《高等数学》曲线的凹凸性与拐点

曲线的凹凸性与拐点线的上升和下降，但曲线在上升或下降的过程中还有一个弯曲方向的问题。例如，图性及其拐点。一、曲线凹凸性的定义从几何上看，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结着两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（图34(a性及其拐点。一、曲线凹凸性的定义从几何上看，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结着两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（图34(a)，而有的曲线弧，则正好相反（图342(b)。曲线的这种性 图341质就是曲线的凹凸性。因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。(b)图3421f(xI连续，若对于Ixx，恒有1 2xf( 1

x2)

f(x1

)f(x)22 2则称f(x)在I上的图形是（向上凹的（凹弧；若恒有xf( 1

x2)

f(x1

)f(x)22 2f(xI上的图形是（向上凸的（凸弧。一般情况下，在函数的整个定义域内，其曲线的凹凸性并不一致。通常把连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。二、曲线凹凸性的判定x34(a)，即导函数f(x)上每一点的切线斜率是逐渐减少的（如图34b)，即导函数f(x)是单调减少函数。与此几何特征相对应，有下述判断曲线凹凸性的定理。(b)图3431f(xI内具有一阶和二阶导数，若在I内f(x)0f(x)I上的图形是凹的；f(x)0f(x)I上的图形是凸的。*证明：x

I，在区间[x

x ,1,

xx2]及[ 1 2,

]上分别应用拉格朗日中值1 2 1 2 2 2定理，则有

xx

x

xxf( 12

2)f(x1

)

) 21

1，x1

1 21 2f(x

)f(1x2)f) 2x ，xx2 xxx11xx12 2 2 2 2 2 2以上两式相减，得

xx2

x xf(x2

)f(x1

)2f( 12

)[f

)f2

)] 2 1，1 2其中x 1 1

xx12

22

x。2（1）f(x)0f(xIf1有

)f(2

x1

x，因此2xxf 2

x x2(x)f(x2 1

)2f( 12

)[f

)f2

( )]1

1021即f(x1

x2)

f(x1

)f(x)2

f(xI上的图形是凹的；2 2（2）f(x0f(xIf1有

)f(2

)，又x1

x，因此2xx2

x xf(x2

)f(x1

)2f( 12

)[f

)f2

)] 21

101即f(x1

x2)

f(x1

)f(x)2

f(xI上的图形是凸的。2 2例1判断曲线yx3的凹凸性。3xy3x2y6x，该函数的定义域为(,x0y0，所以曲线在(,0x0y0，所以曲线在(0,3x2y

的凹凸性。解：y

1 2x3，x

2 5yy

(,

x0

y0，3 9所以曲线在(,0x0y0，所以曲线在(0,内为凸弧。3yx4的凹凸性。解：y4x312x2(,x0y0y0yx4在区间(,0及(0,内均为凹弧，从而曲线在整个定义域(,内为凹弧。f(x（或负时，f(x)在该区间上仍旧是凹的（或凸的。三、拐点的求法从定理1易知，由f(x)的符号可以判断曲线的凹凸性，因此，如果f(x)在点x 的0左右两侧邻近异号，则点(x0

,f(x0

))就是曲线的一个拐点，所以要寻找拐点，只要找出f(xIf(xf(x的符号由正变负或由负变正时，必定在分界点处有f(x)0（如例；此外，f(x)不存在的点也有可能是f(x)的符号发生变化的分界点（如例。Iyf(x的凹凸性并求其拐点：（1）f(x)；f(x)0IIf(x不存在的点；对步骤中求出的每一个点，检查其左右两侧邻近f(x的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点。注：步骤（2）中的两类点不一定是拐点，如例3，在x0处二阶导数等于零，但x03x2并不是曲线yx4的拐点再如曲线y 在x0处二阶导数不存在但x3x2曲线y

的拐点。点(x,f(xf(x是否异号，若异3x3x2号，则是拐点，否则不是拐点。5 5例4 求曲线y(x2)

x2的凹凸区间和拐点。9解：函数的定义域为（）y

5(x2)

10

y10(x2)1

1013x23x23， 3x23x23， 3 y0x3x2y的符号，从而确定曲线的凹凸性和拐点：xx（，2）2（2，3）3（3，）y-不存在+0-y（2，拐点209）拐点（3，-4）（（3，（2，20）9和（3，4）注：上表中“ ”及“ ”分别表示曲线的凸和凹。习题34判断下列曲线的凹凸性：（1）yxx)； （2）yshx；1（3）yx

； （4）yxarctanx。x（1）y3x44x31；（3）y