点直线平面之间的位置关系单元同步测试

第二章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析由垂直同一直线的两平面平行知，B正确．答案B2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不相交解析由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.答案B3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是()A．1个 B．3个C．1个或3个 D．1个或3个或4个解析当A，B，C共线且与l，确定一个平面；当A，B，C共线且与l异面时，可确定3个平面；当A，B，C三点不共线时，可确定4个平面．答案D4．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是()A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点答案D5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是()A．5 B．8C．10 D．6解析这些直角三角形是：△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．答案B6．下列命题正确的有()①若△ABC在平面α外，它的三分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析易知①与②正确，③不正确．答案C7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题是()A．过点P且垂直于α的直线平行于βB．过点P且垂直于l的直线在α内C．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的平面垂直于β答案B8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线A．与AC，MN均垂直相交B．与AC垂直，与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC，MN均不垂直解析易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.答案A9．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1①过M点有且只有一条直线与直线1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1其中真命题是()A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB，B1C1都相交，故答案C10．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是()A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析排除A、B、C，故选D.答案D11．给定下列四个命题：①若一个平面内另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④答案D12．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(1,2)，则下列结论错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A—BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等解析易证AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥BE.∵EF在直线B1D1上，易知B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，VA－BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),24).∴A、B、C选项都正确，由排除法即选D.答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知A，B，C，D为空间四个点，且A，B，C，D不共面，则直线AB与CD的位置关系是________．解析如图所示：由图知，AB与CD为异面直线．答案异面14．在空间四边形ABCDC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．答案BD15．如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________；(2)∠BAC＝________.解析(1)AB＝AC，AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，∴∠BDC为二面角的平面角，∠BDC＝90°，∴BD⊥DC.(2)设等腰直角三角形的直角边长为a，则斜边长为eq\r(2)a.∴BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)a.∴折叠后BC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝a.∴折叠后△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝60°.答案(1)BD⊥CD(2)60°16．在正方体ABCD′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)解析如图所示：∵BE＝FD′，ED′＝BF，∴四边形BFD′E为平行四边形．∴①正确．②不正确(∠BFD′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形ABCD)．④正确．当E，F分别是AA′，CC′中点时正确．答案①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC证明∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，GF，如图．∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1.∵BE∥C1H，且BE＝C1H，∴四边形EBC1H是平行四边形．∴EH∥BC1，∴GF∥EH.∴E，F，G，H四点共面．∵GF≠EH，故EF与HG必相交．设EF∩HG＝I.∵I∈GH，GH⊂平面CC1D1D，∴I∈平面CC1D1D.同理可证I∈平面ABCD.∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．18．(12分)如图，在四棱锥P，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM.(1)试确定点M的位置，并说明理由；(2)求四棱锥P－ABCD的表面积．解(1)点M为PD的中点．理由如下：连接BD，设BD∩AC＝O，则点O为BD的中点，连接OM，∵PB∥平面ACM，∴PB∥OM.∴OM为△PBD的中位线，故点M为PD的中点．(2)∵PA⊥底面ABCD，又底面是边长为1的正方形，∴S正方形ABCD＝1，S△PAB＝S△PAD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S△PBC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)，S△PCD＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2).故四棱锥P－ABCD的表面积为S＝1＋2×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＝2＋eq\r(2).19．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，如图．(1)求证：MN∥面BB1C(2)求MN的长．解(1)证明：作NP⊥AB于P，连接∥BC，∴eq\f(AP,AB)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(A1M,A1B)，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1CMN⊂面MPN，∴MN∥面BB1C(2)eq\f(NP,BC)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(\f(\r(2),3)a,\r(2)a)＝eq\f(1,3)，NP＝eq\f(1,3)a，同理MP＝eq\f(2,3)a.又MP∥BB1，∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.在Rt△MPN中MN＝eq\r(\f(4,9)a2＋\f(1,9)a2)＝eq\f(\r(5),3)a.20．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝eq\f(1,2)EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ.因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝eq\r(5)，DP＝1，sin∠DAP＝eq\f(\r(5),5)，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为eq\f(\r(5),5).21．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明(1)在△ABD中，∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.22．(12分)已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD的体积；(3)求证：AC⊥平面PAB.解(1)过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1.又∵△PBC为正三角形，∴BC＝PB＝PC＝2，且PE⊥BC，∴PE2＝PC2－CE2＝3.∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE.∴PA2＝PE2－AE2＝2，即PA＝eq\r(2).正视图的面积为S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2).(2)由(1)可知，四棱锥P－ABCD的高PA＝eq\r(2)，底面积为S＝eq\f(AD＋BC,2)