一阶线性微分方程

一阶线性微分方程分布图示★一阶线性微分方程及其解法★例1★例2★例3★例4★例5★例6★伯努利方程★例7★例8★例9★例10★内容小结★课堂练习★习题8-3内容要点形如dyPQ(3.1)dx一阶线性微分方程PQ是某一区间IQ方程

为dyP0 (3.2)dx一阶非齐次线性方程.方程

yCeP(x)dx. (3.3)其中C为任意常数.通解中的常数C变易为待定函数yP,y QPdxCeP(3.5)二、伯努利方程：形如dydx

PQ(3.7)伯努利方程，其中n为常数，且n1.伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的.事实上，在方程

yn，得yn1

dyP(x)y1nQ(x),dx或 1

(y1n)P(x)y1nQ(x),于是，令zy1n，就得到关于变量z的一阶线性方程dzn)P(x)zn)Q(x).dx利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解y1ne(1n)P(x)dxQ(x)(1n)e(1n)P(x)dxdxC 例题选讲一阶线性微分方程1（E01）y1y

sinx的通解.x x解 P(x)1,Q(x)sinx,于是所求通解为x x1dx sinx

1dx

sinx 1ye x e

dxCelnx

elnxdxC (cosxC).x x x 2（E02）

dy 2y (x /2 dx x1解 这是一个非齐次线性方先求对应齐次方程的通.由dy 2 y0dx x1

dy2dxy x

lny2ln(x1)lnCyC(x1)2.用常数变易法,把C换成u,即令yu(x1)2,则有dyu(x1)22u(x1),dx代入所给非齐次方程得u(x1)2/1,两端积分得u回代即得所求方程的通解为

(x1)3/2C,232y(x1)22(x1)3/2C.3 例3求下列微分方程满足所给初始条件的特解.xlnxdy(ylnx)dxy

1.xe解将方程标准化为y

1 y1于是xlnx xdx

1 dx

1

1 1 ye xlnxexlnxdxCelnlnx elnlnxdxC ln2xC.x x lnx.x 由初始条件y 得C1,故所求特解为y

1lnx 1 xe例4求解方程dy

2yd

2 lnx(xd, (xx.dx dx dx解 原方程实际上是标准的线性方程，其中P(x)直接代入通解公式，得通解

d,Q(x)(x)ddx dx ddx(

d )

[()

]

)1

.y e dx

x edx dx C

e (

xe(x)d C

Ce (x)dx 5（E03）y3dx2xy20.解当将y看作x的函数时，方程变为dy y3dx 12xy2这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将x看作y的函数，方程改写为y3dx2y2x1dy则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为y3dx2y2x0dy分离变量，并积分得dx2dy,即xC 1x y 1y2

1为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为xu(y)u(y)1y

1,代入原方程,得y2积分得u(y)ln|y|Cx

1(ln|y|C)，其中C为任意常数.y2例6 如（见系统演示所示,平行于y轴的动直线被曲线yf(x)与yx3(x0)截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线f(x).(x3y)2解 x(x3y)20

x3y,两边求导得yy3x2,解此微分方程得dx ye C 3x2edxdxCex3x2dx 由y0,得C故所求曲线为 y3(2exx22x2).x0例7

dy4yxdx x

的通解.yydx1 dy 4yydx解 两端除以y,得

yx2x令z y,得

zx2,解得zx2 C,dz 4 x dx x dz 4 x x 2故所求通解为yx4 C.2 伯努利方程8（E04）

dy y (alnx)y2的通解. dx x解 以y2除方程的两,得y

dy1dx x

yalnx,即 d(y1)1dx x

y1alnx,zy1则上述方程变为

dz1zalnx.解此线性微分方程得zx

dx x a C (lnx) a 2 C以y1代z,得所求通解为 yxC

(lnx)2a 2a

1. 9（E05）dyxyxx3yx)21.dx解 令yxu,则dy

dudu

xux3u2.令zu12

dx dx dx ,上式即变为一阶线性方程 xz x3.u dxx2 x2 x2其通解为 ze2x3e2dxCCe2x22. 回代原变量，即得到题设方程的通解1 1yx

xz

x2Ce2

.x2210（E06）求解微分方程dy

1 y.dx xsin2(xy) x解 令