曲线积分与曲面积分期末总结复习题高等数学下册上海电机学院

曲线积分与曲面积分期末总结复习题高等数学下册的上海电机学院曲线积分与曲面积分期末总结复习题高等数学下册的上海电机学院曲线积分与曲面积分期末总结复习题高等数学下册的上海电机学院第十章曲线积分与曲面积分答案一、选择题．曲线积分f(x)exsinydxf(x)cosydy与路径没关，此中f(x)有一阶连续偏导L数，且f(0)0，那么f(x)BA.1(exex)B.1(exex)C.1(exex)2222．闭曲线C为xyydxxdyC1的正向，那么?xyC3．闭曲线C为4x2y21的正向，那么?ydxxdyD4x2y2CA.2B.2D.4．为YOZ平面上y2z21，那么(x2y2z2)dsDB.C.1D.1425．设C:x2y2a2，那么?(x2y2)dsCCA.2a2B.a2C.2a3D.4a36.设为球面x2y2z21，那么曲面积分1dS的值为[B]x2y2z2A.4B.2C.D.127.设L是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，那么曲线积分yds[C]LA.1B.1C.2D.222228.设I=yds此中L是抛物线yx2上点〔0,0〕与点(1,1)之间的一段弧,LI=[D]5555551551A.6B.C.6D.12129.假如简单闭曲线l所围地区的面积为，那么是〔D〕1xdxydy；B.1ydyxdx；A.22llC.1ydxxdy；D.1xdyydx。2l2l10．设S:x2y2z2R2(z0)，S1为S在第一卦限中局部，那么有CA.xds4xdsB.yds4ydsSS1SS1C.zds4zdsD.xyzds4xyzdsSS1SS1二、填空题1.设L是以(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)为极点的正方形界限正向一周，那么曲线积分Lydx(ey2x)dy-22.S为球面x2y2z2a2的外侧,那么(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy0s3.ydxxdy=2x2y2x2y214．曲线积分?(x2y2)ds，此中C是圆心在原点，半径为a的圆周，那么积分值为2a3C5．设∑为上半球面z4x2y2z0，那么曲面积分x2y2z2ds=32π6.设曲线C为圆周x2y21,那么曲线积分?Cx2y23xds2.7.设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为极点的三角形界限，那么曲线积分(xy)ds1+2C8.设为上半球面z4x2y2，那么曲面积分1x2dsz2的值为8。y23圆滑曲面z=f〔x，y〕在xoy平面上的投影地区为D，那么曲面z=f〔x，y〕的面积是S1(z)2(z)2dDxy10．设L是抛物线yx3上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，那么曲线积分(2x4y)dxL1211、设为螺旋线xcost,ysint,z3t上相应于t从0到的一段弧，那么曲线积分I(x2y22)ds212。z222xdyydx212、设L为xya的正向，那么?22。L三、计算题1．ex2y2ds，此中L为圆周x2y21，直线yx及x轴在第一象限所围图形的界限。L解：记线段OA方程yx,0x2，圆弧AB方程xcos,02ysin4线段OB方程y0,0x1。ex2y2ex2y2ex2y221exdx那么原式＝ds＋ds＋ds＝2e2x2dx＋4ed＋OAABOB000＝2(e1)e＃42．x2y2dxy[xyln(xx2y2)]dy，此中L为曲线ysinx,0x与直线L段y0,0x所围闭地区D的正向界限。解：利用格林公式，Px2y2，Qy[xyln(xx2y2)]，那么Pyy2，Qy2yy2yx2xx2(QP)dxdyy2dxdysinxy2dy＝1sin3xdx4故原式＝dx＃DxyD003093．y2dxx2dy，此中L为圆周x2y2R2的上半局部，L的方向为逆时针。L解：L的参数方程为xRcost，t从0变化到。yRsint故原式＝[R2sin2t(Rsint)R2cos2t(Rcost)]dt0＝R3[(1cos2t)(sint)(1sin2t)cost]dt＝4R3＃034．求抛物面zx2y2被平面z1所割下的有界局部的面积。解：曲面的方程为zx2y2,(x,y)D，这里D为在XOY平面的投影地区{(x,y)x2y21}。故所求面积＝1zx2zy2dxdy14(x2y2)dxdyDD212rdr551d14r＃0065、计算(exsinymy)dx(excosym)dy，此中L为圆(xa)2y2a2(a0)的上L半圆周，方向为从点A(2a,0)沿L到原点O。解：增添从原点到点A的直线段后，闭曲线所围地区记为D，利用格林公式P(exsinymy)，Qexcosym，Pexcosym，Qexcosyyx于是(exsinymy)dx(excosym)dy＋(exsinymy)dx(excosym)dyLOA＝mdxdyma22D而(exsinymy)dx2a0dx00，于是便有(excosym)dy＝0OA(exsinymy)dx(excosym)dy＝ma2＃L26．(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz，此中L为球面x2y2z21在第一L卦限局部的界限，当从球面外看时为顺时针。解：曲线由三段圆弧构成，设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程x0ycost，t从变化到0。2zsint于是(y2z2)dx(z2x2)dy(x20t(sint)cos2t(cost)]dt＝4y2)dz＝[sin2AB23由对称性即得(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz3(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz4LAB＃7．(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy，此中为平面xyz1,x0,y0,0所围立体的表面的外侧。解：记1为该表面在XOY平面内的局部，2为该表面在YOZ平面内的局部，3为该表面在XOZ平面内的局部，4为该表面在平面xyz1内的局部。1的方程为z0,0y1x,0x1，依据定向，我们有(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy＝(z1)dxdy＝1dxdy110x120y1x同理，(x1)dydz(y1)dzdx(z11)dxdy22(x1)dydz(y1)dzdx(z11)dxdy324的方程为z1xy,0y1x,0x1，故(z1)dxdy(2xy)dxdy2，40x130y1x由对称性可得(x1)dydz(y1)dzdx2，443故(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy24于是所求积分为2131＃228．计算曲面积分：(xyz)dydz[2ysin(zx)]dzdx(3zexy)dxdy，此中SS为曲面xyz1的外侧。11＃解：利用高斯公式，所求积分等于ggg=8(123)dxdydz=68uvw1329.计算I=xydydzyzdzdxxzdxdy，此中S为x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所围立s体的表面外侧解：设V是x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所围的立体Gass公式得:I=(xyz)dxdydzV=01dx01xdy01xy(xyz)dz=1＃810．计算I=x3dx3zy2dyx2ydz,此中是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB解：直线段AB的方程是xyz；化为参数方程得：321x=3t,y=2t,z=t,t从1变到0，因此：I=x3dx3zy2dyx2ydz033t(2t)22(3t)22t]dt＝8703dt87＝[(3t)3t＃11411.计算曲线积分I=AMO(exsiny2y)dx(excosy2)dy,此中AMO是由点A(a,0)至点O(0,0)的上半圆周x2y2ax解：在x轴上连结点O(0,0),A(a,0)将AMO扩大成关闭的半圆形AMOA在线段OA上,OA(exsiny2y)dx(excosy2)dy0进而AMOAMOOAAMOA又由Green公式得:xsiny2y)dxxcosy2)dy2dxdya2AMOA(e(e4＃x2y2ax12.计算曲线积分Lz3dxx3dyy3dz此中L是z=2(x2y2)与z=3x2y2的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向解：将L写成参数方程:x=cost,y=sint,z=2t:023于是:Lz3dxx3dyy3dz=28sintdt2cos4tdt=004另证：由斯托克斯公式得Lz3dxx3dyy3dz=(3y20)dydz(3z20)dxdz(3x20)dxdy:z2,x2y21上侧，那么：3dx3dy3dz32dxdy321r32dr3?Lzxyx0d0cos4＃x2y2113.设曲面S为平面x+y+z=1在第一卦限局部，计算曲面S的面积I解：S在xoy平面的投影地区为：Dxy(x,y)0y1x,0x1I=dS=3dxdy＝1dx1x3dy＝13(1x)dx30002＃SDxy14.计算曲线积分L(xy)dx(xy)dy此中L是沿着圆(x1)2(y1)21从点x2y2A(0,1)到点B(2,1)的上半单位圆弧解：设P(x,y)xyxyx2，Q(x,y)xy2y22当x2y20时，PQy2x22xyyx(x2y2)2故：所求曲线积分在不包围原点的地区内与路径没关那么：(xy)dx(xy)dy=(xy)dx(xy)dyLx2y2ABx2y2=2x1)dx=1ln5-arctan2＃(0x21215.确立的值，使曲线积分x24xydx6x1y22ydy在XoY平面上与路径无C关。当起点为0,0，终点为3,1时，求此曲线积分的值。解：由，Px24xy,Q6x1y22y；由条件得PQ,即4xy161x2,3,yx3,1x24xy3dx2y22ydy1x3y22y33,1260,06x32x0,0＃16.设曲面S为球面x2y2z24被平面z=1截出的顶部，计算I=1dSSz解：S的方程为：z4x2y2S在xoy平面的投影地区为：Dxy(x,y)x2y23I=22dxdy＝2d32r2dr＝4ln2＃4x2y004rDxy17.计算I=yzdydzxzdzdx(xyz)dxdy，此中是x2y2(za)2a2，za，取下侧解：作协助曲面1:z=a，(x2y2a2)取上侧设为x2y2(za)2a2,za所围闭地区Dxy为平面地区x2y2a2I(ò)yzdydzxzdxdz(xyz)dxdy11=dxdydz(xya)dxdy=2a3adxdy((xy)dxdy0)Dxy3DxyDxy1a3＃=318.．L为上半椭圆圆周xacost，取顺时针方向，求ydxxdyybsintL.yydxxdy0(asint)acost(bcost)]dt解：[bsintL0abdtA0Bxab.＃19．计算曲面积分òxdydzydzdx(z22z)dxdy，此中为锥面zx2y2与z1所围的整个曲面的外侧。解：由高斯公式，可得I(112z2)dv2zdv221d1zdzd002.＃I?L(yxyx2y220．计算曲线积分e)dx(3xe)dy，此中L是椭圆a2b21的正向。解：令Pyex,Q3xey,那么QP2。xy设L所围成的闭地区为D，那么其面积ab。进而由格林公式可得I

?L

(y

ex)dx

(3x

ey)dy

2dxdy

2

dxdy

2ab.

＃D

D21．设

为柱面

x2

z2

a2

在使得

x

0，y

0的两个卦限内被平面

y0及

y

h所截下局部的外侧，试计算

I

xyzdxdy。解：将分红1与2，此中1：za2x2〔取上侧〕，2：za2x2〔取下侧〕，1与2在xoy面上的投影为Dxy:0xa,0yh，故xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy12xya2x2dxdyxy(a2x2)dxdyDxyDxy2xya2x2dxdyaha2x2ydy2dxxDxy001a3h2.3＃22．计算曲面积分Iz2dS，此中是柱面x2y24介于0z6的局部。解：设1为在第一卦限的部分曲面。1:x4y2,xy,x0，得y4y2z222dydzdSxxyoz1zdydz4y2。1在面上的投影域为yDyz:0y2,0z6。226z2dS4z2dS42zdydz1dy288.故8z2dz＃Dyz4y204y20123.计算曲面积分I(z2x)dydzzdxdy，此中是旋转抛物面z1(x2y2)介于20及z2之间局部的下侧。解：利用高斯公式，取1:z2且x2y24。取上侧，与1构成关闭的外侧曲面，所围的闭域为，1对应的Dxy为：x2y24。(z2x)dydzzdxdyò(z2x)dydzzdxdy(z2x)dydzzdxdy11(11)dv2dxdy12dv2dxdyDxy22d2dr2222002rdz21r880.＃24．计算曲线积分Iyxdxyxdy，此中C是自点A2,1沿曲线Cx2y2ycosx到点B2,1的曲线段。2解：Pxy,Qyx,Px22xyy2Q,x2y20,x2y2x2y2yx2y22x取小圆周C:x2y2,充分小,取逆时针方向,那么由Green公式可得:121x＃I2?(yx)dx(yx)dy21x2dx22arctan2Còxydxdyyzxdydz:柱面2y21及平面25．用高斯公式计算，此中x0,z3围成关闭曲面的外侧。解：Pyzx,Q0,RxyPyz,Q0,R0xyz原式=yzdvrsinzrdrddz2d13rsinzdz=rdr0002d12sin9rdr=3r0022sin9d=9=04226．计算曲面积分Ix8z1dydz4yzdzdxy2z2dxdy，此中是曲面z1x2y2被平面z3所截下的局部，取下側。解：补1:x2y22,取上侧,Iò,而z31133,此中D(z):x2y2òdv1dzdxdy1(z1)dz2z11D(z)(y18)dxdy18dxdy36,I38＃1DxyDxy27．计算曲线积分(x3xy)dx(x2y2)dy，此中L是地区0≤x≤1，l0≤y≤1的界限正向。解：利用Green公式111(x3xy)dx(x2y2)dy=xdxdy[xdy]dx＃lD00228、计算曲面积分x2dydzy2dxdzz2dxdy，此中∑为平面方程x+y+z=1在第一卦限的上侧。解：x2dydzy2dxdzz2dxdy=[x2y2(1xy)2]dxdy1D4或由对称性：x2dydzy2dzdxz2dxdy，而z2dxdy1，故I1。124或3dSdxdydydzdzdx可知。＃29.计算Lxcosydxysinxdy，此中L是由点A〔0，0〕到B〔π，2π〕的直线段。解：AB的方程y2xx0,dy2dxxcosydxysinxdyxcos2x4xsinxdx4＃L030、设f(x)可微，f(0)1且曲线积分[2f(x)e2x]ydxf(x)dy与路径没关。求Lf(x)。解：P2fxe2x,Qfxyx因该项积分与路径没关，因此PQ,有2fxe2xfx。令yf(x)，yx得微分方程y2y2x，解得y2xxc，〔2分〕代入条件f(0)1得C=1ee进而有ye2xx1＃31、计算对面积的曲面积分y2z2ds,:zx2y2,此中1z2。解:Zxx,Zyyx2y2yx2

曲面在XOY平面上的投影为1x2y2421221x2y22ZxZy2y22y2xxy2x2y22dxdy=22d25sin2dr原式=Dxy01r1sin22