数值分析(14)分段低次插值课件

我们已经知道插值有多种方法：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在我们来讨论一下这个问题。第四节分段低次插值我们已经知道插值有多种方法：Lagrang1

我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，…，n)上的n次插值多项式Pn

(x)的余项设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时，若余项随n增大而趋于0时，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi2插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多的插值节点上与函数f(x)的值相等,但在两个节点之间Pn(x)不一定能很好地逼近f(x),有时误差会大得惊人,著名的龙格(Runge)现象证实了这个观点.例:1901年龙格(Runge)给出一个例子:龙格(Runge)现象插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多的插值3插值多项式情况，见图:取n=6和n=10从图中可见，P10(x)仅在区间[-0.2,0.2]内能较好地逼近f(x),而在其于位置,P10(x)与f(x)的值相差很大,越靠近端点,近似的效果越差.对于等距节点,高次多项式插值发生的这种现象称为龙格现象.chzh00.m如P6(0.96)=0.4233P10(0.96)=1.80438

f(0.96)=0.0416

插值多项式情况，见图:取n=6和n=10从图中可见，P14

龙格(Runge)现象表明插值多项式序列不收敛，实际上，严格的理论分析可知插值多项式序列确是不收敛的，而且高阶插值还是不稳定的。数值稳定性从计算的数值运算误差看,对于等距节点的差分形式,由于高阶差分的误差传播,函数值的微小变化都将使插值产生很大的误差.龙格(Runge)现象表明插5插值多项式的误差及Chebyshev点的插值

functionwuch1m=101;n=5;x=0:pi/(m-1):pi;y=sin(x);z=0*x;x0=0:pi/(n-1):pi;y0=sin(x0);y1=lagr1(x0,y0,x);er1=(y-y1)*100;z1=0:0.2:1;x1=0*z1;plot(x,z,'k',x1,z1,'k',x,er1,'b',x,y,'r')gtext('e(x)*100'),gtext('sin(x)')插值多项式的误差及Chebyshev点的插值

f6数值分析(14)分段低次插值课件7

可以观察到误差曲线是震荡的，在接近端点的区间上最大，这种误差特性在等距多项式插值中非常典型，实际上，误差分布形状上的变化还取决于被插函数的性质以及插值区间的大小|b-a|.可以观察到误差曲线是震荡的，在接近端点的区间上最8降低误差的三条途径降低误差的三条途径9functionwuch0(n)m=101;x=-1:2/(m-1):1;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-1:2/(n-1):1;y0=1./(1+x0.^2);y1=lagr1(x0,y0,x);er1=(y-y1)*100;x00=sort(roots(Cheby_pw(n)));y00=1./(1+x00.^2);y2=lagr1(x00,y00,x);er2=(y-y2)*100;z1=-0.1:0.2:0.2;x1=0*z1;plot(x,z,'k',x1,z1,'k',x,er1,'b',x,er2,'r')gtext('Lagr.'),gtext('Cheby.')n=11总结：（1）建议尽可能在小区间上使用多项式插值。（2）只能在一定范围内依靠增加插值点个数提高插值精度，如果插值点个数过多往往会适得其反。functionwuch0(n)n=11总结：10数值分析数值分析数值分析数值分析11数值分析数值分析数值分析数值分析12数值分析数值分析数值分析数值分析13数值分析数值分析数值分析数值分析14数值分析数值分析数值分析数值分析15因此实际应用中常采用分段低次插值。（1）分段线性插值（2）分段二次插值与分段三次插值（3）分段Hermite插值(4)分段三次样条插值因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。那么如何提高插值精度呢？因此实际应用中常采用分段低次插值。（1）分段线性插值（2）分16定义

设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点

a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b,的函数值为y0,y1,y2,…yn-1,yn

,若函数(x)满足条件

(1)(x)在每个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是线性插值多项式;(2)(xi)=yi,i=0,1,2,…,n

(3)(x)在区间[a,b]上连续;

则称(x)是f(x)在[a,b]上的分段线性插值多项式。1.问题的提法

分段线性插值问题的解存在唯一.一、分段线性插值多项式定义设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点1.问题172.分段线性插值函数的表达式由定义，

(x)在每个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是一次插值多项式;分段线性插值曲线图：2.分段线性插值函数的表达式由定义，(x)在每个18数值分析(14)分段低次插值课件19数值分析(14)分段低次插值课件20x0x1…xixi+1,,,xnx0…xi-1xixi+1…xnx0x1…xixi+21x0x1…xi…xn-1xnx0x1…xi…xn-223.分段线性插值函数的余项注意:

h随分段增多而减少，因此用分段插值提高精度是很好的途径.定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x)，且|f″(x)|≤m2,记：h=max|xi+1-xi|,就有估计：

|R(x)|=|f(x)-(x)|≤m2h2/8,x∈[a,b]。3.分段线性插值函数的余项注意:h随分段增多而减少，因23数值分析(14)分段低次插值课件24二.分段二次插值与分段三次插值

二.分段二次插值与分段三次插值

25数值分析(14)分段低次插值课件26例:在[-4,4]上给出等距节点函数表，若用分段二次插值计算ex的近似值，要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长h应为多少?解：设xi-1≤x≤xi+1,则有

xi-1=xi-h,xi+1=xi+h,x=xi+th(-1≤t≤1)过三点xi-1，xi，xi+1的二次插值误差为：例:在[-4,4]上给出等距节点函数表，若用分段二次插值计271.问题的提法分段三次Hermite插值多项式存在唯一三.分段三次Hermite插值1.问题的提法分段三次Hermite插值多项式存在唯一三.分282.分段三次Hermite插值的表达式2.分段三次Hermite插值的表达式29数值分析(14)分段低次插值课件30数值分析(14)分段低次插值课件313.分段三次Hermite插值的余项定理：设f(x)在[a,b]上有四阶连续导数f(4)(x)，且|f(4)(x)

|≤m4,记：h=max|xi+1-xi|,就有估计：3.分段三次Hermite插值的余项定理：设f(x)在[a,32数值分析(14)分段低次插值课件33四、分段低次插值的收敛性

四、分段低次插值的收敛性

34

分段插值常用命令：

interp1:一维分段插值interp2:二维分片插值interp3:三维分块插值spline:三次样条插值一维分段插值y0=interp1(x,y,x0,'插值方法选项')plot(x,y,x0,y0):绘插值曲线‘插值方法选项’有以下四种（1）'nearest':最接近点插值（2）'linear':分段线性插值（3）'cubic':分段三次插值（4）'spline':分段三次样条插值

分段插值常用命令：

一维分段插值35上面介绍的分段低次插值，虽然具有计算简便，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线的光滑性，从而不能满足某些工程技术上的要求，从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，在许多领域有越来越广泛的应用。上面介绍的分段低次插值，虽然具有计算简便，收36习题五

P208-----8习题五P208-----837Lagr1.mfunctiony=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endy=lagr1(x0,y0,x):Lagrange插值。给出n个插值节点，计算m个插值点。Lagr1.my=lagr1(x0,y0,x):Lagra38chzh00.mn=11;m=51;x=-1:2/(m-1):1;y=1./(1+25*x.^2);z=0*x;x0=-1:2/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr1(x0,y0,x);N1=6;x00=-1:2/(n1-1):1;y00=1./(1+25*x00.^2);y2=lagr1(x00,y00,x);z1=-0.4:0.2:1.6;x1=0*z1;plot(x,z,'k',x1,z1,'k',x,y,'r:',x,y1,'b',x,y2,'c')gtext('n=5'),gtext('n=10'),gtext('y=1./(1+25*x.^2)')chzh00.m39我们已经知道插值有多种方法：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在我们来讨论一下这个问题。第四节分段低次插值我们已经知道插值有多种方法：Lagrang40

我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，…，n)上的n次插值多项式Pn

(x)的余项设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时，若余项随n增大而趋于0时，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi41插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多的插值节点上与函数f(x)的值相等,但在两个节点之间Pn(x)不一定能很好地逼近f(x),有时误差会大得惊人,著名的龙格(Runge)现象证实了这个观点.例:1901年龙格(Runge)给出一个例子:龙格(Runge)现象插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多的插值42插值多项式情况，见图:取n=6和n=10从图中可见，P10(x)仅在区间[-0.2,0.2]内能较好地逼近f(x),而在其于位置,P10(x)与f(x)的值相差很大,越靠近端点,近似的效果越差.对于等距节点,高次多项式插值发生的这种现象称为龙格现象.chzh00.m如P6(0.96)=0.4233P10(0.96)=1.80438

f(0.96)=0.0416

插值多项式情况，见图:取n=6和n=10从图中可见，P143

龙格(Runge)现象表明插值多项式序列不收敛，实际上，严格的理论分析可知插值多项式序列确是不收敛的，而且高阶插值还是不稳定的。数值稳定性从计算的数值运算误差看,对于等距节点的差分形式,由于高阶差分的误差传播,函数值的微小变化都将使插值产生很大的误差.龙格(Runge)现象表明插44插值多项式的误差及Chebyshev点的插值

functionwuch1m=101;n=5;x=0:pi/(m-1):pi;y=sin(x);z=0*x;x0=0:pi/(n-1):pi;y0=sin(x0);y1=lagr1(x0,y0,x);er1=(y-y1)*100;z1=0:0.2:1;x1=0*z1;plot(x,z,'k',x1,z1,'k',x,er1,'b',x,y,'r')gtext('e(x)*100'),gtext('sin(x)')插值多项式的误差及Chebyshev点的插值

f45数值分析(14)分段低次插值课件46

可以观察到误差曲线是震荡的，在接近端点的区间上最大，这种误差特性在等距多项式插值中非常典型，实际上，误差分布形状上的变化还取决于被插函数的性质以及插值区间的大小|b-a|.可以观察到误差曲线是震荡的，在接近端点的区间上最47降低误差的三条途径降低误差的三条途径48functionwuch0(n)m=101;x=-1:2/(m-1):1;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-1:2/(n-1):1;y0=1./(1+x0.^2);y1=lagr1(x0,y0,x);er1=(y-y1)*100;x00=sort(roots(Cheby_pw(n)));y00=1./(1+x00.^2);y2=lagr1(x00,y00,x);er2=(y-y2)*100;z1=-0.1:0.2:0.2;x1=0*z1;plot(x,z,'k',x1,z1,'k',x,er1,'b',x,er2,'r')gtext('Lagr.'),gtext('Cheby.')n=11总结：（1）建议尽可能在小区间上使用多项式插值。（2）只能在一定范围内依靠增加插值点个数提高插值精度，如果插值点个数过多往往会适得其反。functionwuch0(n)n=11总结：49数值分析数值分析数值分析数值分析50数值分析数值分析数值分析数值分析51数值分析数值分析数值分析数值分析52数值分析数值分析数值分析数值分析53数值分析数值分析数值分析数值分析54因此实际应用中常采用分段低次插值。（1）分段线性插值（2）分段二次插值与分段三次插值（3）分段Hermite插值(4)分段三次样条插值因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。那么如何提高插值精度呢？因此实际应用中常采用分段低次插值。（1）分段线性插值（2）分55定义

设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点

a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b,的函数值为y0,y1,y2,…yn-1,yn

,若函数(x)满足条件

(1)(x)在每个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是线性插值多项式;(2)(xi)=yi,i=0,1,2,…,n

(3)(x)在区间[a,b]上连续;

则称(x)是f(x)在[a,b]上的分段线性插值多项式。1.问题的提法

分段线性插值问题的解存在唯一.一、分段线性插值多项式定义设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点1.问题562.分段线性插值函数的表达式由定义，

(x)在每个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是一次插值多项式;分段线性插值曲线图：2.分段线性插值函数的表达式由定义，(x)在每个57数值分析(14)分段低次插值课件58数值分析(14)分段低次插值课件59x0x1…xixi+1,,,xnx0…xi-1xixi+1…xnx0x1…xixi+60x0x1…xi…xn-1xnx0x1…xi…xn-613.分段线性插值函数的余项注意:

h随分段增多而减少，因此用分段插值提高精度是很好的途径.定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x)，且|f″(x)|≤m2,记：h=max|xi+1-xi|,就有估计：

|R(x)|=|f(x)-(x)|≤m2h2/8,x∈[a,b]。3.分段线性插值函数的余项注意:h随分段增多而减少，因62数值分析(14)分段低次插值课件63二.分段二次插值与分段三次插值

二.分段二次插值与分段三次插值

64数值分析(14)分段低次插值课件65例:在[-4,4]上给出等距节点函数表，若用分段二次插值计算ex的近似值，要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长h应为多少?解：设xi-1≤x≤xi+1,则有

xi-1=xi-h,xi+1=xi+h,x=xi+th(-1≤t≤1)过三点xi-1，xi，xi+1的二次插值误差为：例:在[-4,4]上给出等距节点函数表，若用分段二次插值计661.问题的提法分段三次Hermite插值多项式存在唯一三.分段三次Hermite插值1.问题的提法分段三次Hermite插值多项式存在唯一三.分672.分段三次Hermite插值的表达式2.分段三次Hermite插值的表达式68数值分析(14)分段低次插值课件69数值分析(14)分段低次插值课件703.分段三次Hermite插值的余项定理：设f(x)在[a,b]上有四阶连续导数f(4)(x)，且|f(4)(x)

|≤m4,记：h=max|xi+1-xi|,就有估计：3.分段三次Hermite插值的余项定理：设f(x)在[a,71数值分析(14)分段低次插值课件72四、分段低次插值的收敛性

四、分段低次插值的收敛性

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分段插值常用命令：

interp1:一维分段插值interp2:二维分片插值interp3:三维分块插值spline:三次样条插值一维分段插值y0=interp1(x,y,x0,'插值方法选项')plot(x,y,x0,y0):绘插值曲线‘插值方法选项’有以下四种（1）'nearest':最接近点