电路分析基础(胡翔骏版)教学课件第7章

第七章电容元件和电感元件§7－1电容元件√§7－2电感元件√§7－3动态电路的电路方程√§7－4

动态电路的过渡过程和初始条件√1UESTC302第七章电容元件和电感元件§7－1电容元件√1UEST电容元件电感元件2UESTC302电容元件电感元件2UESTC302

电容元件和电感元件称为动态元件，含有电容元件和电感元件的电路称为动态电路。动态电路的响应由微分方程确定。动态电路具有记忆性。由一阶微分方程确定其响应的电路称为一阶电路;由二阶微分方程确定其响应的电路称为二阶电路。两类约束动态电路中电压电流的约束关系：KCL、KVL元件VCRCL3UESTC302电容元件和电感元件称为动态元件，含有电容元件和电感元§7－1电容元件(capacitor)

一、电容元件(capacitor)电容器是一种能存贮电荷的器件。

线性电容元件是理想化的器件，其原型是平板电容器，电容器的特性用存储在极板上的电荷量q与两极板之间的电压u在q-u平面上的一条曲线f(q,u)=0来描述。u

+q-q++++++++--------SUS+_0uq非线性电容线性电容元件4UESTC302§7－1电容元件(capacitor)一、电容元件(c

线性时不变电容元件的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其的数学表达式为C——称为电容器的电容量是特性曲线的斜率。电容

C的单位：F(法)(Farad，法拉)F=C/V=A·S/V=S/qu0

法拉的单位很大，实用中常采用微法F(10-6F)和皮法

pF(10-12F)。q(t)=C·uC(t)

++++++++--------+q-quC+

-5UESTC302线性时不变电容元件的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的1.电容元件的电压电流关系

q(t)=C·uc(t)由：电容VCR的微分关系：电容VCR的微分关系说明:iC的大小与uC的大小无关，而是取决于uC的变化率，若uC(t)

=常数（直流），则电容元件相当于开路。iCuC+KuS+－RSC－6UESTC3021.电容元件的电压电流关系q(t)=C·uc(t)由：电容VCR的积分关系：积分常数uc(to)称为电容电压的初始值。CiCuC+

-由电容VCR的微分关系可得到它的积分关系。因为电容具有记忆性，积分下限取负无穷大。7UESTC302电容VCR的积分关系：积分常数uc(to)称为电容电压的初tuC0tiC0iCM应用举例：例1,设电容电压uC波形为三角波，求电容电流iC波形。解：t1t2当t

=0~t1

时,设uC=a+k1t当

t

=t1~t2时,设uC=a-k2tiC(t)=Ck1iC(t)=-Ck2uC为三角波,iC必为方波。CiCuC+

-8UESTC302tuC0tiC0iCM应用举例：例1,设电容电压uC波形为C+–ui+–uOR+uC–iC例2，设uC=UCMsinwtV,求uO波形。解：tOuCuO电容电流iC的相位超前电容电压uC的相位90º。9UESTC302C+–ui+–uOR+uC–iC例2，设uC=UCMsin2.电容电压的记忆性和连续性上式反映了电容电压的记忆性和连续性。A)电容电压的记忆性

uc(to)称为电容电压的初始值。它表征电容上电流的“历史”能够被电压所“记忆”。也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻to的电压都有一定的贡献。iCuC+KuS+－RSC－10UESTC3022.电容电压的记忆性和连续性上式反映了电容电压的记忆性和连续B)电容电压的连续性上式表明当iC为有限值时,uC的建立需要一定时间，建立时间短时uC的变化很小。特别当t→0时，uC→0。即当电容电流为有限值时，电容电压不能突变。利用电容电压的连续性，设计出电容滤波电路。11UESTC302B)电容电压的连续性上式表明当iC为有限值时,C+–ui+–uoR电容滤波电路ui=Umsinwt+uN(t)

设输入信号为正弦波，受到干扰时t0uit0uouN(t)——输入信号中的干扰，一般为高次谐波或为随机瞬间突变电压。电容滤波电路利用电容电压的连续性来滤除输入信号中混入的干扰，使输出波形平滑。12UESTC302C+–ui+–uoR电容滤波电路ui=Umsinwt+

在电压电流采用关联参考方向的情况下，电容的吸收功率为:Cuc+－ic储能：3.电容的储能当电容容量一定时，电容的储能大小取决于它的端电压的平方。13UESTC302

在电压电流采用关联参考方向的情况下，电容的吸收功率为:CiLuL+－0i非线性电感线性电感元件当这条曲线是一条过原点的直线时，称为线性电感。一.电感元件电感元件的原型是空芯线圈，基本特性用

-i平面上的一条曲线fL(

,i)=0描述。§7－2电感元件(inductor)14UESTC302iLuL+－0i非线性电感线性电感元件当这条曲线是一条过

流过线性电感元件的电流与电感线圈的磁链成正比为电感线圈的磁链L称为自感系数(电感量)L的单位名称：亨(利)符号：H(Henry）亨利的单位很大，实用中常采用毫亨mH(10-3H)和微亨H(10-6H)。i0i15UESTC302流过线性电感元件的电流与电感线圈的磁链成正比为电感线二.线性电感的电流电压关系：根据电磁感应定律：(i,右螺旋;u,i关联)1).线性电感VCR的微分关系LuLiL+–此式表明电感的端电压与其电流对时间的变化率成正。直流工作状态下电感相当于短路。

i1–+uL16UESTC302二.线性电感的电流电压关系：根据电磁感应定律：1).线性2).线性电感VCR的积分关系：由：积分常数iL(to)称为电感电流的初始值。uS+–RSiLLuL+–17UESTC3022).线性电感VCR的积分关系：由：积分常数iL(to)3).电感电流的记忆性和连续性A)记忆性上式反映了电感电流的记忆性和连续性。iLiL利用电感电流的记忆性设计出磁芯存储器、磁悬浮列车。NS18UESTC3023).电感电流的记忆性和连续性A)记忆性上式反映了电感电流B)连续性上式表明当uL为有限值时,iL

的建立需要一定时间，建立时间短时iL的变化很小。特别当t→0时，iL→0。即当电感电压为有限值并且突变时，电感电流不能突变。应用电感电流的连续性，设计出电感滤波电路。iL+–ui+–uoLR19UESTC302B)连续性上式表明当uL为有限值时,iL的建4).电感的储能在从初始时刻t0到任意时刻t时间内得到的能量为：在电压电流为关联参考方向的情况下，电感的吸收功率为：dw=Pdt=LiL(t)diL(t)当电感容量一定时，电感的储能大小取决于它的端电流的平方。20UESTC3024).电感的储能在从初始时刻t0到任意时刻t时间内得到的能电容与电感的对偶关系:电容电感线性关系q(t)=CuC(t)微分关系积分关系能量关系21UESTC302电容与电感的对偶关系:电容电感线性关系q(t)=CuL3+_L1iu+_L2L3uL1uL2++__电感的串联与并联:1).串联u=uL1+uL2+uL3iu+_L0L0

=L1+L2+L322UESTC302uL3+_L1iu+_L2L3uL1uL2++__电感的串联2).并联i3L1iu+_L2L3i2i1i=i1+i2+i3iu+_L023UESTC3022).并联i3L1iu+_L2L3i2i1i=i1+i电容的串联与并联:uC3+C1iu+C2C3uC1uC2++––––1).串联u=uC1+uC2+uC3iu+–C024UESTC302电容的串联与并联:uC3+C1iu+C2C3uC1uC2++2).并联C1iu+C2C3i2–i1i3iu+–C0i=i1+i2+i3C0

=C1+C2+C325UESTC3022).并联C1iu+C2C3i2–i1i3iu+–C0i=§7－3动态电路的电路方程动态电路的电路方程是根据两类约束写出的一组微分方程。由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。两类约束KCL、KVL元件VCR例1,开关k在t=0时闭合，设uC(0)=u0求t>0时的电路方程。解：t>0时，由KVLUS=uR+uCuC(0)=u0iUS+–uRC+–uCRS+–26UESTC302§7－3动态电路的电路方程动态电路的电路方程是根例2,

列写出以电感电流为变量的微分方程。iL+–2V1A1H21解：1)把电感以外的电路作戴维宁等效。+–2V1A21uoc+–uoc=2×1A+2V=4VRo=2+1=32)列写微分方程uoc+–RoiLLuL+–ROiL+uL=uOCi'L+3

iL=427UESTC302例2,列写出以电感电流为变量的微分方程。iL+–2V1A解：由KCL有：KVL有：整理得：例3,

设uc(0)=0，列写以u1为变量的微分方程。ku1i2i1CRRCu1+i3+－－28UESTC302解：由KCL有：KVL有：整理得：例3,设uc(0)=0uc+–+-2W1H0.25Fus3W例4,列出以uC为变量的微分方程。解：∵29UESTC302uc+–+-2W1H0.25Fus3W例4,列出以uC为§7-4动态电路的过渡过程和初始条件一、电路的暂态和稳态稳态：电路中电压、电流处于稳定状态，即直流状态。暂态：电路从一个稳态到另一个稳态的过渡状态。只有含有储能元件的电路才具有暂态过程。例,开关k在t=0时闭合，设

uC

(0)=u0

<USt<0时uC

(0)=u0,i=0

电路处于稳态。

t>0时瞬间电容开始充电i>0,电充足后

i=0

uC=US

电路又处于稳态。uC

由

u0过渡到US

时的过渡过程称为暂态。iUS+–uRC+–uCRS+–30UESTC302§7-4动态电路的过渡过程和初始条件一、电路的暂态和稳态在由直流电源激励的电路中，在稳定状态下各电压电流均为不随时间变化的恒定值。造成电感电压电感相当于短路；电容电流电容相当于开路。0t稳态稳态暂态uCi=0i=0i>0iUS+–uRC+–uCRS+–31UESTC302在由直流电源激励的电路中，在稳定状态下各电压电流电感电压二、动态电路的初始条件在由直流电源激励的电路中，在稳定状态下各电压电流均为不随时间变化的恒定值。造成电感电压电感相当于短路；电容电流电容相当于开路。NSCLiCuc+－uL+－S在含有开关的电路中，开关动作前后很久，电感相当于短路；电容相当于开路。iC＝0、uL＝032UESTC302二、动态电路的初始条件在由直流电源激励的电路中，在稳定状换路定律设开关在

t=0时刻动作设：t=0–

为

t=0的前一瞬间t=0+为

t=0的后一瞬间根据电容电压和电感电流的连续性换路瞬间电容电压不发生突变；换路瞬间电感电流不发生突变。NSCLiCuc+－uL+－S即：uC(0+)=uC(0–

)、iL(0+)=iL(0–)二、动态电路的初始条件33UESTC302换路定律设开关在t=0时刻动作t=0–为例1,t=0时开关打开求uC

(0+)、iC(0+)。(1)由0–电路求uC(0–)t=0–时电路处于稳态iC(0–)

=00–

等效电路(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0-)=8V三.电路初始值的确定+–10Viic+uC–10k40k+–10Viic+uC–10k40kS34UESTC302例1,t=0时开关打开(1)由0–电路求uC

由0+等效电路

求

iC(0+)在0+等效

电路电路中电容两端电压为8V0+等效

电路iC(0)=iC(0+)=0.2mA由此例可见iC(0+)≠

iC(0–)+–10Viic+uC–10k40kS+–10Viic+uC–10k40k35UESTC302由0+等效电路在0+等效电路电路中0+等效电路iCiL(0+)=iL(0–)=2A例2,在t=0时闭合开关k,求uL(0+)iLL10V14KuL+–再由0+电路解：t<0时uL(0)=0iL(0–)=10/(1+4)=2A由换路定律

uL(0+)=－2×4＝－8V电感一般有：

uL(0+)≠uL(0–)iLL10V14uL+–0+等效电路36UESTC302iL(0+)=iL(0–)=2A例2,在t=0时例3，图示直流稳态电路中求电容的储能WC及电感的储能WL。UC+–+-2W4H1F12V1W3WIL解：37UESTC302例3，图示直流稳态电路中求电容的储能WC及电感的储UC+–+例4,由0+电路：iL(0+)=iL(0)=ISuC(0+)=uC(0)=RISuL(0+)=uC(0+)=RISiC(0+)=iL(0+)uC(0+)/R=ISIS=0求

iC(0+),uL(0+).解：uL+–iLISSLRC+–uCuL+–iLLRC+–uC38UESTC302例4,由0+电路：iL(0+)=iL(0)=IS124+–2V3HiLi图示电路若中已知,则i应等于(

)。

解：例5，填空题39UESTC302124+–2V3HiLi图示电路若中已知i3:1C3F+–u例6，如图9所示电路，已知u1(0)=3V，u2

(0)=8V，求开关闭合后，电路达到稳态时，电压u1等于？例7，试写出端口的电压电流关系：C2+–u2SC1+–u142mF3mF解：t=∞时，电路达到稳态，由电荷守恒条件u1(∞)=u2(∞)c1u1(0)＋c2u2(0)=c1u1(∞)＋c2u2(∞)∴u1=u1(∞)=[c1u1(0)＋c2u2(0)]/(c1＋c2)=6V+–uCiC解：u

=nuCiC=ni40UESTC302i3:1C3F+–u例6，如图9所示电路，已知u1(0)第七章作业：

7–6;7–9;7–12;7–13。41UESTC302第七章作业：7–6;7–9;41第七章电容元件和电感元件§7－1电容元件√§7－2电感元件√§7－3动态电路的电路方程√§7－4

动态电路的过渡过程和初始条件√42UESTC302第七章电容元件和电感元件§7－1电容元件√1UEST电容元件电感元件43UESTC302电容元件电感元件2UESTC302

电容元件和电感元件称为动态元件，含有电容元件和电感元件的电路称为动态电路。动态电路的响应由微分方程确定。动态电路具有记忆性。由一阶微分方程确定其响应的电路称为一阶电路;由二阶微分方程确定其响应的电路称为二阶电路。两类约束动态电路中电压电流的约束关系：KCL、KVL元件VCRCL44UESTC302电容元件和电感元件称为动态元件，含有电容元件和电感元§7－1电容元件(capacitor)

一、电容元件(capacitor)电容器是一种能存贮电荷的器件。

线性电容元件是理想化的器件，其原型是平板电容器，电容器的特性用存储在极板上的电荷量q与两极板之间的电压u在q-u平面上的一条曲线f(q,u)=0来描述。u

+q-q++++++++--------SUS+_0uq非线性电容线性电容元件45UESTC302§7－1电容元件(capacitor)一、电容元件(c

线性时不变电容元件的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其的数学表达式为C——称为电容器的电容量是特性曲线的斜率。电容

C的单位：F(法)(Farad，法拉)F=C/V=A·S/V=S/qu0

法拉的单位很大，实用中常采用微法F(10-6F)和皮法

pF(10-12F)。q(t)=C·uC(t)

++++++++--------+q-quC+

-46UESTC302线性时不变电容元件的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的1.电容元件的电压电流关系

q(t)=C·uc(t)由：电容VCR的微分关系：电容VCR的微分关系说明:iC的大小与uC的大小无关，而是取决于uC的变化率，若uC(t)

=常数（直流），则电容元件相当于开路。iCuC+KuS+－RSC－47UESTC3021.电容元件的电压电流关系q(t)=C·uc(t)由：电容VCR的积分关系：积分常数uc(to)称为电容电压的初始值。CiCuC+

-由电容VCR的微分关系可得到它的积分关系。因为电容具有记忆性，积分下限取负无穷大。48UESTC302电容VCR的积分关系：积分常数uc(to)称为电容电压的初tuC0tiC0iCM应用举例：例1,设电容电压uC波形为三角波，求电容电流iC波形。解：t1t2当t

=0~t1

时,设uC=a+k1t当

t

=t1~t2时,设uC=a-k2tiC(t)=Ck1iC(t)=-Ck2uC为三角波,iC必为方波。CiCuC+

-49UESTC302tuC0tiC0iCM应用举例：例1,设电容电压uC波形为C+–ui+–uOR+uC–iC例2，设uC=UCMsinwtV,求uO波形。解：tOuCuO电容电流iC的相位超前电容电压uC的相位90º。50UESTC302C+–ui+–uOR+uC–iC例2，设uC=UCMsin2.电容电压的记忆性和连续性上式反映了电容电压的记忆性和连续性。A)电容电压的记忆性

uc(to)称为电容电压的初始值。它表征电容上电流的“历史”能够被电压所“记忆”。也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻to的电压都有一定的贡献。iCuC+KuS+－RSC－51UESTC3022.电容电压的记忆性和连续性上式反映了电容电压的记忆性和连续B)电容电压的连续性上式表明当iC为有限值时,uC的建立需要一定时间，建立时间短时uC的变化很小。特别当t→0时，uC→0。即当电容电流为有限值时，电容电压不能突变。利用电容电压的连续性，设计出电容滤波电路。52UESTC302B)电容电压的连续性上式表明当iC为有限值时,C+–ui+–uoR电容滤波电路ui=Umsinwt+uN(t)

设输入信号为正弦波，受到干扰时t0uit0uouN(t)——输入信号中的干扰，一般为高次谐波或为随机瞬间突变电压。电容滤波电路利用电容电压的连续性来滤除输入信号中混入的干扰，使输出波形平滑。53UESTC302C+–ui+–uoR电容滤波电路ui=Umsinwt+

在电压电流采用关联参考方向的情况下，电容的吸收功率为:Cuc+－ic储能：3.电容的储能当电容容量一定时，电容的储能大小取决于它的端电压的平方。54UESTC302

在电压电流采用关联参考方向的情况下，电容的吸收功率为:CiLuL+－0i非线性电感线性电感元件当这条曲线是一条过原点的直线时，称为线性电感。一.电感元件电感元件的原型是空芯线圈，基本特性用

-i平面上的一条曲线fL(

,i)=0描述。§7－2电感元件(inductor)55UESTC302iLuL+－0i非线性电感线性电感元件当这条曲线是一条过

流过线性电感元件的电流与电感线圈的磁链成正比为电感线圈的磁链L称为自感系数(电感量)L的单位名称：亨(利)符号：H(Henry）亨利的单位很大，实用中常采用毫亨mH(10-3H)和微亨H(10-6H)。i0i56UESTC302流过线性电感元件的电流与电感线圈的磁链成正比为电感线二.线性电感的电流电压关系：根据电磁感应定律：(i,右螺旋;u,i关联)1).线性电感VCR的微分关系LuLiL+–此式表明电感的端电压与其电流对时间的变化率成正。直流工作状态下电感相当于短路。

i1–+uL57UESTC302二.线性电感的电流电压关系：根据电磁感应定律：1).线性2).线性电感VCR的积分关系：由：积分常数iL(to)称为电感电流的初始值。uS+–RSiLLuL+–58UESTC3022).线性电感VCR的积分关系：由：积分常数iL(to)3).电感电流的记忆性和连续性A)记忆性上式反映了电感电流的记忆性和连续性。iLiL利用电感电流的记忆性设计出磁芯存储器、磁悬浮列车。NS59UESTC3023).电感电流的记忆性和连续性A)记忆性上式反映了电感电流B)连续性上式表明当uL为有限值时,iL

的建立需要一定时间，建立时间短时iL的变化很小。特别当t→0时，iL→0。即当电感电压为有限值并且突变时，电感电流不能突变。应用电感电流的连续性，设计出电感滤波电路。iL+–ui+–uoLR60UESTC302B)连续性上式表明当uL为有限值时,iL的建4).电感的储能在从初始时刻t0到任意时刻t时间内得到的能量为：在电压电流为关联参考方向的情况下，电感的吸收功率为：dw=Pdt=LiL(t)diL(t)当电感容量一定时，电感的储能大小取决于它的端电流的平方。61UESTC3024).电感的储能在从初始时刻t0到任意时刻t时间内得到的能电容与电感的对偶关系:电容电感线性关系q(t)=CuC(t)微分关系积分关系能量关系62UESTC302电容与电感的对偶关系:电容电感线性关系q(t)=CuL3+_L1iu+_L2L3uL1uL2++__电感的串联与并联:1).串联u=uL1+uL2+uL3iu+_L0L0

=L1+L2+L363UESTC302uL3+_L1iu+_L2L3uL1uL2++__电感的串联2).并联i3L1iu+_L2L3i2i1i=i1+i2+i3iu+_L064UESTC3022).并联i3L1iu+_L2L3i2i1i=i1+i电容的串联与并联:uC3+C1iu+C2C3uC1uC2++––––1).串联u=uC1+uC2+uC3iu+–C065UESTC302电容的串联与并联:uC3+C1iu+C2C3uC1uC2++2).并联C1iu+C2C3i2–i1i3iu+–C0i=i1+i2+i3C0

=C1+C2+C366UESTC3022).并联C1iu+C2C3i2–i1i3iu+–C0i=§7－3动态电路的电路方程动态电路的电路方程是根据两类约束写出的一组微分方程。由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。两类约束KCL、KVL元件VCR例1,开关k在t=0时闭合，设uC(0)=u0求t>0时的电路方程。解：t>0时，由KVLUS=uR+uCuC(0)=u0iUS+–uRC+–uCRS+–67UESTC302§7－3动态电路的电路方程动态电路的电路方程是根例2,

列写出以电感电流为变量的微分方程。iL+–2V1A1H21解：1)把电感以外的电路作戴维宁等效。+–2V1A21uoc+–uoc=2×1A+2V=4VRo=2+1=32)列写微分方程uoc+–RoiLLuL+–ROiL+uL=uOCi'L+3

iL=468UESTC302例2,列写出以电感电流为变量的微分方程。iL+–2V1A解：由KCL有：KVL有：整理得：例3,

设uc(0)=0，列写以u1为变量的微分方程。ku1i2i1CRRCu1+i3+－－69UESTC302解：由KCL有：KVL有：整理得：例3,设uc(0)=0uc+–+-2W1H0.25Fus3W例4,列出以uC为变量的微分方程。解：∵70UESTC302uc+–+-2W1H0.25Fus3W例4,列出以uC为§7-4动态电路的过渡过程和初始条件一、电路的暂态和稳态稳态：电路中电压、电流处于稳定状态，即直流状态。暂态：电路从一个稳态到另一个稳态的过渡状态。只有含有储能元件的电路才具有暂态过程。例,开关k在t=0时闭合，设

uC

(0)=u0

<USt<0时uC

(0)=u0,i=0

电路处于稳态。

t>0时瞬间电容开始充电i>0,电充足后

i=0

uC=US

电路又处于稳态。uC

由

u0过渡到US

时的过渡过程称为暂态。iUS+–uRC+–uCRS+–71UESTC302§7-4动态电路的过渡过程和初始条件一、电路的暂态和稳态在由直流电源激励的电路中，在稳定状态下各电压电流均为不随时间变化的恒定值。造成电感电压电感相当于短路；电容电流电容相当于开路。0t稳态稳态暂态uCi=0i=0i>0iUS+–uRC+–uCRS+–72UESTC302在由直流电源激励的电路中，在稳定状态下各电压电流电感电压二、动态电路的初始条件在由直流电源激励的电路中，在稳定状态下各电压电流均为不随时间变化的恒定值。造成电感电压电感相当于短路；电容电流电容相当于开路。NSCLiCuc+－uL+－S在含有开关的电路中，开关动作前后很久，电感相当于短路；电容相当于开路。iC＝0、uL＝073UESTC302二、动态电路的初始条件在由直流电源激励的电路中，在稳定状换路定律设开关在

t=0时刻动作设：t=0–

为

t=0的前一瞬间t=0+为

t=0的后一瞬间根据电容电压和电感电流的连续性换路瞬间电容电压不发生突变；换路瞬间电感电流不发生突变。NSCLiCuc+－uL+－S即：uC(0+)=uC(0–

)、iL(0+)=iL(0–)二、动态电路的初始条件74UESTC302换路定律设开关在t=0时刻动作t=0–为例1,t=0时开关打开求uC

(0+)、iC(0+)。(1)由0–电路求uC(0–)t=0–时电路处于稳态iC(0–)

=00–

等效电路(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0-)=8V三.电路初始值的确定+–10Viic+uC–10k40k+–10Viic+uC–10k40kS75UESTC302例1,t=0时开关打开(1)由0–电路求uC