材料力学-弯曲变形课件

第七章

弯曲变形1第七章

弯曲变形1§7.2挠曲线的近似微分方程§7.3用积分法求挠度和转角§7.4用叠加法求挠度和转角第七章弯曲变形§7.5梁的刚度计算§7.1概述§7.6简单超静定梁§7.7梁的弯曲应变能§7.8提高弯曲刚度的措施2§7.2挠曲线的近似微分方程§7.3用积分法求挠度和弯曲变形§7-1概述若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工作的平稳性。一、工程中的弯曲变形问题3弯曲变形§7-1概述若变形过大，会引起较大的振动，破坏弯曲变形若变形过大，不仅会影响齿轮的啮合和轴承的配合，使传动不平稳，磨损加快，而且还会严重地影响加工精度。又如，车床主轴：4弯曲变形若变形过大，不仅会影响齿轮的啮合和轴承的配合，使传动弯曲变形又如，如图所示轮轴：若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工作的平稳性等。5弯曲变形又如，如图所示轮轴：若轮轴的变形过大，会使轮子不能弯曲变形但有时又有相反要求，要求构件有适当变形，才能符合使用要求。如汽车叠板弹簧，要求产生较大变形，才能在车辆行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。此外，弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的求解。二、弯曲变形的量度－－挠度和转角FAB原为直线的轴线AB弯曲成光滑而连续的曲线，该曲线称为该梁的挠曲线。在平面弯曲的情况下，挠曲线是位于载荷平面内的平面曲线。6弯曲变形但有时又有相反要求，要求构件有适当变形，才能符合使用竖直位移w称为挠度，取向上为正。x横截面的转角，和挠曲线在该截面形心处的切线与x

轴的夹角相等。小变形：弯曲变形FABwx挠曲线方程：C任意截面形心C三位移：水平位移△x，竖直位移△w角位移，忽略=w角位移θ

称为转角，逆时针方向为正。7竖直位移w称为挠度，取向上为正。x横截面的转角，和挠曲线弯曲变形§7.2挠曲线的近似微分方程前一章已得到：纯弯曲梁横力弯曲梁（近似）任意曲线曲率或则有8弯曲变形§7.2挠曲线的近似微分方程前一章已得到：纯弯曲梁AC弯曲变形[例7-2-1]画出下列梁的挠曲线大致形状。AmmCBLL解:①建立坐标系并作弯矩图wxAB段:∴w上凸BC段:同时B处须满足连续光滑条件，即曲线与直线在B点相切。边界条件:∴w=0mMACB－9AC弯曲变形[例7-2-1]画出下列梁的挠曲线大致形状。A弯曲变形[例7-2-2]等截面直梁，其挠曲线，长度为l，确定梁的载荷、支撑情况。故可确定其为悬臂梁。解:①作弯矩图、剪力图M6FFs+边界条件10弯曲变形[例7-2-2]等截面直梁，其挠曲线转角方程挠度方程C、D为积分常数；由边界条件和连续性条件确定。边界条件:

固定端：w＝0；θ＝0；铰支座：w＝0；弯曲变形的对称点：θ＝0。连续性条件:挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个值。弯曲变形§7-3用积分法求梁的变形EI为常量EI为常量11转角方程挠度方程C、D为积分常数；由边界条件和连续性条件确lABq[例7-3-1]用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。解：(1)求支反力，列弯矩方程(2)建立挠曲线近似微分方程，并积分(3)利用边界条件确定积分常数弯曲变形RBRA12lABq[例7-3-1]用积分法求挠度方程和转角方程，并确定(5)求最大值(4)求转角方程、挠度方程lABq弯曲变形的对称点：θ＝0。弯曲变形边界条件：或13(5)求最大值(4)求转角方程、挠度方程lABq弯曲变[例7-3-2]用积分法求C截面的转角和挠度，EI为常量。alABFC解：(1)分段写弯矩方程(2)分段建立挠曲线近似微分方程，并积分RARB弯曲变形14[例7-3-2]用积分法求C截面的转角和挠度，EI为常量。ABFCal(3)确定积分常数边界条件:连续性条件:(4)C截面的挠度和转角弯曲变形AC段：AB段：（1）（2）（3）15ABFCal(3)确定积分常数边界条件:连续性条件:(4)叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时所引起的该参量的代数和。叠加法：应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。前提条件：小变形，材料服从虎克定律。*表7-1弯曲变形§7-4用叠加法求梁的变形16叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力=+[例7-4-1]用叠加法求C点挠度。解：①简单载荷引起的变形弯曲变形②叠加表7.1第7栏表7.1第9栏FqaaACBFaaACBqaaACB17=+[例7-4-1]用叠加法求C点挠度。解：①简单载荷引[例7-4-2]

用叠加法求C点挠度。解:积分法弯曲变形表7.1第8栏q0l/2ABCl/218[例7-4-2]用叠加法求C点挠度。解:积分法弯曲变形表[例7-4-3]

用叠加法求C截面的转角和挠度。alABFC解：(1)假设CA段为刚性，研究简支梁AB的变形所引起的C截面的转角和挠度FFaABCFAC(2)假设AB段为刚性，外伸段CA看作悬臂梁：表7.1第2栏表7.1第5栏(3)叠加法求C截面的挠度和转角弯曲变形19[例7-4-3]用叠加法求C截面的转角和挠度。alABFC[例7-4-4]等截面刚架A端的水平位移xA

和竖直位移yA。abEICEIPAB刚化ABABPC刚化BCPCABABCPa等价等价PAB解：(1)刚化AB段：(2)刚化BC段：弯曲变形20[例7-4-4]等截面刚架A端的水平位移xA和竖直位移y刚化AB:刚化BC:(3)叠加：ABCPaPAB*逐段刚化法弯曲变形21刚化AB:刚化BC:(3)叠加：ABCPaPAB*逐段刚化2aABq[例7-4-5]

用叠加法求中点C挠度和梁端截面B的转角。CDE2l解：

C为对称点，故C截面的转角为0。表7.1第2栏在RB作用下：表7.1第4栏在q作用下：BEqBElqBEa弯曲变形222aABq[例7-4-5]用叠加法求中点C挠度和梁端截面B一、刚度条件：叠加：弯曲变形2设计截面1刚度校核3

确定许可载荷

2aABqCDE2llqBEa§7-5梁的刚度计算或23一、刚度条件：叠加：弯曲变形2设计截面1刚度校核3确定CABDF2=2kNABF1=1kNDC[例7-5-1]一空心圆杆，内外径：d=40mm、D=80mm，E=210GPa，C点的[w/L]=0.0001，B点的[]=0.001弧度，试核此杆的刚度。+弯曲变形解：查表求简单载荷变形叠加=L=0.4ma=0.1mC0.2mABF1=1kNDF2=2kN24CABDF2=2kNABF1=1kNDC[例7-5-1]一校核刚度弯曲变形刚度条件满足。25校核刚度弯曲变形刚度条件满足。25一、基本概念弯曲变形2超静定问题：单纯依靠静力平衡方程不能确定出全部未知力（支反力、内力）的问题。1静定问题：单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反力、内力）的问题。

3超静定次数n：n=未知力数－独立的平衡方程数FBA§7-6简单超静定梁BFAC26一、基本概念弯曲变形2超静定问题：单纯依靠静力平衡方程不能1静定结构除荷载外，其他因素如温度改变、支座移动、制造误差、材料收缩等都不引起内力，即静定结构无装配应力、无温度应力等；而超静定结构中，任何因素都可能引起内力。2静定结构与结构的材料性质和截面尺寸无关，而超静定结构与结构的材料性质和截面尺寸有关。二、超静定结构的特性3超静定结构的刚度比相应的静定结构要大。4超静定结构在多余联系破坏后，仍然能维持几何不变性，而静定结构在任一联系破坏后就变成了几何可变体系。弯曲变形求解弯曲超静定问题时，首先要选择原超静定结构的静定基，得其相当系统。271静定结构除荷载外，其他因素如温度改变、支座移动、制造误差=RBAB弯曲变形q0lAB[例7-7-1]求支座B的反力。（2）变形协调方程：解：(1)确定静定基，得

原结构的相当系统：+

ABq0(3)物理方程(4)补充方程ABRBq0变形比较法28=RBAB弯曲变形q0lAB[例7-7-1]求支座B的反力(2）变形协调方程：解：(1)确定静定基，得原结构的相当系统：[例7-7-2]

求BC杆的内力。+=弯曲变形lBCl等价q029(2）变形协调方程：解：(1)确定静定基，得原结构的相当系统(3)物理方程(4)补充方程等价lBClq0+=弯曲变形30(3)物理方程(4)补充方程等价lBClq0+=弯曲变形30弯曲变形[例7-7-3]如图所示双梁系统，弹簧刚度K，上下梁的抗弯刚度均为EI，求（1）弹簧受力大小，（2）当P/(q0l)=?时弹簧不受力。l/2l/2l/2l/2解：(1)确定静定基，得原结构的相当系统：F上梁F下梁+31弯曲变形[例7-7-3]如图所示双梁系统，弹簧刚度K，上下弯曲变形（5）令F=0，(2)变形协调方程：(3)物理方程(4)补充方程F下梁F上梁得P/q0l=5/832弯曲变形（5）令F=0，(2)变形协调方程：(3)物理方程(弯曲变形[例7-7-4]两端固定梁，求内力。BACFabl二次超静定结构ABFC(2)变形协调方程：解：(1)确定静定基，得原结构的相当系统：(3)物理方程33弯曲变形[例7-7-4]两端固定梁，求内力。BACFab弯曲变形(4)补充方程BACabl＝ABFC(5)叠加法求内力ABCMF34弯曲变形(4)补充方程BACabl＝ABFC(5)叠加法求内一、弯曲应变能：应变能等于外力功。不计剪切应变能弯曲变形曲率M(x)OO曲率中心曲率半径M(x)§7-7梁的弯曲应变能35一、弯曲应变能：应变能等于外力功。不计剪切应变能弯曲变形曲率[例7-8-1]用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能利用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？弯曲变形FaaABC36[例7-8-1]用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：挠曲线近似微分方程：转角方程挠度方程C、D—积分常数；由边界条件和连续性条件确定。弯曲刚度条件：弯曲正应力强度条件：弯曲变形§7-8提高弯曲刚度的措施37挠曲线近似微分方程：转角方程挠度方程C、D—积分常数；由边一、选择合理的截面对于面积相等的不同形状的截面，若Iz则w、θ梁的抗弯刚度提高工字形、槽形、T形截面比面积相等的矩形截面有更高的弯曲刚度。说明：各种钢材的弹性模量E大致相同，故采用高强度钢材不能提高弯曲刚度。弯曲变形选择I/A较大的截面38一、选择合理的截面对于面积相等的不同形状的截面，若Iz则w、二、改善梁的受力情况1.合理安排梁的约束，减小梁跨。弯曲应力Mqqlq0.6l0.2l0.2l39二、改善梁的受力情况1.合理安排梁的约束，减小梁跨。弯曲2.改变加载方式，尽量使荷载分散或靠近支座。弯曲应力Fl/2l/2Fl/4l/4l/4l/4M402.改变加载方式，尽量使荷载分散或靠近支座。弯曲应力Fl/第七章弯曲变形结束41第七章弯曲变形结束41第七章

弯曲变形42第七章

弯曲变形1§7.2挠曲线的近似微分方程§7.3用积分法求挠度和转角§7.4用叠加法求挠度和转角第七章弯曲变形§7.5梁的刚度计算§7.1概述§7.6简单超静定梁§7.7梁的弯曲应变能§7.8提高弯曲刚度的措施43§7.2挠曲线的近似微分方程§7.3用积分法求挠度和弯曲变形§7-1概述若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工作的平稳性。一、工程中的弯曲变形问题44弯曲变形§7-1概述若变形过大，会引起较大的振动，破坏弯曲变形若变形过大，不仅会影响齿轮的啮合和轴承的配合，使传动不平稳，磨损加快，而且还会严重地影响加工精度。又如，车床主轴：45弯曲变形若变形过大，不仅会影响齿轮的啮合和轴承的配合，使传动弯曲变形又如，如图所示轮轴：若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工作的平稳性等。46弯曲变形又如，如图所示轮轴：若轮轴的变形过大，会使轮子不能弯曲变形但有时又有相反要求，要求构件有适当变形，才能符合使用要求。如汽车叠板弹簧，要求产生较大变形，才能在车辆行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。此外，弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的求解。二、弯曲变形的量度－－挠度和转角FAB原为直线的轴线AB弯曲成光滑而连续的曲线，该曲线称为该梁的挠曲线。在平面弯曲的情况下，挠曲线是位于载荷平面内的平面曲线。47弯曲变形但有时又有相反要求，要求构件有适当变形，才能符合使用竖直位移w称为挠度，取向上为正。x横截面的转角，和挠曲线在该截面形心处的切线与x

轴的夹角相等。小变形：弯曲变形FABwx挠曲线方程：C任意截面形心C三位移：水平位移△x，竖直位移△w角位移，忽略=w角位移θ

称为转角，逆时针方向为正。48竖直位移w称为挠度，取向上为正。x横截面的转角，和挠曲线弯曲变形§7.2挠曲线的近似微分方程前一章已得到：纯弯曲梁横力弯曲梁（近似）任意曲线曲率或则有49弯曲变形§7.2挠曲线的近似微分方程前一章已得到：纯弯曲梁AC弯曲变形[例7-2-1]画出下列梁的挠曲线大致形状。AmmCBLL解:①建立坐标系并作弯矩图wxAB段:∴w上凸BC段:同时B处须满足连续光滑条件，即曲线与直线在B点相切。边界条件:∴w=0mMACB－50AC弯曲变形[例7-2-1]画出下列梁的挠曲线大致形状。A弯曲变形[例7-2-2]等截面直梁，其挠曲线，长度为l，确定梁的载荷、支撑情况。故可确定其为悬臂梁。解:①作弯矩图、剪力图M6FFs+边界条件51弯曲变形[例7-2-2]等截面直梁，其挠曲线转角方程挠度方程C、D为积分常数；由边界条件和连续性条件确定。边界条件:

固定端：w＝0；θ＝0；铰支座：w＝0；弯曲变形的对称点：θ＝0。连续性条件:挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个值。弯曲变形§7-3用积分法求梁的变形EI为常量EI为常量52转角方程挠度方程C、D为积分常数；由边界条件和连续性条件确lABq[例7-3-1]用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。解：(1)求支反力，列弯矩方程(2)建立挠曲线近似微分方程，并积分(3)利用边界条件确定积分常数弯曲变形RBRA53lABq[例7-3-1]用积分法求挠度方程和转角方程，并确定(5)求最大值(4)求转角方程、挠度方程lABq弯曲变形的对称点：θ＝0。弯曲变形边界条件：或54(5)求最大值(4)求转角方程、挠度方程lABq弯曲变[例7-3-2]用积分法求C截面的转角和挠度，EI为常量。alABFC解：(1)分段写弯矩方程(2)分段建立挠曲线近似微分方程，并积分RARB弯曲变形55[例7-3-2]用积分法求C截面的转角和挠度，EI为常量。ABFCal(3)确定积分常数边界条件:连续性条件:(4)C截面的挠度和转角弯曲变形AC段：AB段：（1）（2）（3）56ABFCal(3)确定积分常数边界条件:连续性条件:(4)叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时所引起的该参量的代数和。叠加法：应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。前提条件：小变形，材料服从虎克定律。*表7-1弯曲变形§7-4用叠加法求梁的变形57叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力=+[例7-4-1]用叠加法求C点挠度。解：①简单载荷引起的变形弯曲变形②叠加表7.1第7栏表7.1第9栏FqaaACBFaaACBqaaACB58=+[例7-4-1]用叠加法求C点挠度。解：①简单载荷引[例7-4-2]

用叠加法求C点挠度。解:积分法弯曲变形表7.1第8栏q0l/2ABCl/259[例7-4-2]用叠加法求C点挠度。解:积分法弯曲变形表[例7-4-3]

用叠加法求C截面的转角和挠度。alABFC解：(1)假设CA段为刚性，研究简支梁AB的变形所引起的C截面的转角和挠度FFaABCFAC(2)假设AB段为刚性，外伸段CA看作悬臂梁：表7.1第2栏表7.1第5栏(3)叠加法求C截面的挠度和转角弯曲变形60[例7-4-3]用叠加法求C截面的转角和挠度。alABFC[例7-4-4]等截面刚架A端的水平位移xA

和竖直位移yA。abEICEIPAB刚化ABABPC刚化BCPCABABCPa等价等价PAB解：(1)刚化AB段：(2)刚化BC段：弯曲变形61[例7-4-4]等截面刚架A端的水平位移xA和竖直位移y刚化AB:刚化BC:(3)叠加：ABCPaPAB*逐段刚化法弯曲变形62刚化AB:刚化BC:(3)叠加：ABCPaPAB*逐段刚化2aABq[例7-4-5]

用叠加法求中点C挠度和梁端截面B的转角。CDE2l解：

C为对称点，故C截面的转角为0。表7.1第2栏在RB作用下：表7.1第4栏在q作用下：BEqBElqBEa弯曲变形632aABq[例7-4-5]用叠加法求中点C挠度和梁端截面B一、刚度条件：叠加：弯曲变形2设计截面1刚度校核3

确定许可载荷

2aABqCDE2llqBEa§7-5梁的刚度计算或64一、刚度条件：叠加：弯曲变形2设计截面1刚度校核3确定CABDF2=2kNABF1=1kNDC[例7-5-1]一空心圆杆，内外径：d=40mm、D=80mm，E=210GPa，C点的[w/L]=0.0001，B点的[]=0.001弧度，试核此杆的刚度。+弯曲变形解：查表求简单载荷变形叠加=L=0.4ma=0.1mC0.2mABF1=1kNDF2=2kN65CABDF2=2kNABF1=1kNDC[例7-5-1]一校核刚度弯曲变形刚度条件满足。66校核刚度弯曲变形刚度条件满足。25一、基本概念弯曲变形2超静定问题：单纯依靠静力平衡方程不能确定出全部未知力（支反力、内力）的问题。1静定问题：单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反力、内力）的问题。

3超静定次数n：n=未知力数－独立的平衡方程数FBA§7-6简单超静定梁BFAC67一、基本概念弯曲变形2超静定问题：单纯依靠静力平衡方程不能1静定结构除荷载外，其他因素如温度改变、支座移动、制造误差、材料收缩等都不引起内力，即静定结构无装配应力、无温度应力等；而超静定结构中，任何因素都可能引起内力。2静定结构与结构的材料性质和截面尺寸无关，而超静定结构与结构的材料性质和截面尺寸有关。二、超静定结构的特性3超静定结构的刚度比相应的静定结构要大。4超静定结构在多余联系破坏后，仍然能维持几何不变性，而静定结构在任一联系破坏后就变成了几何可变体系。弯曲变形求解弯曲超静定问题时，首先要选择原超静定结构的静定基，得其相当系统。681静定结构除荷载外，其他因素如温度改变、支座移动、制造误差=RBAB弯曲变形q0lAB[例7-7-1]求支座B的反力。（2）变形协调方程：解：(1)确定静定基，得

原结构的相当系统：+

ABq0(3)物理方程(4)补充方程ABRBq0变形比较法69=RBAB弯曲变形q0lAB[例7-7-1]求支座B的反力(2）变形协调方程：解：(1)确定静定基，得原结构的相当系统：[例7-7-2]

求BC杆的内力。+=弯曲变形lBCl等价q070(2）变形协调方程：解：(1)确定静定基，得原结构的相当系统(3)物理方程(4)补充方程等价lBClq0+=弯曲变形71(3)物理方程(4)补充方程等价lBClq0+=弯曲变形30弯曲变形[例7-7-3]如图所示双梁系统，弹簧刚度K，上下梁的抗弯刚度均为EI，求（1）弹簧受力大小，（2）当P/(q0l)=?时弹簧不受力。l/2l/2l/2l/2解：(1)确定静定基，得原结构的相当系统：F上梁F下梁+72弯曲变形