概率统计模型课件

概论统计模型一.传送系统的效率二.报童的诀窍三.牙膏的销售量

四.轧钢中的浪费概论统计模型一.传送系统的效率1概率模型

现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。本章讨论如何用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型--概率模型。概率模型2统计模型

如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的模型，那么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统计分析建立模型，这就是本章还要讨论的用途非常广泛的一类随机模型—统计回归模型。统计模型

如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限3一传送系统的效率在机械化生产车间里，排列整齐的工作台旁工人们紧张的生产同一种产品，工作台上放一条传送带在运转，带上设置若干钩子，工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走，如图。当生产进入稳定状态后，每个工人生产一件产品所需时间是不变的，而他挂产品的时刻是随机的。衡量这种传送系统的效率可以看他能否及时把工人的产品带走。在工人数目不变的情况下传送带速度越快，带上钩子越多，效率越高。要求构造衡量传送系统效率的指标，并在简化假设下建立模型描述这个指标与工人数目、钩子数量等参数的关系。…………传送带挂钩工作台一传送系统的效率要求构造衡量传送系统效率的指标，并在简化假41模型分析为了用传送带及时带走的产品数量来表示传送系统的效率，在工人生产周期（即生产一件产品的时间）相同的情况下，需要假设工人生产出一件产品后，要么恰好有空钩子经过工作台，他可以将产品挂上带走，要么没有空钩子经过，他将产品放下并立即投入下一件产品的生产，以保证整个系统周期性的运转。

工人生产周期相同，但由于各种因素的影响，经过相当长的时间后，他们生产完一件产品的时刻会不一致，认为是随机的，并在一个生产周期内任一时刻的可能性一样。由上分析，传送系统长期运转的效率等价于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品数与一周期内生产的全部产品数之比来描述。1模型分析为了用传送带及时带走的产品数量来表示传52模型假设3）在一周期内有个钩子通过每一工作台上方，钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的。4）每个工人在任何时刻都能触到一只钩子，且只能触到一只，在他生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果非空，则他只能将产品放下。放下的产品就永远退出这个传送系统。1）有个工人，其生产是独立的，生产周期是常数，个工作台均匀排列。2）生产已进入稳态，即每个工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能性的。2模型假设3）在一周期内有个钩子通过每一工作台上方63模型建立

将传送系统效率定义为一周期内带走的产品数与生产的全部产品数之比，记作，设带走的产品数为,生产的全部产品数为，则。需求出。得到的步骤如下：（均对一周期而言）任一只钩子被一名工人触到的概率是；任一只钩子不被一名工人触到的概率是；由工人生产的独立性，任一只钩子不被所有个工人挂上产品的概率，即任一只钩子为空钩的概率是；任一只钩子非空的概率是。

如果从工人的角度考虑，分析每个工人能将自己的产品挂上钩子的概率，这与工人所在的位置有关（如第1个工人一定可挂上），这样使问题复杂化。我们从钩子角度考虑，在稳定状态下钩子没有次序，处于同等地位。若能对一周期内的只钩子求出每只钩子非空的概率，则。3模型建立

将传送系统效率定义为一周期内带走的产7传送系统的效率指标为为了得到比较简单的结果，在钩子数相对于工人数较大，即较小的情况下，将多项式展开后只取前3项，则有如果将一周期内未带走的产品数与全部产品数之比记作再假定，则当时，上式给出的结果为用的精确表达式计算得传送系统的效率指标为为了得到比较简单的结果，在钩子数84模型评价这个模型是在理想情况下得到的，其中一些假设，如生产周期不变，挂不上钩子的产品退出系统等是不现实的，但模型的意义在于，一方面利用基本合理的假设将问题简化到能够建模的程度，并用简单的方法得到结果；另一方面所得到的简化结果具有非常简单的意义：指标与成正比，与成反比。通常工人数目是固定的，一周期内通过的钩子数增加一倍，可使“效率”降低一倍。思考：如何改进模型使“效率”降低？（可理解为相反意义的效率）4模型评价这个模型是在理想情况下得到的，其中一些假设，如生9考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法：在原来放置一只钩子处放置的两只钩子成为一个钩对。一周期内通过个钩对，任一钩对被任意工人触到的概率，不被触到的概率，于是任一钩对为空的概率是，钩对上只挂一件产品的概率是，一周期内通过的个钩子中，空钩的平均数是带走产品的平均数是未带走产品的平均数是按照上一模型的定义，有考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法：在原来放置一只钩子处放10和的近似展开，可得展开取4项，展开取3项。而上一模型中的方法有有当时，，所以该模型提供的方法比上一个模型好。注意：利用和的近似展开，可得展开取4项，展开取3项。而上一模型中的方法11二报童的诀窍问题：

报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。二报童的诀窍问题：12模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为份的概率是(r=0,1,2,…)有了和，就可以建立关于购进量的优化模型。模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过13模型建立：假设每天购进量是n份，需求量r是随机的，r可以小于，等于或大于n，所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。记报童每天购进份报纸的平均收入为，如果这天的需求量，则售出份，退回份；如果需求量则份将全部售出。需求量为的概率是，则问题归结为在已知时，求使最大。模型建立：假设每天购进量是n份，需求量r是随机的，r可以小于14

模型求解：通常需求量r和购进量n都相当大，将视为连续变量便于分析和计算，这时概率转化为概率密度函数计算则

模型求解：通常需求量r和购进量n都相当大，将视为连续变量15令使报童日平均收入达到最大的购进量，得到应满足上式。因为，所以根据需求量的概率密度的图形可以确定购进量在图中用分别表示曲线下的两块面积，则Onr令使报童日平均收入达到最大的购进量，得到应满足上式。因为，所16因为当购进超过份报纸时，是需求量不超过的概率，即卖不完的概率；是需求量的概率，即卖完的概率，所以上式表明，购进的份数应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱之比。因为当购进超过份报纸时，是需求量不超过的概率，即卖不完的概率17结论：当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。练习：利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？结论：当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大18三牙膏的销售量

问题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量(百万支)价格差（元）广告费用(百万元)其它厂家价格(元)本公司价格(元)销售周期三牙膏的销售量问题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的19基本模型y~公司牙膏销售量x1~其它厂家与本公司价格差x2~公司广告费用x2yx1yx1,x2~解释变量(回归变量,自变量)y~被解释变量（因变量）0,1

,2,3~回归系数~随机误差（均值为零的正态分布随机变量）基本模型y~公司牙膏销售量x1~其它厂家与本公司价格差x220MATLAB统计工具箱

模型求解[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

输入

x=~n4数据矩阵,第1列为全1向量alpha(置信水平,0.05)

b~的估计值bint~b的置信区间r~残差向量y-xb

rint~r的置信区间Stats~检验统计量

R2,F,p

y~n维数据向量输出

由数据y,x1,x2估计参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123MATLAB统计工具箱模型求解[b,bint,r,rin21结果分析y的90.54%可由模型确定参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123F远超过F检验的临界值p远小于=0.05

2的置信区间包含零点(右端点距零点很近)x2对因变量y的影响不太显著x22项显著可将x2保留在模型中模型从整体上看成立结果分析y的90.54%可由模型确定参数参数估计值置信区间22销售量预测价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4估计x3调整x4控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元销售量预测区间为[7.8230，8.7636]（置信度95%）上限用作库存管理的目标值下限用来把握公司的现金流若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知道销售额在7.83203.729（百万元）以上控制x1通过x1,x2预测y(百万支)销售量预测价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4估计23模型改进x1和x2对y的影响独立

参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123参数参数估计值置信区间29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771p=0.000030124x1和x2对y的影响有交互作用模型改进x1和x2对y的影响独立参数参数估计值置信区间1724两模型销售量预测比较(百万支)区间[7.8230，8.7636]区间[7.8953，8.7592](百万支)控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元预测区间长度更短略有增加两模型销售量预测比较(百万支)区间[7.8230，8.7625x2=6.5x1=0.2x1x1x2x2两模型与x1,x2关系的比较x2=6.5x1=0.2x1x1x2x2两模型与x126交互作用影响的讨论价格差x1=0.1价格差x1=0.3加大广告投入使销售量增加（x2大于6百万元）价格差较小时增加的速率更大x2价格优势会使销售量增加价格差较小时更需要靠广告来吸引顾客的眼球交互作用影响的讨论价格差x1=0.1价格差x1=0.327完全二次多项式模型MATLAB中有命令rstool直接求解x1x2从输出Export可得完全二次多项式模型MATLAB中有命令rstool直接求解28四轧钢中的浪费去掉多余四轧钢中的浪费去掉多余29模型分析显然，如果粗轧时，均值调的比较长，那么整根报废的几率减小，但精轧时浪费比较大；如果粗轧时均值调的比较短，那么精轧时浪费比较小，但整根报废的几率会增加。模型分析显然，如果粗轧时，均值调的比较长，那么整根报废的几率30模型分析应该存在最佳的m使总的浪费最小。定性地分析：模型分析应该存在最佳的m使总定性地分析：31建模选择合适的目标函数切掉多余部分的浪费整根报废的浪费总浪费=+粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧N根成品材PN根成品材长度lPN总长度mN共浪费长度mN-lPN正态分布建模选择合适的目标函数切掉多余部分的浪费整根报废的浪费总浪费32选择合适的目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度得到一根成品材平均浪费长度更合适的目标函数优化模型：求m使J(m)最小（已知l,）建模粗轧N根得成品材PN根选择合适的目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度得到一根成品材平均33求解求z使J(z)最小（已知）求解求z使J(z)最小（已知）34求解求解351.02.00-1.0-2.0105F(z)z例设l=2(米),=20(厘米)，求m使浪费最小。=l/=10z*=-1.78*=-z*=11.78m*=*=2.36(米)求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z例设l=2(米36概论统计模型一.传送系统的效率二.报童的诀窍三.牙膏的销售量

四.轧钢中的浪费概论统计模型一.传送系统的效率37概率模型

现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。本章讨论如何用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型--概率模型。概率模型38统计模型

如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的模型，那么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统计分析建立模型，这就是本章还要讨论的用途非常广泛的一类随机模型—统计回归模型。统计模型

如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限39一传送系统的效率在机械化生产车间里，排列整齐的工作台旁工人们紧张的生产同一种产品，工作台上放一条传送带在运转，带上设置若干钩子，工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走，如图。当生产进入稳定状态后，每个工人生产一件产品所需时间是不变的，而他挂产品的时刻是随机的。衡量这种传送系统的效率可以看他能否及时把工人的产品带走。在工人数目不变的情况下传送带速度越快，带上钩子越多，效率越高。要求构造衡量传送系统效率的指标，并在简化假设下建立模型描述这个指标与工人数目、钩子数量等参数的关系。…………传送带挂钩工作台一传送系统的效率要求构造衡量传送系统效率的指标，并在简化假401模型分析为了用传送带及时带走的产品数量来表示传送系统的效率，在工人生产周期（即生产一件产品的时间）相同的情况下，需要假设工人生产出一件产品后，要么恰好有空钩子经过工作台，他可以将产品挂上带走，要么没有空钩子经过，他将产品放下并立即投入下一件产品的生产，以保证整个系统周期性的运转。

工人生产周期相同，但由于各种因素的影响，经过相当长的时间后，他们生产完一件产品的时刻会不一致，认为是随机的，并在一个生产周期内任一时刻的可能性一样。由上分析，传送系统长期运转的效率等价于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品数与一周期内生产的全部产品数之比来描述。1模型分析为了用传送带及时带走的产品数量来表示传412模型假设3）在一周期内有个钩子通过每一工作台上方，钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的。4）每个工人在任何时刻都能触到一只钩子，且只能触到一只，在他生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果非空，则他只能将产品放下。放下的产品就永远退出这个传送系统。1）有个工人，其生产是独立的，生产周期是常数，个工作台均匀排列。2）生产已进入稳态，即每个工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能性的。2模型假设3）在一周期内有个钩子通过每一工作台上方423模型建立

将传送系统效率定义为一周期内带走的产品数与生产的全部产品数之比，记作，设带走的产品数为,生产的全部产品数为，则。需求出。得到的步骤如下：（均对一周期而言）任一只钩子被一名工人触到的概率是；任一只钩子不被一名工人触到的概率是；由工人生产的独立性，任一只钩子不被所有个工人挂上产品的概率，即任一只钩子为空钩的概率是；任一只钩子非空的概率是。

如果从工人的角度考虑，分析每个工人能将自己的产品挂上钩子的概率，这与工人所在的位置有关（如第1个工人一定可挂上），这样使问题复杂化。我们从钩子角度考虑，在稳定状态下钩子没有次序，处于同等地位。若能对一周期内的只钩子求出每只钩子非空的概率，则。3模型建立

将传送系统效率定义为一周期内带走的产43传送系统的效率指标为为了得到比较简单的结果，在钩子数相对于工人数较大，即较小的情况下，将多项式展开后只取前3项，则有如果将一周期内未带走的产品数与全部产品数之比记作再假定，则当时，上式给出的结果为用的精确表达式计算得传送系统的效率指标为为了得到比较简单的结果，在钩子数444模型评价这个模型是在理想情况下得到的，其中一些假设，如生产周期不变，挂不上钩子的产品退出系统等是不现实的，但模型的意义在于，一方面利用基本合理的假设将问题简化到能够建模的程度，并用简单的方法得到结果；另一方面所得到的简化结果具有非常简单的意义：指标与成正比，与成反比。通常工人数目是固定的，一周期内通过的钩子数增加一倍，可使“效率”降低一倍。思考：如何改进模型使“效率”降低？（可理解为相反意义的效率）4模型评价这个模型是在理想情况下得到的，其中一些假设，如生45考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法：在原来放置一只钩子处放置的两只钩子成为一个钩对。一周期内通过个钩对，任一钩对被任意工人触到的概率，不被触到的概率，于是任一钩对为空的概率是，钩对上只挂一件产品的概率是，一周期内通过的个钩子中，空钩的平均数是带走产品的平均数是未带走产品的平均数是按照上一模型的定义，有考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法：在原来放置一只钩子处放46和的近似展开，可得展开取4项，展开取3项。而上一模型中的方法有有当时，，所以该模型提供的方法比上一个模型好。注意：利用和的近似展开，可得展开取4项，展开取3项。而上一模型中的方法47二报童的诀窍问题：

报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。二报童的诀窍问题：48模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为份的概率是(r=0,1,2,…)有了和，就可以建立关于购进量的优化模型。模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过49模型建立：假设每天购进量是n份，需求量r是随机的，r可以小于，等于或大于n，所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。记报童每天购进份报纸的平均收入为，如果这天的需求量，则售出份，退回份；如果需求量则份将全部售出。需求量为的概率是，则问题归结为在已知时，求使最大。模型建立：假设每天购进量是n份，需求量r是随机的，r可以小于50

模型求解：通常需求量r和购进量n都相当大，将视为连续变量便于分析和计算，这时概率转化为概率密度函数计算则

模型求解：通常需求量r和购进量n都相当大，将视为连续变量51令使报童日平均收入达到最大的购进量，得到应满足上式。因为，所以根据需求量的概率密度的图形可以确定购进量在图中用分别表示曲线下的两块面积，则Onr令使报童日平均收入达到最大的购进量，得到应满足上式。因为，所52因为当购进超过份报纸时，是需求量不超过的概率，即卖不完的概率；是需求量的概率，即卖完的概率，所以上式表明，购进的份数应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱之比。因为当购进超过份报纸时，是需求量不超过的概率，即卖不完的概率53结论：当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。练习：利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？结论：当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大54三牙膏的销售量

问题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量(百万支)价格差（元）广告费用(百万元)其它厂家价格(元)本公司价格(元)销售周期三牙膏的销售量问题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的55基本模型y~公司牙膏销售量x1~其它厂家与本公司价格差x2~公司广告费用x2yx1yx1,x2~解释变量(回归变量,自变量)y~被解释变量（因变量）0,1

,2,3~回归系数~随机误差（均值为零的正态分布随机变量）基本模型y~公司牙膏销售量x1~其它厂家与本公司价格差x256MATLAB统计工具箱

模型求解[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

输入

x=~n4数据矩阵,第1列为全1向量alpha(置信水平,0.05)

b~的估计值bint~b的置信区间r~残差向量y-xb

rint~r的置信区间Stats~检验统计量

R2,F,p

y~n维数据向量输出

由数据y,x1,x2估计参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123MATLAB统计工具箱模型求解[b,bint,r,rin57结果分析y的90.54%可由模型确定参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123F远超过F检验的临界值p远小于=0.05

2的置信区间包含零点(右端点距零点很近)x2对因变量y的影响不太显著x22项显著可将x2保留在模型中模型从整体上看成立结果分析y的90.54%可由模型确定参数参数估计值置信区间58销售量预测价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4估计x3调整x4控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元销售量预测区间为[7.8230，8.7636]（置信度95%）上限用作库存管理的目标值下限用来把握公司的现金流若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知道销售额在7.83203.729（百万元）以上控制x1通过x1,x2预测y(百万支)销售量预测价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4估计59模型改进x1和x2对y的影响独立

参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123参数参数估计值置信区间29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771