材料力学压杆稳定(课堂)课件

第九章压杆稳定1第九章压杆稳定1一、工程中的压杆二、压杆的失效形式三、压杆失稳的实例§9.1

压杆稳定的概念四、压杆稳定的概念2一、工程中的压杆二、压杆的失效形式三、压杆失稳的实例§9.1一、工程中的压杆：

网架结构中的杆3一、工程中的压杆：网架结构中的杆3

网架结构中的杆一、工程中的压杆：4网架结构中的杆一、工程中的压杆：4

网架结构中的杆一、工程中的压杆：5网架结构中的杆一、工程中的压杆：5

钢结构桥梁中的杆一、工程中的压杆：6钢结构桥梁中的杆一、工程中的压杆：6

铁塔中的杆一、工程中的压杆：7铁塔中的杆一、工程中的压杆：7

小亭的立柱一、工程中的压杆：8小亭的立柱一、工程中的压杆：8

桥墩一、工程中的压杆：9桥墩一、工程中的压杆：9

吊车的顶杆一、工程中的压杆：10吊车的顶杆一、工程中的压杆：10

火车卧铺的撑杆一、工程中的压杆：11火车卧铺的撑杆一、工程中的压杆：11

压力机的压杆一、工程中的压杆：12压力机的压杆一、工程中的压杆：12

强度不足

失稳————

粗短压杆细长压杆二、压杆的失效形式13强度不足失稳————粗短压杆细长

1.1907年加拿大圣劳伦斯河在架奎伯克桥时，由于悬臂桁架中的一根压杆失稳，造成桥梁倒塌，9000吨钢材变成一堆废墟。三、压杆失稳的实例141.1907年加拿大圣劳伦斯河在架奎伯克桥时，由于悬1907年加拿大魁北克桥的失稳(跨度548m,重9000T。86人施工，死75人)151907年加拿大魁北克桥的失稳15

2.1922年冬天下大雪，美国华盛顿尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的一根压杆超载失稳，造成剧院倒塌，死98人，伤100余人。162.1922年冬天下大雪，美国华盛顿尼克尔卜克尔剧院

3.2000年10月25日上午10时30分，在南京电视台演播中心演播厅屋顶的浇筑混凝土施工中，因脚手架失稳，造成演播厅屋顶模板倒塌，死5人，伤35人。173.2000年10月25日上午10时30分，在南京电第一节压杆稳定的概念18第一节压杆稳定的概念181.稳定的分类无穷多个平衡点—随遇平衡一个平衡点—稳定平衡没有平衡点—不稳定平衡2.失稳的定义压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态下的不稳定平衡成为失稳。临界压力--使压杆失稳的压力称为临界压力。四、压杆稳定的概念191.稳定的分类无穷多个平衡点—随遇平衡一个平衡点—稳定平衡没F轴压F（较小）压弯F（较小）恢复直线平衡曲线平衡直线平衡QF（特殊值）压弯失稳曲线平衡曲线平衡F（特殊值）保持常态、稳定失去常态、失稳QQQ20F轴压F（较小）压弯F（较小）恢复直线平衡曲线平衡直线平衡Q压杆失稳的现象：1.

轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态；2.

轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯一的平衡状态；稳定：理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）（Stable）直线平衡状态；失稳：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直（Unstable）线平衡状态；压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值临界力（Criticalforce）21压杆失稳的现象：1.轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式思路：假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态平衡，1）求得的挠曲函数≡0，2）求得不为零的挠曲函数，然后设法去求挠曲函数。若：平衡状态；说明只有直线确能够在曲线状态下平衡，说明压杆的稳现象。即出现失22§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式思路：假设压杆在某设：由压杆处于微弯状态，且p一、两端铰支细长压杆的临界压力23设：由压杆处于微弯状态，且p一、两端铰支细长压杆的(c)(n

=

0，1，2，)x=0，w=0

x=l，w=0由kl＝p有亦即两端铰支细长中心压杆临界力公式：24(c)(n=0，1，2，)x=0，w=0由kl＝p有讨论：失稳挠曲线——半正弦波曲线

杆在任意微弯状态下保持平衡时d为不确定的值。这是因为推导过程中是用的挠曲线近似微分方程。25讨论：失稳挠曲线——半正弦波曲线杆在任意微弯状态下保持临界压力的精确解精确解（近似解）欧拉解精确失稳挠曲线微分方程？26临界压力的精确解精确解（近似解）欧拉解精确失稳挠曲线微分方程欧拉公式适用于小变形情况临界压力的精确解27欧拉公式适用于小变形情况临界压力的精确解27

推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式。图中xy平面为杆的弯曲刚度最小的平面。§9-3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式·压杆的长度因数

现在来推导另一些杆端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。28推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉1.建立压杆挠曲的近似微分方程解:2.求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力令由(1)式得291.建立压杆挠曲的近似微分方程解:2.求解挠曲线的近似微一阶导数为

根据边界条件x=0，w=0得A＝0。由边界条件x=0，w=0得B=-d。

x=l时

w=d，由(4)式出30一阶导数为根据边界条件x=0，w=0得A＝0得coskl=0。kl的最小值为kl=p/2，亦即从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：31得coskl=0。kl的最小值为kl=p/2，亦

试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式。图(a)中的xy平面为杆的最小弯曲刚度平面。32试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临令k2=Fcr

/EI，将上式改写为33令k2=Fcr/EI，将上式改写为33式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。

由边界条件x=0，w=0得

A=Fy(kFcr)。

由边界条件x=0，w=0得

B=-Fyl/Fcr。再利用边界条件x=l，w=0，由上式得34式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。由边界条件x=0，由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等于零，故由上式得

满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即，从而得到此压杆临界力的欧拉公式为亦即35由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等于零，故由上式得

k=4.49/l代入式(c)即得此压杆对应于上列临界力的挠曲线方程：利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在

x=0.3l处(图b)。36k=4.49/l代入式(c)即得此压杆对应于上解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:例试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。ＦLxＦM0ＦM0ＦM0xＦFw-M037解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:例试为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界力为：=0.538为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界0.5l各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状FcrABl临界力Fcr欧拉公式长度系数μμ=1μ0.7μ=0.5μ=2μ=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点0.5lFcrFcrl2llC—挠曲线拐点390.5l各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承

表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：

m---长度因数，它与杆端约束情况有关；

ml——压杆的相当长度，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为ml的两端铰支压杆的临界力。40表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中1.一端固定、另一端自由411.一端固定、另一端自由412.两端固定422.两端固定423.一端固定、另一端铰支433.一端固定、另一端铰支43

运用欧拉公式计算临界力时需要注意：当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的I应是杆的横截面的最小形心主惯性矩Imin。当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：xyz轴销44运用欧拉公式计算临界力时需要注意：xyz轴销44对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。xyz轴销45对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，对应于杆在[例]五根直径都为d的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。

求图(a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。46[例]五根直径都为d的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系ABC解（a）BD杆受压其余杆受拉BD杆的临界压力47解（a）BD杆受压其余杆受拉BD杆的临界压力47（b）BD杆受拉其余杆受压四个杆的临界压力48（b）BD杆受拉其余杆受压四个杆的临界压力48[例]图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆（设0<θ<π/2）。求载荷P为最大值时的θ角。②①49[例]图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆（设0<两杆的临界压力分别为②①50两杆的临界压力分别为②①50§9.4

欧拉公式的使用范围临界应力总图欧拉公式一、欧拉临界应力公式及其使用范围

临界应力——临界压力除以横截面面积

1.临界应力51§9.4欧拉公式的使用范围临界应力总图欧拉公式一、欧拉临即：

——惯性半径

——压杆的柔度或细长比反映了杆端的约束情况、杆的长度、横截面的尺寸和形状等因素对临界应力的综合影响是无量纲量52即：——惯性半径——压杆的柔度或

2.适用范围

欧拉公式的适用范围：即：记：满足p的压杆与材料的力学性能有关对于Q235钢：E=200GPa，p=200MPa大柔度杆（细长杆）——532.适用范围欧拉公式的适用范围：即：记：满足欧拉公式的应用条件：大柔度杆二、中柔度杆的临界应力计算1.直线型经验公式P<<S

时：54欧拉公式的应用条件：大柔度杆二、中柔度杆的临界应力计算1.直2.抛物线型经验公式我国建筑业常用：P<<s

时：552.抛物线型经验公式我国建筑业常用：P<<s时：553、折减弹性模量公式σsσcrOλσpλp563、折减弹性模量公式σsσcrOλσpλp56三、小柔度杆的临界应力这类压杆不会出现失稳现象，应按强度问题计算。满足s的压杆

临界应力cr

=

s小柔度杆（粗短杆）——57三、小柔度杆的临界应力这类压杆不会出现失稳现象，应按强度问题四、临界应力总图bass-=sl

PPEspl2

=可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小58四、临界应力总图bass-=slPPEspl2例

图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，解：

1.求

查表：

试求立柱的临界压力。

属于中柔度杆查表：Q235钢2.求Fcr查表：59例图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，解：解：1）求BC杆的轴力例：托架的撑杆为钢管，外径D=50mm，内径d=40mm，两端铰支，材料为Q235钢，E=206GPa。试根据该杆的稳定性要求，确定横梁上均布载荷集度1m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ-

Ⅰ

截面

A

B

C

q

q之许可值。分析AB杆:2）求BC杆的临界力=707mm2。=181132mm4。=16mm=144.360解：1）求BC杆的轴力例：托架的撑杆为钢管，外径D=50mmλ>λP=100（前面已求得），用欧拉公式计算BC杆的临界力。×181132(1.0×2/cos30°×103)21m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

A

B

C

q

=69kN≤Fcr

=69得：q=15.3kN/m61λ>λP=100（前面已求得），×181132(1.0×2/§9-5压杆的稳定条件

为保证实际压杆具有足够的稳定性，在稳定计算中需纳入稳定安全因数nst，取稳定条件(stabilitycondition)为式中，[s]st=scr/nst为压杆的稳定许用应力。亦即一、安全因数法62§9-5压杆的稳定条件为保证实际压杆具有足二、稳定计算的三类问题

1.稳定校核

2.选择截面

3.确定许用载荷63二、稳定计算的三类问题1.稳定校核2.选择截例

一连杆如图所示，材料为35钢，最大压力F=60kN解：

1.求

，确定失稳平面(1)在xy平面内失稳时

nst=4，试校核此连杆的稳定性。

∴连杆在xz平面内失稳(2)在xz平面内失稳时查表：为中柔度杆64例一连杆如图所示，材料为35钢，最大压力F=60kN解：2.校核稳定性∴连杆安全查表：652.校核稳定性∴连杆安全查表：65[例]托架AB杆是圆管，外径D=50mm，两端为球铰，材料为Q235钢，E=206GPa,p=100。若规定nst=3,试确定许可荷载F。（1）分析受力解：BAC1500FD50030o取CBD横梁研究FABFCB(2)计算并求临界荷载66[例]托架AB杆是圆管，外径D=50mm，两端为球铰，材料为Q235钢，λp=100,λ＞λp，用欧拉公式(3)根据稳定条件求许可荷载67Q235钢，λp=100,λ＞λp，用欧拉公式(3)根据稳定1.影响实际压杆稳定性的因素初曲率压力偏心残余应力2.稳定许用应力

称为稳定因数，与柔度λ有关。

对于Q235，可查表获得；为了应用方便三、稳定因数法681.影响实际压杆稳定性的因素初曲率压力偏心残余应力2.稳

我国钢结构设计规范,根据对常用截面形式、尺寸和加工工艺的96根钢压杆，考虑初曲率和加工产生的残余应力所作数值计算结果，选取适当的安全因数后，给出了钢压杆稳定因数j与柔度l的一系列关系值。

该规范按钢压杆中残余应力对临界应力的影响从小到大分为a、b、c三类截面。大多数钢压杆可取作b类截面压杆。表9-3为Q235钢b类截面中心压杆随柔度l变化的稳定因数j。69我国钢结构设计规范,根据对常用截面形式、尺寸和加工工表9-3

Q235钢b类截面中心受压直杆的稳定因数j70表9-3Q235钢b类截面中心受压直杆的稳定因数j70

例：由Q235钢加工成的工字型截面杆件，xy面内失稳时，杆端约束接近于两端铰支，μz=1.0；xz平面内失稳时，杆端约束接近于两端固定，μy=0.6。已知连杆在工作时承受的最大压力为F=35kN，材料的强度许用应力[σ]=206MPa,并符合钢结构设计规范中a类中心受压杆的要求。试校核其稳定性。

O

l

=580

l

=750

12

22

6

6

24

x

x

y

y

z

1

2

O

Iz=7.40×104mm4Iy=1.41×104mm4A=522mm271例：由Q235钢加工成的工字型截面杆件，xy面内失稳时解：O

l

=580

l

=750

12

22

6

6

24

x

x

y

y

z

1

2

O

Iz=7.40×104mm4Iy=1.41×104mm4A=522mm25225221)计算惯性半径2)计算柔度l2iy5805.05=68.9l1iz75011.58=64.872解：Ol=580l=7501222663)求稳定因数取λy和λz中较大的λy来查表和计算：φ=0.849+(0.844-0.849)=0.8454)求稳定许用应力[σ]st=φ[σ]=0.845×206=174MPa=64.3MPa<[σ]st故该连杆满足稳定性要求。

此题中的连杆在两个平面失稳时的约束情况、计算

长度和惯性矩都不同，应分别计算其柔度以判断其稳定

性的强弱。

733)求稳定因数取λy和λz中较大的λy来查表和计算：φ=0[例]图示结构，CF为铸铁圆杆，直径d1=10cm

[c]=120MPa,E=120GPa。BE为A3钢圆杆,直径d2=5cm，[]=160MPa,E=200GPa,横梁视为刚性，

求许可荷载F。解：1、结构为一次超静定，求杆内力aaaDEFCFBADCPBANsNc变形条件：74[例]图示结构，CF为铸铁圆杆，直径d1=10cm

[代入第一式后求解得：2、求杆许可荷载：1）按BE杆：75代入第一式后求解得：2、求杆许可荷载：1）按BE杆：752）按压杆FC计算：762）按压杆FC计算：76

图示为简易起重装置，其扒杆(图中的斜杆)为平均直径d=300mm的红松，长度

l＝6m，顺纹抗压强度许用应力[s]＝10MPa。试求该扒杆所能承受的许用压力值。例题77图示为简易起重装置，其扒杆(图中的斜杆)为平均直径d1.我国规范的有关规定

木结构设计规范中对木制压杆，按树种的弯曲强度分两类给出稳定因数j的计算公式。红松属于树种强度TC13级(“13”表示弯曲强度为13MPa)，该等级所属分类的稳定因数计算公式为时时解：781.我国规范的有关规定木结构设计规范中对木制压杆，2.求扒杆在图示平面内失稳时的许用压力[F1]

该扒杆在轴向压力作用下如果在图示平面内失稳，则由于其上端受水平钢丝绳的约束而基本上不能产生侧向位移而只能转动，其下端由于销钉的约束也只能转动，故扒杆大致相当于两端铰支压杆，长度因数可取为m＝1。792.求扒杆在图示平面内失稳时的许用压力[F1]该扒杆的柔度为式中因为，所以扒杆的许用压力为80扒杆的柔度为式中因为，所以扒杆的许用扒杆在垂直于图示平面的平面内失稳时，其上端通常没有任何约束，而下端由于受销钉约束基本上不能转动而可视为固定端，故长度因数可取为m＝2。3.求扒杆在垂直于图示平面的平面内失稳时的许用压力[F2]81扒杆在垂直于图示平面的平面内失稳时，其上端通常没有任何约束，扒杆的柔度为因l>91，稳定因数为扒杆的许用压力为82扒杆的柔度为因l>91，稳定因数为扒杆的许用压力为824.确定扒杆所能承受的许用压力[F]因为[F2]<[F1]所以[F]=77kN834.确定扒杆所能承受的许用压力[F]因为[F2]<[一、选择合理的截面形状二、改变压杆的约束条件三、减小压杆的长度§9.6提高压杆稳定性的措施四、合理选择材料84一、选择合理的截面形状二、改变压杆的约束条件三、减小压杆的长第九章压杆稳定85第九章压杆稳定1一、工程中的压杆二、压杆的失效形式三、压杆失稳的实例§9.1

压杆稳定的概念四、压杆稳定的概念86一、工程中的压杆二、压杆的失效形式三、压杆失稳的实例§9.1一、工程中的压杆：

网架结构中的杆87一、工程中的压杆：网架结构中的杆3

网架结构中的杆一、工程中的压杆：88网架结构中的杆一、工程中的压杆：4

网架结构中的杆一、工程中的压杆：89网架结构中的杆一、工程中的压杆：5

钢结构桥梁中的杆一、工程中的压杆：90钢结构桥梁中的杆一、工程中的压杆：6

铁塔中的杆一、工程中的压杆：91铁塔中的杆一、工程中的压杆：7

小亭的立柱一、工程中的压杆：92小亭的立柱一、工程中的压杆：8

桥墩一、工程中的压杆：93桥墩一、工程中的压杆：9

吊车的顶杆一、工程中的压杆：94吊车的顶杆一、工程中的压杆：10

火车卧铺的撑杆一、工程中的压杆：95火车卧铺的撑杆一、工程中的压杆：11

压力机的压杆一、工程中的压杆：96压力机的压杆一、工程中的压杆：12

强度不足

失稳————

粗短压杆细长压杆二、压杆的失效形式97强度不足失稳————粗短压杆细长

1.1907年加拿大圣劳伦斯河在架奎伯克桥时，由于悬臂桁架中的一根压杆失稳，造成桥梁倒塌，9000吨钢材变成一堆废墟。三、压杆失稳的实例981.1907年加拿大圣劳伦斯河在架奎伯克桥时，由于悬1907年加拿大魁北克桥的失稳(跨度548m,重9000T。86人施工，死75人)991907年加拿大魁北克桥的失稳15

2.1922年冬天下大雪，美国华盛顿尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的一根压杆超载失稳，造成剧院倒塌，死98人，伤100余人。1002.1922年冬天下大雪，美国华盛顿尼克尔卜克尔剧院

3.2000年10月25日上午10时30分，在南京电视台演播中心演播厅屋顶的浇筑混凝土施工中，因脚手架失稳，造成演播厅屋顶模板倒塌，死5人，伤35人。1013.2000年10月25日上午10时30分，在南京电第一节压杆稳定的概念102第一节压杆稳定的概念181.稳定的分类无穷多个平衡点—随遇平衡一个平衡点—稳定平衡没有平衡点—不稳定平衡2.失稳的定义压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态下的不稳定平衡成为失稳。临界压力--使压杆失稳的压力称为临界压力。四、压杆稳定的概念1031.稳定的分类无穷多个平衡点—随遇平衡一个平衡点—稳定平衡没F轴压F（较小）压弯F（较小）恢复直线平衡曲线平衡直线平衡QF（特殊值）压弯失稳曲线平衡曲线平衡F（特殊值）保持常态、稳定失去常态、失稳QQQ104F轴压F（较小）压弯F（较小）恢复直线平衡曲线平衡直线平衡Q压杆失稳的现象：1.

轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态；2.

轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯一的平衡状态；稳定：理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）（Stable）直线平衡状态；失稳：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直（Unstable）线平衡状态；压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值临界力（Criticalforce）105压杆失稳的现象：1.轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式思路：假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态平衡，1）求得的挠曲函数≡0，2）求得不为零的挠曲函数，然后设法去求挠曲函数。若：平衡状态；说明只有直线确能够在曲线状态下平衡，说明压杆的稳现象。即出现失106§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式思路：假设压杆在某设：由压杆处于微弯状态，且p一、两端铰支细长压杆的临界压力107设：由压杆处于微弯状态，且p一、两端铰支细长压杆的(c)(n

=

0，1，2，)x=0，w=0

x=l，w=0由kl＝p有亦即两端铰支细长中心压杆临界力公式：108(c)(n=0，1，2，)x=0，w=0由kl＝p有讨论：失稳挠曲线——半正弦波曲线

杆在任意微弯状态下保持平衡时d为不确定的值。这是因为推导过程中是用的挠曲线近似微分方程。109讨论：失稳挠曲线——半正弦波曲线杆在任意微弯状态下保持临界压力的精确解精确解（近似解）欧拉解精确失稳挠曲线微分方程？110临界压力的精确解精确解（近似解）欧拉解精确失稳挠曲线微分方程欧拉公式适用于小变形情况临界压力的精确解111欧拉公式适用于小变形情况临界压力的精确解27

推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式。图中xy平面为杆的弯曲刚度最小的平面。§9-3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式·压杆的长度因数

现在来推导另一些杆端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。112推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉1.建立压杆挠曲的近似微分方程解:2.求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力令由(1)式得1131.建立压杆挠曲的近似微分方程解:2.求解挠曲线的近似微一阶导数为

根据边界条件x=0，w=0得A＝0。由边界条件x=0，w=0得B=-d。

x=l时

w=d，由(4)式出114一阶导数为根据边界条件x=0，w=0得A＝0得coskl=0。kl的最小值为kl=p/2，亦即从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：115得coskl=0。kl的最小值为kl=p/2，亦

试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式。图(a)中的xy平面为杆的最小弯曲刚度平面。116试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临令k2=Fcr

/EI，将上式改写为117令k2=Fcr/EI，将上式改写为33式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。

由边界条件x=0，w=0得

A=Fy(kFcr)。

由边界条件x=0，w=0得

B=-Fyl/Fcr。再利用边界条件x=l，w=0，由上式得118式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。由边界条件x=0，由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等于零，故由上式得

满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即，从而得到此压杆临界力的欧拉公式为亦即119由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等于零，故由上式得

k=4.49/l代入式(c)即得此压杆对应于上列临界力的挠曲线方程：利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在

x=0.3l处(图b)。120k=4.49/l代入式(c)即得此压杆对应于上解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:例试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。ＦLxＦM0ＦM0ＦM0xＦFw-M0121解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:例试为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界力为：=0.5122为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界0.5l各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状FcrABl临界力Fcr欧拉公式长度系数μμ=1μ0.7μ=0.5μ=2μ=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点0.5lFcrFcrl2llC—挠曲线拐点1230.5l各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承

表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：

m---长度因数，它与杆端约束情况有关；

ml——压杆的相当长度，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为ml的两端铰支压杆的临界力。124表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中1.一端固定、另一端自由1251.一端固定、另一端自由412.两端固定1262.两端固定423.一端固定、另一端铰支1273.一端固定、另一端铰支43

运用欧拉公式计算临界力时需要注意：当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的I应是杆的横截面的最小形心主惯性矩Imin。当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：xyz轴销128运用欧拉公式计算临界力时需要注意：xyz轴销44对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。xyz轴销129对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，对应于杆在[例]五根直径都为d的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。

求图(a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。130[例]五根直径都为d的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系ABC解（a）BD杆受压其余杆受拉BD杆的临界压力131解（a）BD杆受压其余杆受拉BD杆的临界压力47（b）BD杆受拉其余杆受压四个杆的临界压力132（b）BD杆受拉其余杆受压四个杆的临界压力48[例]图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆（设0<θ<π/2）。求载荷P为最大值时的θ角。②①133[例]图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆（设0<两杆的临界压力分别为②①134两杆的临界压力分别为②①50§9.4

欧拉公式的使用范围临界应力总图欧拉公式一、欧拉临界应力公式及其使用范围

临界应力——临界压力除以横截面面积

1.临界应力135§9.4欧拉公式的使用范围临界应力总图欧拉公式一、欧拉临即：

——惯性半径

——压杆的柔度或细长比反映了杆端的约束情况、杆的长度、横截面的尺寸和形状等因素对临界应力的综合影响是无量纲量136即：——惯性半径——压杆的柔度或

2.适用范围

欧拉公式的适用范围：即：记：满足p的压杆与材料的力学性能有关对于Q235钢：E=200GPa，p=200MPa大柔度杆（细长杆）——1372.适用范围欧拉公式的适用范围：即：记：满足欧拉公式的应用条件：大柔度杆二、中柔度杆的临界应力计算1.直线型经验公式P<<S

时：138欧拉公式的应用条件：大柔度杆二、中柔度杆的临界应力计算1.直2.抛物线型经验公式我国建筑业常用：P<<s

时：1392.抛物线型经验公式我国建筑业常用：P<<s时：553、折减弹性模量公式σsσcrOλσpλp1403、折减弹性模量公式σsσcrOλσpλp56三、小柔度杆的临界应力这类压杆不会出现失稳现象，应按强度问题计算。满足s的压杆

临界应力cr

=

s小柔度杆（粗短杆）——141三、小柔度杆的临界应力这类压杆不会出现失稳现象，应按强度问题四、临界应力总图bass-=sl

PPEspl2

=可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小142四、临界应力总图bass-=slPPEspl2例

图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，解：

1.求

查表：

试求立柱的临界压力。

属于中柔度杆查表：Q235钢2.求Fcr查表：143例图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，解：解：1）求BC杆的轴力例：托架的撑杆为钢管，外径D=50mm，内径d=40mm，两端铰支，材料为Q235钢，E=206GPa。试根据该杆的稳定性要求，确定横梁上均布载荷集度1m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ-

Ⅰ

截面

A

B

C

q

q之许可值。分析AB杆:2）求BC杆的临界力=707mm2。=181132mm4。=16mm=144.3144解：1）求BC杆的轴力例：托架的撑杆为钢管，外径D=50mmλ>λP=100（前面已求得），用欧拉公式计算BC杆的临界力。×181132(1.0×2/cos30°×103)21m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

A

B

C

q

=69kN≤Fcr

=69得：q=15.3kN/m145λ>λP=100（前面已求得），×181132(1.0×2/§9-5压杆的稳定条件

为保证实际压杆具有足够的稳定性，在稳定计算中需纳入稳定安全因数nst，取稳定条件(stabilitycondition)为式中，[s]st=scr/nst为压杆的稳定许用应力。亦即一、安全因数法146§9-5压杆的稳定条件为保证实际压杆具有足二、稳定计算的三类问题

1.稳定校核

2.选择截面

3.确定许用载荷147二、稳定计算的三类问题1.稳定校核2.选择截例

一连杆如图所示，材料为35钢，最大压力F=60kN解：

1.求

，确定失稳平面(1)在xy平面内失稳时

nst=4，试校核此连杆的稳定性。

∴连杆在xz平面内失稳(2)在xz平面内失稳时查表：为中柔度杆148例一连杆如图所示，材料为35钢，最大压力F=60kN解：2.校核稳定性∴连杆安全查表：1492.校核稳定性∴连杆安全查表：65[例]托架AB杆是圆管，外径D=50mm，两端为球铰，材料为Q235钢，E=206GPa,p=100。若规定nst=3,试确定许可荷载F。（1）分析受力解：BAC1500FD50030o取CBD横梁研究FABFCB(2)计算并求临界荷载150[例]托架AB杆是圆管，外径D=50mm，两端为球铰，材料为Q235钢，λp=100,λ＞λp，用欧拉公式(3)根据稳定条件求许可荷载151Q235钢，λp=100,λ＞λp，用欧拉公式(3)根据稳定1.影响实际压杆稳定性的因素初曲率压力偏心残余应力2.稳定许用应力

称为稳定因数，与柔度λ有关。

对于Q235，可查表获得；为了应用方便三、稳定因数法1521.影响实际压杆稳定性的因素初曲率压力偏心残余应力2.稳

我国钢结构设计规范,根据对常用截面形式、尺寸和加工工艺的96根钢压杆，考虑初曲率和加工产生的残余应力所作数值计算结果，选取适当的安全因数后，给出了钢压杆稳定因数j与柔度l的一系列关系值。

该规范按钢压杆中残余应力对临界应力的影响从小到大分为a、b、c三类截面。大多数钢压杆可取作b类截面压杆。表9-3为Q235钢b类截面中心压杆随柔度l变化的稳定因数j。153我国钢结构设计规范,根据对常用截面形式、尺寸和加工工表9-3

Q235钢b类截面中心受压直杆的稳定因数j154表9-3Q235钢b类截面中心受压直杆的稳定因数j70

例：由Q235钢加工成的工字型截面杆件，xy面内失稳时，杆端约束接近于两端铰支，μz=1.0；xz平面内失稳时，杆端约束接近于两端固定，μy=0.6。已知连杆在工作时承受的最大压力为F=35kN，材料的强度许用应力[σ]=206MPa,并符合钢结构设计规范中a类中心受压杆的要求。试校核其稳定性。

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