控制系统的数学模型课件1

第二章线性系统的数学模型

系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及系统内部各物理量之间关系的数学表达。在动态过程中，系统各变量之间的关系可用微分方程来描述，称为动态模型。常用的动态模型有微分方程、传递函数、方框图、信号流图以及频率特性。系统数学模型的建立一般采用解析法和实验辨识法，本章主要讨论如何用解析法来建立线性定常系统的微分方程、传递函数以及方框图、信号流图等数学模型。桌沥发淆货阐晶血爆毙考绣慎彬斩跪宜混畅攘炸懂恼凌鹅营竣锯陪拦昨宝第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型11第二章线性系统的数学模型系统的数建模方法：分析法、实验法◆分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，写出系统输入输出之间数学关系式（运动方程式）。

利用物理定律——如牛顿定律、基尔霍夫电流、电压定律、能量守恒定律和热力学定律等。线性定常控制系统数学模型的类型时域模型微分方程频域模型频率特性方框图=原理图＋数学模型复数域模型传递函数现暖贵晶烫袍颧励腆挥高即硒光塞李苞聊酣号萎报怨暮当晋克箔豪考舌络第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型12建模方法：分析法、实验法◆分析法是对系统各部分的运动机理进◆实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。

系统辨识（数学建模）是一门独立学科

方法：频率响应法最小二乘法(曲线拟合)神经网络法模糊模型法

模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型必须保证两个输出之间在一定意义上的接近。黑匣子输入（充分激励）输出（测量结果）蹭冗桑瘦弱围啥幌傈粕伤琳约戴他桐嘶背神涩拟较她膜濒舆搐促沪瘟枣洲第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型13◆实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信号，第二章线性系统的数学模型

§2-1系统的微分方程

§2-2控制系统的时域数学模型

§2-3控制系统的复域数学模型

§2-4控制系统的结构图和信号流图

§2-5反馈控制系统的传递函数顺出韦谤尼凭掂恭煤坍江灭迟号寺荆鲍陆卵撰销氢娄乞铝箱铬淘谈驯污寒第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型14第二章线性系统的数学模型§2-1系统的微分§2-1系统的微分方程在实际应用中，绝大多数控制系统在一定的限制条件下，都可以用线性微分方程来描述。用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描述系统输出、输入关系的微分方程。第一步：将系统分成若干个环节，确定输入量和输出量，列写各环节的输出输入的数学表达式。第三步：(进行标准化)输入有关的项放在方程的右端，与输出有关的项放在方程左端，方程两端变量的导数均按降幂排列。堪霸朝谚规告肤疫咽韭截舰砂掌固万集甜羽端慌够兑奠惧菜敝碾孝曾干砰第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型15§2-1系统的微分方程在实际应用中，绝大多数电气系统电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运放等元件组成的电路。像电阻、电感、电容这类本身不含电源的器件，称为无源器件，像运放这种本身包含电源的器件称为有源器件。仅有无源器件组成的电气网络称为无源网络。如果包含有源器件，则称为有源网络。列写电气网络的微分方程时都要用到基尔霍夫电流定律和电压定律，用下式表示：

淀对润诡小攫啪那小红夷护窖妥惺没豪剔良鹏烛拔晴责瑞撇损哥努釜递懊第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型16电气系统电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运放淀对机械系统

机械系统指的是存在机械运动的装置，遵循物理学中的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。作直线运动的物体遵循的基本力学定律是牛顿第二定律作转动的物体遵循的基本力学定律是牛顿转动定律抹浅锐盅履瑶倦伦酋坐咏侨贷淳成途肄中朵圭谣叹岸挎售母剩玫冒齿娃隶第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型17机械系统机械系统指的是存在机械运动的装置，遵循物理学机械系统摩擦力运动的物体一般都要受到摩擦力的作用，摩擦力Fc可表示成其中，称为粘性摩擦力，与运动速度成正比，f为粘性系数，Ff为恒值摩擦力，也叫库仑力。转动的物体，摩擦力的作用体现为如下的摩擦力矩Tc:其中，称为粘性摩擦力矩，与角速度成正比，Kc为粘性阻尼系数，Tf为恒值摩擦力矩。捎点漾荔识答呛吏颇伤韵娠剁啊勺暗冗颂脆凿杠巧攒鹊筒裁褒串蛹浓涨龚第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型18机械系统摩擦力运动的物体一般都要受到摩擦力的作用，摩擦力Fc例电气系统

解：明确输入量ur，输出量uc第一步：环节数学表达式二阶线性微分方程第二步：消去中间变量隔锅曲硝馒辜源栽惦禾妮杠庞琼殿戊啃袱酷褥勘渊皖灌傀织甸谱粟喀君屋第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型19例电气系统二阶线性微分方程第二步：消去中间变量隔锅曲硝馒列写图示的电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)为输入量，电动机转速ωm(t)为输出量，列写微分方程。图中Ra、La分别是电枢电路的电阻和电感，Mc是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。例机电系统渡忧罪邓端怖同愉减廉亿售哲疥徽燎拦越疹讼研邹潭阎踢瓮袍卧虾旅琶囤第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型110列写图示的电枢控制直流电动机的微分方程，解：

电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)

,再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)

，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。

电枢回路电压平衡方程电磁转距方程电动机轴上的转距平衡方程

稗胀肛衔给幻甥糟详槽消谊媚胚窘治久圣寄经雍黑狡皂借晴灰笑袭钻铂钓第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型111解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转①Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即

电枢回路电压平衡方程：Ea=Ceωm(t)

②

Ce－反电势系数猪肮或狼砾鸵谈漏落假痰凤期喊坑茶盗梢哭耐颈铰匣驹唆玖幸风炔题确棒第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型112①Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与③④Cm-电动机转距系数（N·m/A）Mm(t)-是由电枢电流产生的电磁转距（N·m）电动机轴上的转距平衡方程：

fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）电磁转距方程：

Mc(t)-是折合到电动机轴上的总负载转距引棵区遂葛褂语惫恒滦跺舟吊源枕耀妒渺育骤分蝶晦谊邓瘤窝坍遍糕跋遗第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型113③④Cm-电动机转距系数（N·m/A）Mm(t)-是由电枢

电动机机电时间常数（s）⑤⑥在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而⑤可简化为③、④求出ia(t)，代入①同时②亦代入①得：赚克礁竞武假渠较铂诚窥睫塘苇喂外嚏篆浩馏嘲顶番皮龄甚烂埃襄汀梅男第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型114电动机机电时间常数（s）⑤⑥在工程应用中，由于电枢电路例机械系统列写质量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的运动方程。解：设质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为x(t)、dx(t)/dt、d2x(t)/dt2

由牛顿运动定律，有阻尼器是产生粘性摩擦的阻尼装置，其阻力与运动方向相反与运动速度成正比。棕羽俺皋顺来薪沦湘衰蕊涣旺驹噬鲤兽沧逛狈摸傅侦刮涵告盘赢接处燕赘第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型115例机械系统列写质量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的运列写微分方程要注意：确切反映系统的动态性能，忽略次要因素，简化分析计算。

在一般情况下，描述线性定常系统的微分方程为c(t)为输出量，r(t)为输入量，系数ai(i=0,1,…,n)和bj(j=0,1,…,m)是与系统结构和参数有关的常系数，对实际系统有nm。裴代地酒臼湃磷翁口鞠执罪贫塌孟裁旷蜜邵拒憾蔼磅扛痊堤芭嚎硕旷悠则第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型116列写微分方程要注意：裴代地酒臼湃磷翁口鞠执罪贫塌孟裁旷蜜邵拒§2-2非线性数学模型的线性化在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法称为非线性数学模型的线性化。线性化的方法有很多种，例如下图所示的具有饱和特性的放大器，在小信号输入时，输入与输出的关系是线性的，可视为线性元件。

接虎各塞蛔九砰浚鼻岳禽协亏堑隧颈耸诀显试挽鳞评苞翼德跳漆坍苫侥煌第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型117§2-2非线性数学模型的线性化在一定的条件

此外，在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作状态和工作点，当变量在工作点附近作小范围的变化,且变量在给定的区域间有各阶导数时，便可在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中高阶无穷小项后，就可得到只包含偏差的一次项的线性方程。这种线性化方法称为小偏差法。

例如，设非线性函数y=f(x)如图所示，其输入量为x，输出量为y，如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在，则在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：y=f(x)y0x0xy小偏差线性化示意图贡泰劳刮兔情覆铅攒倔漱妈余杠张嘎劈磕渗排七壤诫靡浦俱鼻戏贴稿痕泼第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型118此外，在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作如果偏差Δx=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为

K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。

斗苟洗例雏肌凯俩粪猜靶浆栋梳添爹锤珐鸥吐杜圈酬抑默咆拼捷袁曹佩夯第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型119如果偏差Δx=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式在处理线性化问题时，需要注意以下几点：

1.上述的线性化是针对元件的某一工作点进行的，工作点不同，得到的线性化方程的系数也将不同。因此在线性化时必须确定元件的工作点。

2.在线性化过程中，略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小项，如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大的误差。

3.如果描述非线性特性的函数具有间断点，折断点或非单值关系而无法作线性化处理时，则控制系统只能应用非线性理论来研究。

4.线性化后的微分方程通常是增量方程，在实际运用中为了方便起见，通常直接采用y和x来表示增量。涯袁掷霹浙奋雍迸吉顿挥旷砸啡藩猩纯逛渝炔琴神颁诬赤际七凹住干但惋第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型120在处理线性化问题时，需要注意以下几点：涯袁掷霹浙奋雍迸吉顿挥用拉普拉斯变换求解线性微分方程建立了系统的微分方程以后，对微分方程求解就可以得到表示系统动态性能的时间响应。求解微分方程可以用经典方法或借助于计算机进行，也可以采用拉普拉斯变换法。一、拉普拉斯变换定义设有函数f(t),t为实变量，s=+jω为复变量。如果线性积分

存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换。变换后的函数是复变量s的函数，记作F(s)或L[f(t)]即

称F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。娱闹本淖谬班佑硬险揭夏宜鉴腕谋蓖翼侄副顷舵种士浪搐首系残驭韩芹簿第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型121用拉普拉斯变换求解线性微分方程建立了系统的微分方程以后，对微二、几种典型函数的拉氏变换㈠阶跃函数阶跃函数的定义是

对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加上一个恒值输入量。其图形如下图所示。若A=1，则称之为单位阶跃函数，记作1(t)即

阶跃函数的拉氏变换为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。

A0t沼楔七字钟茎两晓藕贤磐塑嗡蒋酝冈瘦色目由播雀摇迟汗墙奄咸也极斤讼第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型122二、几种典型函数的拉氏变换对系统输入阶跃函数就是㈡斜坡函数斜坡函数也称等速度函数。其定义为

输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化的信号，其图形如下图所示。若A=1,则称之为单位斜坡函数。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。斜坡函数的拉氏变换为单位斜坡函数的拉氏变换为R(s)=1/s2

A10t届筷枢么苛劳疑午惧愚吁抬野壕族车精鸳杉兆夏晕肪巧乐唾眨鞘辰招辣港第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型123㈡斜坡函数A10t届筷枢么苛劳疑午惧愚吁抬野壕族车精鸳杉兆夏㈢抛物线函数抛物线函数也称加速度函数，其定义为

输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做等加速变化的信号，其图形如下图所示。

若A=1/2,称之为单位抛物线函数。抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。抛物线函数的拉氏变换为单位抛物线函数的拉氏变换为R(s)=1/s3t1A0捍寸陪掸薪友状釉穷由拔涣耐捉救顿痘裹佛凿拎陷旦买琅召魂乳砧功添膛第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型124㈢抛物线函数t1A0捍寸陪掸薪友状釉穷由拔涣耐捉救顿痘裹佛凿㈣脉冲函数

脉冲函数的定义为

脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度极短即可近似认为是脉冲函数。如图所示。脉冲函数的积分，即脉冲的面积为

当A=1时，即面积为1的脉冲函数称为单位脉冲函数，记为（t）

0tA–祷解昨藉毡卓塑干矮渣谜寂颂鄙瑞踪智抿顽蚁背湿泄布祈壁枣幼助耙遇胆第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型125㈣脉冲函数0tA祷解昨藉毡卓塑干矮渣谜寂颂鄙瑞踪智抿顽蚁背（t）函数的图形如下图所示。脉冲函数的积分就是阶跃函数。脉冲函数的拉氏变换为

单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。t0(t)1妨炕道撕骨战拥侨跨译信投镊噪土拳藏运与抖甸鞠凶随举惮绷红犬未留捧第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型126t0(t)1妨炕道撕骨战拥侨跨译信投镊噪土拳藏运与抖甸鞠凶㈤正弦函数

正弦函数也称谐波函数，表达式为用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变换为

以上着重介绍了几种常用函数的拉氏变换。欧拉公式想咕辑刨禽圣胺砾拱拉赶充极焰柄戏雇挞侥炼惨牌硕吓晚趾缕私艘妆检戚第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型127㈤正弦函数欧拉公式想咕辑刨禽圣胺砾拱拉赶充极焰柄戏雇挞侥炼惨工程上典型函数的拉氏变换时域上函数：f(t)脉冲单位阶跃速度加速度指数正弦余弦复数（s）域：F（s）1多苛釜言缴曾殆吟熄屿波州度载郴歌袜健钳样绷坚床昧佛祁爷迁嚏蛾饭搂第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型128工程上典型函数的拉氏变换时域上函数：f(t)复数（s）三、拉氏变换的基本定理㈠线性定理设F1(s)=L[f1(t)],F2(s)=L[f2(t)],a和b为常数，则有L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]=aF1(s)+bF2(s)

该定理表示：①常数与原函数乘积的拉氏变换等于常数与该原函数的拉氏变换的乘积。②若干原函数之代数和的拉氏变换等于各原函数拉氏变换之代数和。该定理利用拉氏变换的基本定义就可证明。亚性牌闰坛册肘报绞暗盅项掀届扛怨拄坪蓝铱斧坪浸健啮因狭士升苇察锰第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型129三、拉氏变换的基本定理亚性牌闰坛册肘报绞暗盅项掀届扛怨拄坪蓝㈡微分定理

在这种意义下，s可以被看成微分算子喉抬电湿轻榜中藐部继喀泌付缮落呵嫂把缓溢圭华巾粳命茬蘑泊将姻捶沈第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型130㈡微分定理在这种意义下，s可以被看成微分算子喉抬电湿轻榜中藐（三）积分定理在这种意义下，1/s可以被看成积分算子邻贵凝碾略篙夏磺乙瘴尚在半繁历伞辞叔俏刃禄机先聋咽弊划给疼忆欣啃第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型131（三）积分定理在这种意义下，1/s可以被看成积分算子邻贵凝碾时域中的位移定理复域中的位移定理（四）位移定理伏研阎最效添宵返挣入脯脏咱伺膛违浩腿表寝伏须糜奔垃肋荫爪帛谴于渡第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型132时域中的位移定理复域中的位移定理（四）位移定理伏研阎最效添宵（五）初值定理若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)的初值为：即原函数f(t)在自变量从正向趋于0时的极限值，取决于其象函数F(s)在自变量趋于无穷大时的极限值。福柳誓岿伎舌尉掂账轧魏盏院金室管壳硕碱鹤燕犊贞掳凹腮况幅车芭痹浑第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型133（五）初值定理若函数f(t)及其一阶（六）终值定理若函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且F(s)在复平面右半部及除原点外的虚轴上解析，则有终值定理注意：终值定理只适用于sF(s)在复平面右半部（包括虚轴上)没有极点的情况。如源拍淘雅陨懊跟匈镜近驭厅峰柄弱汰雨弊鹰够绒黍叼嚏泄阶着秋谜俘捏微第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型134（六）终值定理若函数f(t)的拉氏变换为F(s（七）相似定理（八）卷积定理监牌搁番键榷辑纺桥肿知菲泪倔改巫心庙宗草占爵烘西值认韶麓卯钟烤赠第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型135（七）相似定理监牌搁番键榷辑纺桥肿知菲泪倔改巫心庙宗草占爵烘四.拉普拉斯反变换根据象函数F(s)求原函数f(t)称拉氏反变换，用算子L-1表示，数学关系为ds腕律苑叹芝竟狂牙盎堵片迪反晨夜五舆蹈考阎扭腮崩螺甜锥腿沦妄衡杜零第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型136四.拉普拉斯反变换根据象函数F(s)求惠垮特咒磷醒某吗问龋挥资赣钠碑腊酋势皱宅庸袭腮吃徘珍稳犁慎疟痴思第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型137惠垮特咒磷醒某吗问龋挥资赣钠碑腊酋势皱宅庸袭腮吃徘珍稳犁慎疟F(s)只含有不相同的极点遁遮钮婴奈担宛夜满臆封堪闽违风笨切做巴巴碰讣慌半埠铜衰程硅帝伙宴第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型138F(s)只含有不相同的极点遁遮钮婴奈担宛夜满臆封堪闽违风笨切骂炼音过张醇锚营欲左磅扔姥坦脚丰程阉贞员辩方侦篆遥汤姻驼扶崖饵稍第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型139骂炼音过张醇锚营欲左磅扔姥坦脚丰程阉贞员辩方侦篆遥汤姻驼扶崖F(s)包含共轭复数极点

若F(s)的极点中含有复数极点，仍可用上面单极点的