上海交通大学2015年线性代数试卷

(A(A卷)第43页共6页上海交通大学线性代数试卷(A) 2015年6月22日姓名 班级 学号 题号得分一二三四总分一、选择题（每题3分，共15分）设A为n阶可逆矩阵,A的第二行乘以2为矩阵B，则A1的 为B1。第二行乘以2； (B) 第二列乘以2；(C) 第二行乘以1； (D) 第二列乘以12 22.设向量组,,1 2 3

线性无关,2

,,3

线性相关,则以下命题中，不一定成立的是 。(A)

不能被1

,,3

线性表示； (B)2

不能被,1 3

,线性表示；4(C)4

能被,1

,线性表示； (D),3 1

,,3

线性相关A(aij

)n

f(xx1 2

,,xn

)i

(a xi11

a xi2

a xin n

)2的矩阵为 。A； (B)A2； (C)ATA； (D)AATB4r)4，r(B)＝3BAB，则r(AB) 。(A)1； (B)2； (C)3； (D)4已知,,,是线性空间V的一个基，以下 也是V的基。1 2 3 41

＋2 2

＋3

＋；4 1(B)－1 2

－2

－3

－；4 111

＋2 2 ＋2 2

＋3 －3

－；4 1－。4 1二、填空题（每题3分，共15分）设 是欧氏空间的标准正交基，则模 ＝ 。1 2 3 1 2 3 2 122 3设矩阵A a b2 2 12 3

1 184 为正交矩阵，则a ，b 。181 1818若实二次型f(x,x ,x)x22x

2xx 4x

4xx 4x

为正定二次1 2 3

1 2 1 3

2 3 3型,则的取值范围为 。已知AxbA为23矩阵，且1 2秩r(A)2。若k l 是方程组Axb的通解，则常数kl须满足1 2关系式 。设A为n阶实对称矩阵，且A22A3E0，1是A的一重特征值，则行列式|A2E| 。三、计算题(每题9分,共54分)计算nD，xi

0i2n；11D 11x1

222x22

n1 (n n1 n1

n1

nxnnnn设3阶方阵满足方程A2BABE，试求矩阵B以及行列式B ，1 0 1 1 0 0其中 A0 2 0， E0 1 0。 2 0 1 设A为三阶实对称矩阵，且满足A2A2E0 已知向量0 1 1, 1 0

0,1 A对应特征值1An，其中n为自然数。已知实二次型f(xx1 2

,x)=2xx3 1

2xx23

2xx31

，求正交变换xQy,f(xx1 2

xxQy。3已知线性空间R3的基 到基 的过渡矩阵为P，且1 2 3 1 2 31 0 1 2 2 1 0， 1， 2；P3 2 21 1

2 0

3 2

4 3 0 试求出在基,,1 2 3

与,,1 2

下有相同坐标的全体向量。xx3x x 0x设线性方程组为

x14x2a3b，问：a、b取何值时，方程组无解、1 2 32xx 3x 51 2 3有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。四、证明题(第一题6分，第二题10分)设为n维列向量，且T1AET，证明：行列式|A|0。A是mn0是m维实列向量，证明：秩r(A)r(ATA)； （2）非齐次线性方程组ATAxAT有解。线性代数参考答案一、选择题1.(D)2.(B)3.(C)4.(A)5.(C) {B；CADDB}二、填空题141. 2.a1/b03.214.k1ll为任意常数；145.|AE|n13.11{B1.11

； 2.a0,b1/3；3.2a1；4.k1l,l为任意常数； 5.|A3E|n14. 三、计算题 {B卷；2，1，3，6，5，4}n(n1)1.D2

1

n)n x 9x ii1 n i12.(A2E)BAE 200012 000012 0

0 0 1/2 B(A2E)(AE)(AE)

0 0 1 0 80 1 0 0 |B|1/2 9分3.(AE)(A2E)0，特征值1、1、－2， 2分2，特征向量，所以 3分0 1 11 0 0 0 1 11 An1 0 00 1 0 1 0 0 5 0 1 10 0 (2)n 0 1 11 0 0 0 2 01 An

1 0 020 1 12

1 0 1 0 10 (2)n1 0 1

9分1(2)n 0 1(2)n1 0 2 0 2 1(2)n 0 1(2)n0 1 14.f的矩阵A1 0 1，有特征值

2 2 1 1

1 2 3对应的线性无关的和单位正交的特征向量 6分1 1 1 1 1 1

1

1

1263 1， 0， 1263

1

1，

11 0

2 1

3 1 1

0 2

2 3

1 于是正交变换xQy，即1x1 y y 1 y11 2 1 6 2 3 3 1 1 1x 2

y y y 821 6 2 3 32x 2 y 1 y633 2 363化二次型为标准形fy2y22y2 9分1 2 35．A,,B(BAP。1 2 3 1 2 3设所求向量的坐标为x ，则AxAPx，即A(PE)x0， 4因为A为可逆矩阵，得(PE)x0 ，由1 2 1 1 0 1 (PE)3 1 20 1 1 4 3 1 得xkT， 8分故k )k(2T 9分1 2 31 3 1 0 1 3 1 0 6.A1 4 a b0 1 1 1 3 2 1 3 5 0 0 a 当a－2当a－2，b－1时，方程组无解 5当a－2，b－2时，r(A)r(A)＝2<3，方程组有无穷多组解,其通解为k，k为任意常数。 9分四、证明题1．A2A，特征值的可能取值为01。A的对角线元素之和为nTn1n，(或TATTTTT0,0A非正定)所以0A的一个特征值，故行列式|A|02.证:（1）因为若A0，则ATAA00；而