分序列Dyt的相关图，偏向关图分析判别其平稳性以及识别模型形式。""AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb34567090JI0.9490.9490.896-0.04134567090JI0.9490.9490.896-0.0410.841-0.0380.787-0.0360.732-0.0330.677-0.0310.622-0.0340.567-0.0310.513-0.0250.460-0.03249.5340.00094.5720.0000.000171.360.000203.350.000231.320.000255.450.000275.960.0000.000307.290.000图2.13yt的相关图，偏相关图AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProbI110.6090.60920.0200.000IZJi1匚120.247-0.19523.3940.000I□i11130.1300.11524.3520.000I]i11140.074-0.04124.6700.000I11115-0.001-0.05124.6700.000I[11116-0.0E2-0.04324.8930.0001匚1117-0.139-0.12026.0920.0001匚1113-0.1530.00227.5650.001［匚111:19-0.1B5-0.13029.7730.000［匚11110-0.219-0.06532.9460.000图2.14Dyt的相关图，偏相关图(虚线到中心线的距离是2(1/31)=0.28)见图2.13和图2.14。人口序列yt是非平稳序列。人口差分序列Dyt是平稳序列。应该用Dy「建立模型。因为Dyt均值非零，结合图2.14拟建立带有漂移项的AR%)模型。估计结果如下;Dyt=0.1429+0.6171(Dy^-0.1429)+七t(8.7)(5.4)tR2=0.38,Q=5.2,Q(k-p-q)=Q005(1。十°)=16.9整理：^'0.051010Dyt=0.0547+0.6171D*-+七特征根是1/0.62=1.61。EViews操作方法：从EViews主菜单中点击Quick键，选择EstimateEquation功能。随即会弹出Equationspecification对话框。输入1阶自回归时间序列模型估计命令(C表示漂移项)如下：DYCAR(1)DependentVariable:DYMethod:LeastSquaresDate:06/07^03Time:11:45Sample(adjusted):19512000Includedobservations:50afteradjustingendpointsConvergenceachievedafter3iterationsVariableCoefficientStd.Errort-StaiisticProb.C0.1423620.016467B.6757360.0000AR(1)0.6171160.1139535.4155260.0000R-squared0.379267Meandependentvar0.143094AdjustedR-squared0.366336S.D.dependentvar0.056004S.E.afregression0.044501Akaikeinfacriterion-3.343820Sumsquaredresid0.096399Schwarzcriterior-3.267348Loglikelihood86.69571F-statistic29.32792Durbin-Watsonstat1767606Prob(F-statistic)0.000002InvertedARRoots.62

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb1□11J110.1180.1180.74241匚1!■12-0.182-0.1992.53300.111111113-0.0230.0282.56260.2781]11140.0440.0082.67330.445111115-0.024-0.0332.70640.60S1111160.0080.0292.71060.74411|L17-0.078-0.1013.0S140.799111118-0.0310.0013.14070.8721[1119-0.046-0.0763.27260.9161匚11匚110-0.172-0.1785.20610.816图2.15表2.5中模型(1)残差序列的相关图，偏相关图下面进行预测:obsYDY199612.230900.126B00199712.362600.123700im12.476100.113600199912.670600.102600ZOQO12.674300.095700Dy2ooi=0.0547+0.6171D%。。。+vt=0.0547+0.61710.0957二0.1138y200i=y2000+Dy2001=12.6743+0.1138=12.7881EViewS给出的预测值是12.78806，两种计算途径的结果相同。obsYYFYFSE200012.6743012.696550.0450742001127627012.788060.045117EViews操作是，把样本容量调整到1949-2001。打开估计式窗口，在方程设定(EquationSpecification)选择框输入命令,D(Y)CAR(1)，保持方法(Method)选择框的缺省状态(LS方法)，在样本(Sample)选择框中把样本范围调整至1949-2000。点击OK键，得到估计结果后，点击功能条中的预测(Forecast)键。得对话框及各种选择状态见下图。点击OK键,YF和YFse序列出现在工作文件中。打开YF序列窗口，得2001年预测值12.78806,见前图。已知2001年中国人口实际数是12.7627亿人。预测误差为n=12n=12.7881T2.7627=12.76270.002解法2:把中国人口序列yt看作是含有确定性趋势的时间序列。前提是中国人口序列yt必须是退势平稳序列。用yt对时间t回归，得yt=5.0152+0.1502t+%(110)(102)R2=0.995,(1949-2001)单位根检验式如下。dut=-0.0940Ut-1+0.6681dut-1(-2.5)(6.3)R2=0.45,(1951-2001)ut是一个平稳序列。所以yt是一个退势平稳序列。有理由建立一个含有固定趋势项的是时间序列模型。通过观察ut的相关图和偏相关图，判定ut是一个二阶自回归过程。建立含有固定趋势项的二阶自回归模型如下："AutocorrelationPartialCorrelation(1949,t=1)R2=0.995,yt=4.9729+0.1508t+1.5503u^-0.6491u^+七(34.9)(35.4)(13.7)(-5.9)(1951-2000)或写为yt=4.9729+0.1508t+%,(1949,t=1)(34.9)(35.4)其中ut=1.5503ut-1-0.6491ut-2+七，(1949,t=1)(1949,t=1)R2=0.995,根据上式预测，2001年中国人口预测数是12.9664亿人。已知2001年中国人口实际数是12.7627亿人。预测误差为12.7627n=12.9664—12.7627二0016

D叩endentVariable:YMethod:LeastSquaresDate:07J26/O4Time:22:10Sairiple(adjust&d):19512000Includedobsetvaiions:50afteradjustingendpointsConvergenceachievedafter3iterations12.7627VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C4.9720560.14262734.866100.0000@TREMD(1948)0.1508220.00426535.362540.0000AR(1)1.5503380.11283613.739660.0000AR(2)-0.6490570.110151-5.8924170.0000R-squared0.999653Meandependentvar9.U1142AdjustedR-squared0.999630S.D.dependentvar2.21930ES.E.ofregression0.042670Akaikeinfocriterior-3.394029Sumsquaredresid0.003753Schwarzcriterion-3.241OE0LoglikelihoodB0.06O73F-statistic4416B.83Durbin-Watsorstat1.852560Prob(F-statistic)0.000000InvertedARRoots78-,22i78+.22i案例2日本人口时间序列模型日本历史上有两次大规模向国外学习的过程。一次是大化改新。大化改新（公元645-649）是一场以圣德太子政治理念为基础的贵族革命。圣德太子（公元574-622）一心加强皇权，决心向中国学习，启蒙日本。他四度向中国派遣使团和留学生。在它的影响下，其死后23年，即公元645年，中大兄皇子发动政变,成功地建立了类似唐朝的中央集权机构。一次是明治维新。明治维新始于1868年。从而开始了全面向西方学习的历史。口号是“富国强兵”。主要措施是（1）加强中央集权，1871年实施“废藩治县”，（2）1872年采取美国三权分立的政治体制，（3）1872年统一货币，实行1日元=1美元的兑换率，（3）1872年开始修铁路、建立现代统计制度，采用阳历等，（4）1873年迁都东京。福泽谕吉（^<^^^^^1835-1901）教育家、启蒙思想家人口数字之所以起于1872年，是因为1872年日本才有了全国人口统计数字。在122

年间(1872-1994)，日本人口从3480.6万人增至12503.4万人(3.6倍)。日本人口增加的特点是两头慢，中间快。同时在1944-1946年和1972年人口总量出现了激烈波动。1944-1946年的波动是因为战败，1972年的波动是由于美国归还冲绳。由图1中的相关图可以判定日本人口序列yt是一个非平稳序列。由图2可以看出日本人口差分序列Dyt是一个平稳序列。图3是日本人口的二次差分序列DDyt。它也是一个平稳序列。差分序列Dyt的极差是0.059,差分序列DDyt的极差是0.087。可见DDy「是一个过度差分序列。应该用D；t建立时间序列模型。"""图1日本人口序列(y)t日本人口差分序列(Dy)tAutocorrelatioriPartialCorrelation图1日本人口序列(y)t日本人口差分序列(Dy)tAutocorrelatioriPartialCorrelationAutocorrelationPartialCorrelation图2yt的相关图与偏相关图,Dyt的相关图与偏相关图AutocorrelationPartialCorrelation图3日本人口二次差分序列D2ytD2yt相关图、偏相关图由Dyt的相关图、偏相关图(见图2)初步判定应建立AR(3)或AR⑷模型。估计结果如下：AR(3)模型DependentVariable:DYMethod:LeastSquaresDate:04Z30/D1Time:02:22Sampie(adjustedj:18761994Includedobservations:119afteradjustingendpointsConvergenceachievedafter3iterationsVariableCoefficientSid.Errort-StatisticProb.C0.0075690.0010207.4139260.0000AR(1)0.2626730.0077722.9926900.0034AR(3)0.2766310.0073613.1670880.0020R-squared0.192971Meandependentvar0.007539AdjustedR-squared0.179057S.D.dependentvar0.005658S.E.ofregression0.005126Akaikeinfocriterion■10.52192Sumsquaredresid0.003048Schwarzcriterion-10.45166Loglikelihood460.2005F-statistic13.86854Durbin-Watsonstat2.171019Prob(F-statistic)0.000004InvertedARRoots.75-,24+.56i-.24-.56i图4EViews估计结果AutocorrelationPartialCorrelation对应的模型表达式是Dy对应的模型表达式是Dy=0.0076+0.2627(Dy^(7.4)(3.0)0.0076)+02767(、一°.0076)+vt(3.2)II1iE1[Ii1II1i[1Ji>]1]i>]1]i>111li111li11li[1li[图5模型(2.79)残差的相关图与偏相关图obsIActual|FittedIResidualResidualPlot19890.004600.00651-0.00191119900.004060.00630-0.00224■+119910.004320.00595-0.0016314119920.004090.00539-0.00100119930.003120.00568-0.00256119940.002700.00550-0.00200il1R2=0.19,Q=7.0,Q(k_p_q)=Q005(15_3_0)=21.0整理：^'0.051530Dyt=0.0076(1-0.2627-0.2767)+0.2627Dy^+0.2767Dy^+七Dyt=0.0035+0.2627D*_1+0.2767D+七通过t值、DW值、F值和Q值，说明(2.79)式是一个满意的日本人口模型。图5显示模型

(2.79)的残差中已不含有自回归和移动平均成分。模型特征方程的3个根是z1=1/0.75=1.33z2=1/(-0.24-0.56i)=0.9375-2.1875iz3=1/(-0.24+0.56i)=0.9375+2.1875i下面利用模型(2.79)预测y1995，并计算预测误差。已知dy1994=0.0027，dy舞二0.00409，则预测结果是，1"51"41"Dy1995=0.0035+0.2627。匕汹+0.2767。匕咖=0.0035+0.2627x0.0027+0.2767x0.0041=0.0053y1995=y1994+Dy袂=1.25034+0.0053=1.25564已知1995年日本人口实际数是1.25569亿人。预测误差为n=技5564n=技5564T.25569=1.255690.00004日本人口数据也可以拟合成一个不含漂移项的AR(4)模型。估计结果如下，Dyt=0.2559Dy^+0.1933Dy^+0.2687D*-3+0.2096D*-4+%(11.59)(2.8)(2.1)(2.9)(2.3)R2=0.18,DW=2.0,F=8.1,0(15)=6.0,%2005(11)=19.7(11.59)式中的所有自回归系数都通过了t检验。DW=2.0,0(15)=6.0<%2005(154)=19.7。模型特征方程的4个根是'^05154z1=1/0.97=1.03z2=1/(-0.09-0.63i)=0.23-1.62iz3=1/(-0.09+0.63i)=0.23+1.62iz4=1/(-0.54)=-1.854个根的值都在单位圆以外。可见(11.59)式也是一个满意的日本人口时间序列模型。下面利用模型(11.59)预测¥995,并计算预测误差。已知Dy994=0.0027,。匕晚=0.0031,Dy1992=0.0041,Dy1991=0.0043(可以由原始数据计算出来)，则预测结果是」"Dy1995=0.2559Dy1994+0.1933Dy^+0.2687Dy^+0.2096。匕洌=0.2559x0.0027+0.1933x0.0031+0.2687x0.0041+0.2096x0.0043=0.00329y1995=y1994+Dy袂=1.25034+0.00329=1.25363已知1995年日本人口实际数是1.25569亿人。预测误差为0.001641.25363—1.255691.255690.00164案例3日元兑美元汇价序列模型ACPACQ-StatProbACPACQ-StatProb10.9970.9971421.40.00020.994-0.0292834.00.00030.990-0.0504239.40.00040.9870.0795636.40.00050.984-0.0217025.70.00060.901-0.0188407.00.00070.9780.0129700.50.00080.976-0.00311146.0.00090.9720.01012504.0.000100.969-0.03613854.0.000AutocorrelationPartialCorrelatiorACPACQ-StatProbI11110.0390.0392.21270.137111120.0510.0505.928S0.052r1113-0.004-0.00815.9720.001111140.0130.01716.2070.003111150.0110.01916.3730.006II1II16-0.009-0.02016.4990.01111117-0.005-0.00316.5350.021II1II18-0.016-0.01216.9020.0311]1]90.0420.04119.4730.0211111100.0040.00119.4910.034DependentVariable:D(JPY)Method:LeastSquaresDate:06<I8/03Time:11:30Sample(adjustedJ:61427Includedobservations:1423afteradjustingendpointsConvergenceachievedafter2iterationsVariableCoefficientSid.Errort-StatisticProb.C0.0037690.0255810.U734S0.8829AR(1)0.0422000.0264421.6962260.1107AR(2)0.0525420.0264271.9801550.0470AR(3)-O.OBBOO00.026434-3.3293400.0009R-squared0.011726Meandependentvar0.003717AdjustedR-squared0.009G37S.D.dependentvar0.963127S.E.ofregression0.958476Akaikeinfocriterion2755062Sumsquaredresid1303.GOOSchwarzcriterion2770649Loglikelihood-1956796F-staiistic6.G12164Durbin-Watsonstat1.995636Prob(F-statistic)0.000790InvertedARRoots,26-b.35i,26-.35i-.47□即endentVariable:D(JPY)Method:LeastSquaresDate:O6/D0AJ3Time:11:17Sample(adjusted):61427Includedobservations:1423afteradjustingendpointsConvergenceachievedafter2iterationsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.ARp)0.0641460.0264142.0498960.0406AR(3)-0.0859000.026407-3.2529810.0012R-squared0.009935Meandependentvar0.003717AdjustedR-squared0.009238S.D.dependenivar0.963127S.E.ofregression0.968668Akaikeinfocriterion2.754S61Sumsquaredresid1305.963Schwarzcriterion2.762255Loglikelihood-195S.0S4Durbin-Watsonstat1.911506InvertedARRoots,24+.35i.24-.35i-.48对应的模型表达式是Dyt=0.0541Dyt_2-0.0859Dy^+七(2.0)(-3.3)Q(10)=70,R2=MLQ(k-p-q)=Q0.05(10-3-0)=140通过t值、DW值和Q值，说明上式是一个满意的模型。模型的残差中已不含有自回归和移动平均成分。DependentVariable:D(JPY)Method:LeastSquaresDate:06<I8/03Time:11:18Sampie(adjustedj:21427Includedobservations:1426afteradjustingendpointsConvergenceachievedafter3iterationsBackcast:-11VariableCoefficientSid.Errort-StatisticProb.MAP)0.0555350.0263792.1052540.0354MA(3)-0.0BB6160.026381-3.359123O.OOOBR-squared0.010290Meandependentvar0.00430EAdjustedR-squared0.009595S.D.dependentvar0.962519S.E.ofregression0.957890Akaikeinfocriterion2753233Sumsquaredresid1306.595Schwarzcriterion2760614Loglikelihood-1961.055Djrbin-Watsanstat1.912887InvertedMARoots.40-,20+.42i-.20-.42i对应的模型表达式是Dyt=七+0.0555七-0.08886七_3(2.1)(-3.4)Q(10)="R2=0.01,")=Q0.05(10-3-0)=140通过t值、DW值和Q值，说明上式是一个满意的模型。模型的残差中已不含有自回归和移动平均成分。转换函数模型(transferfunctionmodel)已经学习过回归模型和时间