线性代数第五讲课件

矩阵矩阵的运算逆矩阵矩阵分块法第二章矩阵及其运算矩阵第二章矩阵及其运算第一节

矩阵矩阵概念的引入矩阵的定义几种特殊矩阵线性变换小结第一节矩阵矩阵概念的引入矩阵的历史矩阵的理论起源，可追溯到18世纪，见于著作则是在19世纪。A.凯莱在1858年引进矩阵为一个正方形的排列表，且能进行加法与乘法运算，于是人们就把A.凯莱作为矩阵论的创始人。然而在此之前，C.F.高斯在1801年与F.G.M.艾森斯坦在1844~1852年就早已先后把一个线性替换（即线性变换）的全部系数作为一个整体，并用一个字母来表示。矩阵的历史矩阵的理论起源，可追溯到18世纪，见于著作则是在11、某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头包子鸡蛋稀饭周星驰4221张曼玉0000陈水扁4986为了方便，常用下面的数表表示一、矩阵概念的引入1、某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四城市之间的航线图其中√表示有航班.为了便于计算,把表中的√改成１,空白地方填上０,就得到一个数表:新乡伊朗天水上海这个数表反映了四城市间交通联接情况.为了方便，常用下面的数表表示天水伊朗新乡上海发站天水伊朗新乡上海到站2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四城市之间的航线图其中√表示3、线性方程组的解取决于系数常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.3、线性方程组的解取决于系数常数项线性方程组的系数与常数项按二、矩阵(Matrix)的定义元素行标列标元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.简记为二、矩阵(Matrix)的定义元素行标列标元素是实数的矩阵称例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.是一个矩阵,例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个例如是一个3阶方阵.几种特殊矩阵行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).例如是一个3阶方阵.几种特殊矩阵行数与列数都等于的矩阵（3）形如的方阵,不全为0记作

称为对角矩阵(或对角阵）.称为单位矩阵（或单位阵）.全为1(4)n阶方阵DiagonalMatrixIdentityMatrix（3）形如的方阵,不全为0记

（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.(6)同型矩阵例如为同型矩阵.（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零注(7)相等矩阵

两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作(7)相等矩阵两个矩阵例之间的关系式为m与m个变量yyy,,,21L变量nxxx,,,21Ln个矩阵的应用系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.例之间的关系式为m与m个变量yyy,,,21L变量nxxx,若线性变换为称之为恒等变换.对应

单位阵.线性变换对应对角阵.若线性变换为称之为恒等变换.对应单位阵.线对应对角阵.线性变换对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.0yxPP1投影变换矩阵例矩阵对应线性变换线性对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.0yxPP1小结(1)矩阵的概念

m行n列的一个数表(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵.同型矩阵相等矩阵小结(1)矩阵的概念(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单矩阵与行列式的有何区别?矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.思考矩阵与行列式的有何区别?矩阵与行列式有本质的区别，行数学王子高斯，C.F.CarlFriedrichGauss(1777～1855)德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、I.牛顿并列，同享盛名。他童年时就显示出很高的才能。1795年入格丁根大学，曾在攻读古代语还是数学专业上产生犹豫，但数学上的及时成功，促使他致力于数学研究。大学的第一年发明二次互反律，第二年又得出正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件,解决了两千年来悬而未决的难题。1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理而获博士学位。从1807年到1855年逝世，他一直担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长。数学王子1801年发表《算术研究》，它开辟了数论研究的全新时代。高斯在代数方面的代表性成就是他对代数基本定理的证明。1812年，高斯发表了在分析方面的重要论文《无穷级数的一般研究》，其中引入了高斯级数的概念。非欧几里得几何是高斯的又一重大发现。有关的思想最早可以追溯到1792年，即高斯15岁那年。他1809年发明的最小二乘法。另外，象球面三角中高斯方程组和内插法计算中的高斯内插公式在天文学计算中也有广泛应用。高斯致力于天文学研究前后约20年，在这领域内的伟大著作之一是《天体运动理论》(1809)。1816年起，高斯把数学应用从天体转向大地。他受汉诺威政府的委托进行大地测量。在这项工作中他创造了两种彼此独立的方法，推导旋转椭圆体上计算经纬度及方位角之差至四次项的公式。1801年发表《算术研究》，它开辟了数论研究的全新时代。1816年起，高斯把数学应用从天体转向大地。他受汉诺威政府的委托进行大地测量。在这项工作中他创造了两种彼此独立的方法，推导旋转椭圆体上计算经纬度及方位角之差至四次项的公式。在对大地测量的研究中，高斯创立了关于曲面的新理论。1827年发表《关于曲面的一般研究》，书中全面阐述了三维空间中的曲面的微分几何，并提出了内蕴曲面理论，在微分几何中获得扩展和系统化。高斯的曲面理论后来被他的学生（G.F.）B.黎曼所发展，成为爱因斯坦广义相对论的数学基础。19世纪30年代起，高斯的注意力转向磁学，1839～1840年先后发表了《地磁概论》和《关于与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定理》，后一篇论著还是19世纪位势理论方面的主导性文献。高斯在学术上十分谨慎，他恪守这样的原则：“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”，并且认为只有在证明的严密性，文字词句和叙述体裁都达到无懈可击时才发表自己的成果，这使得他发表的作品比起他一生中所做的大量研究来说相对地要少得多。1816年起，高斯把数学应用从天体转向大地。他受汉诺威政第二节矩阵的运算矩阵的加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵小结第二节矩阵的运算矩阵的加法一、矩阵的加法1、定义说明:两个矩阵能进行加法运算的条件？例同型矩阵.一、矩阵的加法1、定义说明:两个矩阵能进行加法运算的条件？例2、矩阵加法的运算规律().BABA-+=-()(),04AA=-+称为矩阵A的负矩阵。规定矩阵的减法为：2、矩阵加法的运算规律().BABA-+=-()(),04A二、数与矩阵相乘1、定义2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.二、数与矩阵相乘1、定义2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘三、矩阵与矩阵相乘引例三、矩阵与矩阵相乘引例1、定义并把此乘积记作注意:两个矩阵相乘的条件?1、定义并把此乘积记作注意:两个矩阵相乘的条件?例1故解例：例1故解例：2、矩阵乘法的运算规律E在矩阵乘法中的作用类似于数1。(5)有了矩阵的乘法，可以定义矩阵的幂：设A是n阶方阵，定义：其中k为正整数，即Ak就是k个A连乘。幂的运算规律：2、矩阵乘法的运算规律E在矩阵乘法中的(5)有了矩阵的乘法，例

设注意

矩阵不满足交换律，即一般情况下，但也有例外，比如设则有例设注意矩阵不满足交换律，即一般情况下，但也有例外，定义：对于两个n阶方阵A,B，若AB=BA，

则称A与B是可交换的.续上例反之是否成立?例不满足消去律定义：对于两个n阶方阵A,B，若AB=BA，续上例反之是否并且易验证特别的，对于n阶方阵A有故纯量阵E与任何同阶方阵可交换。定义

方阵称为纯量矩阵(

或数量矩阵）。特殊矩阵并且易验证特别的，对于n阶方阵A有故纯量阵E与任何同阶方例2计算下列乘积：一个数n阶方阵例2计算下列乘积：一个数n阶方阵线性代数第五讲课件解法1例4设求归纳出下面再用数学归纳法来证明（略）。解法1例4设求归纳出下面再用数学归纳法来证明（略）。解法二：令矩阵，则A=E+B经计算知：故有解法二：令矩阵，则A=E+B经计算知：故有作业第53-54页：习题二2，4（1）（3）（4）作业第53-54页：习题二矩阵矩阵的运算逆矩阵矩阵分块法第二章矩阵及其运算矩阵第二章矩阵及其运算第一节

矩阵矩阵概念的引入矩阵的定义几种特殊矩阵线性变换小结第一节矩阵矩阵概念的引入矩阵的历史矩阵的理论起源，可追溯到18世纪，见于著作则是在19世纪。A.凯莱在1858年引进矩阵为一个正方形的排列表，且能进行加法与乘法运算，于是人们就把A.凯莱作为矩阵论的创始人。然而在此之前，C.F.高斯在1801年与F.G.M.艾森斯坦在1844~1852年就早已先后把一个线性替换（即线性变换）的全部系数作为一个整体，并用一个字母来表示。矩阵的历史矩阵的理论起源，可追溯到18世纪，见于著作则是在11、某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头包子鸡蛋稀饭周星驰4221张曼玉0000陈水扁4986为了方便，常用下面的数表表示一、矩阵概念的引入1、某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四城市之间的航线图其中√表示有航班.为了便于计算,把表中的√改成１,空白地方填上０,就得到一个数表:新乡伊朗天水上海这个数表反映了四城市间交通联接情况.为了方便，常用下面的数表表示天水伊朗新乡上海发站天水伊朗新乡上海到站2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四城市之间的航线图其中√表示3、线性方程组的解取决于系数常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.3、线性方程组的解取决于系数常数项线性方程组的系数与常数项按二、矩阵(Matrix)的定义元素行标列标元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.简记为二、矩阵(Matrix)的定义元素行标列标元素是实数的矩阵称例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.是一个矩阵,例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个例如是一个3阶方阵.几种特殊矩阵行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).例如是一个3阶方阵.几种特殊矩阵行数与列数都等于的矩阵（3）形如的方阵,不全为0记作

称为对角矩阵(或对角阵）.称为单位矩阵（或单位阵）.全为1(4)n阶方阵DiagonalMatrixIdentityMatrix（3）形如的方阵,不全为0记

（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.(6)同型矩阵例如为同型矩阵.（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零注(7)相等矩阵

两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作(7)相等矩阵两个矩阵例之间的关系式为m与m个变量yyy,,,21L变量nxxx,,,21Ln个矩阵的应用系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.例之间的关系式为m与m个变量yyy,,,21L变量nxxx,若线性变换为称之为恒等变换.对应

单位阵.线性变换对应对角阵.若线性变换为称之为恒等变换.对应单位阵.线对应对角阵.线性变换对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.0yxPP1投影变换矩阵例矩阵对应线性变换线性对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.0yxPP1小结(1)矩阵的概念

m行n列的一个数表(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵.同型矩阵相等矩阵小结(1)矩阵的概念(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单矩阵与行列式的有何区别?矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.思考矩阵与行列式的有何区别?矩阵与行列式有本质的区别，行数学王子高斯，C.F.CarlFriedrichGauss(1777～1855)德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、I.牛顿并列，同享盛名。他童年时就显示出很高的才能。1795年入格丁根大学，曾在攻读古代语还是数学专业上产生犹豫，但数学上的及时成功，促使他致力于数学研究。大学的第一年发明二次互反律，第二年又得出正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件,解决了两千年来悬而未决的难题。1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理而获博士学位。从1807年到1855年逝世，他一直担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长。数学王子1801年发表《算术研究》，它开辟了数论研究的全新时代。高斯在代数方面的代表性成就是他对代数基本定理的证明。1812年，高斯发表了在分析方面的重要论文《无穷级数的一般研究》，其中引入了高斯级数的概念。非欧几里得几何是高斯的又一重大发现。有关的思想最早可以追溯到1792年，即高斯15岁那年。他1809年发明的最小二乘法。另外，象球面三角中高斯方程组和内插法计算中的高斯内插公式在天文学计算中也有广泛应用。高斯致力于天文学研究前后约20年，在这领域内的伟大著作之一是《天体运动理论》(1809)。1816年起，高斯把数学应用从天体转向大地。他受汉诺威政府的委托进行大地测量。在这项工作中他创造了两种彼此独立的方法，推导旋转椭圆体上计算经纬度及方位角之差至四次项的公式。1801年发表《算术研究》，它开辟了数论研究的全新时代。1816年起，高斯把数学应用从天体转向大地。他受汉诺威政府的委托进行大地测量。在这项工作中他创造了两种彼此独立的方法，推导旋转椭圆体上计算经纬度及方位角之差至四次项的公式。在对大地测量的研究中，高斯创立了关于曲面的新理论。1827年发表《关于曲面的一般研究》，书中全面阐述了三维空间中的曲面的微分几何，并提出了内蕴曲面理论，在微分几何中获得扩展和系统化。高斯的曲面理论后来被他的学生（G.F.）B.黎曼所发展，成为爱因斯坦广义相对论的数学基础。19世纪30年代起，高斯的注意力转向磁学，1839～1840年先后发表了《地磁概论》和《关于与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定理》，后一篇论著还是19世纪位势理论方面的主导性文献。高斯在学术上十分谨慎，他恪守这样的原则：“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”，并且认为只有在证明的严密性，文字词句和叙述体裁都达到无懈可击时才发表自己的成果，这使得他发表的作品比起他一生中所做的大量研究来说相对地要少得多。1816年起，高斯把数学应用从天体转向大地。他受汉诺威政第二节矩阵的运算矩阵的加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵小结第二节矩阵的运算矩阵的加法一、矩阵的加法1、定义说明:两个矩阵能进行加法运算的条件？例同型矩阵.一、矩阵的加法1、定义说明:两个矩阵能进行加法运算的条件？例2、矩阵加法的运算规律().BABA-+=-()(),04AA=-+称为矩阵A的负矩阵。规定矩阵的减法为：2、矩阵加法的运算规律