高考数学试题全国三卷3理科数学

高中高考数学试卷试题全国三卷3理科数学高中高考数学试卷试题全国三卷3理科数学高中高考数学试卷试题全国三卷3理科数学2019·全国卷Ⅲ(理科数学)1.A1,E3[2019·全国卷]已知会集{-1,0,1,2},{2≤1},则∩()ⅢA=B=x|xAB=A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}[剖析]由于A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},因此A∩B={-1,0,1}.2.L4[2019·全国卷Ⅲ]若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+ID.1+i2i2i(1-i)[剖析]z=1+i=(1+i)(1-i)=1+i.3.Ⅲ,并称为中国古典小说I2[2019·全国卷]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝四大名著.某中学为认识本校学生阅读四大名著的情况,随机检查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该检阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A0.5B0.6C0.7D0.8....[剖析]设只阅读过《西游记》的学生有x位,则x+60+(80-60)=90,解得x=10,因此阅读过《西游记》的学生70人数为10+60=70,故该检阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为100.4.J3[2019·全国卷Ⅲ](1+2x2)(1+x)4的张开式中x3的系数为()4.A[剖析]由于(12x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x)4,因此张开式中x3的系数为C43+2C4112+=.5.D3[2019·全国卷]已知各项均为正数的等比数列{a}的前4项和为15,且a3a4a,则a=()n15334??(1-??)1=15,??1=1,5.C[剖析]设数列{n}的公比为q,由题知1>0,q>0且q≠1,则{1-??312=4.aa42解得{??=2,因此a=aq????1=3????1+4??,16.B12[2019·全国卷Ⅲy=ax+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=x+b,则()]已知曲线e2A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1??(1)=2+??,??e=2+??,[剖析]令y=f(x)=aex+xlnx,则f'(x)=aex+lnx+1,由题意知{??'(1)=2,即{??e+1=2,-1解得{??=e,32??.y=()Ⅲ在[-6,6]的图像大体为2+2ABCD1-17B[剖析]()3,易知()(),因此()为奇函数,消除选项C;(4)30,消除选项.令y=f=2??2×41282+22+216+163432D;(6)2×6≈675,消除选项A应选B6-6=64+641..f=2+2.8.G5[2019·全国卷]如图12,点N为正方形ABCD的中心,△为正三角形,平面ECD⊥平面,是线段Ⅲ-ECDABCDMED的中点,则()1-2A.BM=EN,且直线BM,EN是订交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是订交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线[剖析]连接BD,则N为BD的中点,连接MN,CM,BE.以下列图,在△EDB中,M,N分别是ED,BD的中点,因此∥,1,则四边形MNBE是梯形,,EN是梯形的两条对角线,因此直线,EN订交设正方形ABCD的MNBEMN=2BEBMBM.边长为,由题意可得△为直角三角形,则22√7a+????BCMBM=√????=2a.记CD的中点为,连接,HN,则△为直角三角形,则22≠综上所述,≠,且直=aBMEN.BMENBM,EN是订交直线.9.D3,L1[2019·全国卷Ⅲ]执行图1-3的程序框图,若是输入的ε为0.01,则输出s的值等于())图1-31111A.2-24B.2-25C.2-26D.2-27[剖析]1,0,0+11,11001;s=1111001;s=111,x=110.01;s=1111110.01;s=111111x=s=s==x=2,2>.+2,x=4,4>.+2+48,8>+2+4+8,x=16,16>+2+4+8+16,x=32,111111111111111132>0.01;s=1+2+4+8+16+32,x=64,64>0.01;s=1+2+4+8+16+32+64,x=128,128<0.01,输出1111111×[1-(21)7]1s=1+2+4+8+16+32+64=1-21=2-26.22????10.H6[2019·全国卷Ⅲ]双曲线C:4-2=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(A3√2B3√2C22D32.4.2.√.√√6[剖析]设M为OF的中点,由题意知|OF|=√4+2=√6,则|OM|=2.由于|PO|=|PF|,因此点P在线段OF的垂直均分线上,即点P的横坐标为√6√22.不如设点P在第一象限,由题知双曲线的一条渐近线的方程为y=2x,可得点P的√31√33√2纵坐标为2,因此△PFO的面积S=2×√6×2=4.11.B3,B4[2019·全国卷Ⅲ]设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()A.f(log31)>f3>f242-22-3B.f(log31)>f2-2>f2-33243>f2>f(log312-22-3)42-2>f2-3>f(log3132)4-3-20111C[剖析]由于(341,022<2321,因此(log3)=f-.x<<=f+∞>f4323241).log34)=f(log34)<f(1),f2-2>f2-3>f(20)=f(1),因此f2-2>f2-3>f(log3π0),已知()在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:()在12.C4[2019·全国卷Ⅲ]设函数f(x)=sin(????+5)(ω>fx①fx(0,2π)有且仅有3②fx③fxπ)单调递加;④ω的取值范围是个极大值点;()在(0,2π)有且仅有2个极小值点;()在(0,10[125,1029).其中所有正确结论的编号是()A.①④B.②③C.①②③D.①③④ππππ12.D[剖析]由x∈[0,2π],得ωx+5∈[5,2??π+5].设2ωπ+5=t,由题意及函数y=sinx的图像知,t∈[5π,6π),则ω∈[125,1029),故f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,而f(x)在(0,2π)可能有2个极小值点,也可能有3个极小值点,故①正确,②不正确,④正确;当x∈(0,πππ??ππ12,29),因此??ππ29ππ49πππ10)时,ωx+∈(5,10+5),由于ω∈[51010+<100+=<,故f(x)在(0,)单调递加,③正确.应选D.55510021013.F3[2019·全国卷Ⅲ]已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-√5b,则cos<a,c>=.2√2222??·??213.[剖析]由于|c|=(2??-5??)+5??·c=a·(2a-√5b)=2a-√5a·b=2,因此cos<a,c>==.3|??||??|3??14.D2[2019·全国卷Ⅲ]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则??10=.514.4[剖析]设数列{n}的公差为d,由题意得131,即2a1,则5515×4251,10=10110×9100a1,aa+d=ad=S=a+2d=aSa+2d=因此??100??10=1=4.??525??122????15.H5[2019·全国卷]设F,F为椭圆:=1的两个焦点,为C上一点且在第一象限若△F为等腰三角2121形,则M的坐标为.15.(3,15)[剖析]不如设1为椭圆C的左焦点,由题意知112|=8,则2|=12-|MF14.过M作MN垂直√F|MF|=|FF|MF|=于x轴,垂足为N,则在Rt△MF1N和Rt△MF2N中,分别有|MN|2=|MF1|2-|NF1|2=64-|NF1|2,|MN|2=|MF2|2-|NF2|2=16-|NF2|2,故|NF1|2-|NF2|2=48,又|NF1|+|NF2|=|F1F2|=8,因此|NF1|=7,|NF2|=1,因此N的坐标为(3,0),即点M的横坐标为3,又M为C上一点且在第一象限,可得yM=√15,故M的坐标为(3,√15).16.G1[2019·全国卷]学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型,如图14,该模型为长方体ABCD-Ⅲ-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印耗费,制作该模型所需原料的质量为g.1-416.118.8[剖析]由题易知,四边形EFGH是菱形,且S四边形EFGH=1×6×4=12(cm2),四棱锥O-EFGH的高为3cm,2其体积为13.又长方体ABCD-ABCD××=144(cm3),故长方体ABCD-ABCD挖11111111去四棱锥O-EFGH后所得几何体的体积为144-12=132(cm3),132×0.9=118.8(g),因此,制作该模型所需原料的质量为118.8g.17.I2[2019·全国卷Ⅲ]为认识甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行以下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.依照试验数据分别获取如图1-5所示的直方图:图1-5记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于”,依照直方图获取P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).17.解:(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.10050.150700.10.b=-.--.=(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.18.C8[2019·全国卷]△的内角,,的对边分别为,,,已知asin??+??sinA.ⅢABCABCabc2=b(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.??+??18.解:(1)由题设及正弦定理得sinAsin2=sinBsinA.??+??由于sinA≠0,因此sin2=sinB.??+????由A+B+C=180°,可得sin2=cos2,??????cos2=2sin2cos2.由于cos??故sin??1,因此60°2≠0,2=2B=.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S√3△=4a.ABC??sin??sin(120°-??)√31由正弦定理得a=sin??=sin??=2tan??+2.ABC为锐角三角形,故<A<90<C<.A+C=120<C<°,由于△0°°,0°90°由(1)知°,因此30°90√√△√3√3因此,△ABC面积的取值范围是(8,2).G3,G5,G10[2019·全国卷Ⅲ]如图1-6,图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图②.(1)证明:图②中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图②中的二面角B-CG-A的大小.①②图1-619.解:(1)证明:由已知得AD∥BE,CG∥BE,因此AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得⊥,⊥,故AB⊥平面BCGE.ABBEABBC又由于AB?平面ABC,因此平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC,垂足为H.由于EH?平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,因此EH⊥平面ABC.由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=√3.以H为坐标原点,?????的方向为x轴的正方向,建立以下列图的空间直角坐标系H-xyz,则(A-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,√3),????=(1,0,√3),????=(2,-1,0).设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),则{????·?=0,即{??+√3??=0,????·?=0,2??-??=0.因此可取n=(3,6,-√3).??·??√3又平面BCGE的法向量可取为m=(0,1,0),因此cos<n,m>=|??||??|=2.因此二面角B-CG-A的大小为30°.20.Ⅲfx=x3-ax2+b.B3,B12[2019·全国卷]已知函数()2(1)谈论f(x)的单调性.(2)可否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明原由.20.解:(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).??令f'(x)=0,得x=0或x=3.????????a>0,则当x∈(-∞,0)∪(3,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(0,3)时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,0),(3,+∞)单调递加,在(0,3)单调递减;a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递加;??)时,()0,当∈(??时,()??)单调递加,在(??单调递减若a<0,则当x∈(-∞,3)∪(0,x3,0)0,故()在(-∞,),(0,3,0).+∞f'x>f'x<fx3+∞(2)满足题设条件的a,b存在.(i)当a≤0时,由(1)知,()在[0,1]单调递加,因此()在区间[0,1]的最小值为(0),最大值为f(1)2-a+b.此时a,b满fxfxf=b=足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.(ii)当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,因此f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.3????(iii)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在区间[0,1]的最小值为f(3)=-27+b,最大值为b或2-a+b.3??3-27+b=-1,b=1,则a=3√2,与0<a<3矛盾.a3若-27+b=-1,2-a+b=1,则a=3√3或a=-3√3或a=0,与0<a<3矛盾.综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1.221.H4,H7[2019·全国卷Ⅲ]已知曲线C:y=??2,D为直线y=-21上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E(0,25)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.1221.解:(1)证明:设D(??,-),A(x1,y1=2y1.),则??12由于y'=x,因此切线DA的斜率为x1,故??+1,12=x1??-??1整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.1因此直线AB过定点(0,2).1.由{??=????+1,(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+22可得x2-2tx-1=0.2??=??2于是x+x=txx=-1,y+y=tx+x+=t2+1,12121212222-4????=2(t122+1).|AB|=√1+??|x1-x2|=√1+??×√(??1+??)22+1,d=2设d,d分别为点D,E到直线AB的距离,则d.21212√??+1122+1因此,四边形ADBE的面积S=2|AB|(d+d)=(t+3)√.121M为线段AB的中点,则M(??,??+2).???????????????2?????22)0,解得0或1(,2),????t=由于????,而????=tt-与向量(1,t)平行,因此t+(t-t=t=±.t=0时,S=3;当t=±1时,S=4√2.因此,四边形ADBE的面积为3或4√2.N3[2019·全国卷Ⅲ][选修4-4:坐标系与参数方程]如图1-7,在极坐标系Ox中,A(2,0),B(√2,π3π(1,0),(1,π4),C(√2,4),D(2,π),弧????,???,????所在圆的圆心分别是2),(1,π),曲1?2?3?.1-7(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3组成,若点P在M上,且|OP|=√3,求P的极坐标.???ρ=2cosθρ=,2sinθρ=,-2cosθ.22.解:(1)由题设可得,弧????,???,???所在圆的极坐