勾股定理的运用教案教学设计导学案

知识点：勾股定理的运用知识关联：勾股定理，算术平方根的计算，一元一次方程的解法问题情境1:运用勾股定理计算直角三角形的斜边问题模型：已知三角形的两条直角边，求斜边的长求解模型：【例题】如图，Z^ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE_LAC.若BE=12,AE=16,则DE【分析】在RtAABE中，先根据勾股定理求出AB的长，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可求出DE的长.【答案】A.练习：L在Rt△血中，Zr=90°,若a=5,6=12,则。=.【答案】13.若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足一6,+9+|b—4|二。，则该直角三角形的斜边长为一—.【答案】5.直角三角形的两边长的比是3：4,斜边长是25,则它的两直角边长分别是.【答案】15,20.在RtZXABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )A.36T□12A.36T□12D.——25【答案】A问题情境2：运用勾股定理计算直角三角形的一条直角边长问题模型：已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边由a、c=>得出匕=而匚/忏=>代入a、c的值=>得出b的值求解模型：【例题】在aABC中，NC=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长为【分析】根据勾股定理列式计算即可得解.VZC=90°,AB=7,BC=5,AC=dg2_BCAj72-5加，故答案为：2泥.【答案】2^6练习：L如图所示，在Rt△板中，ZA=90",劭平分/月6C,交月。于点〃且J5=4,BD=5,则点〃到比的距离是（）A.52 B.32 C.24 D.9【答案】A.四边形物力是菱形，对角线月。与初相交于。止5,月34,求加的长.【答案】解：•••四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于0,AACXBD,D0=B0,VAB=5,A0=4,.-.B0^e2_42=3,ABD=2B0=2X3=6..在Rt△嫉中，ZC=9Q°,若a=5,c=10,则6=.【答案】56知识关联：勾股定理，等腰三角形的性质问题情境3：运用勾股定理计算直角三角形的一条边长问题模型：已知直角三角形的两边长，求第三边的长求解模型:由a、b=0得出c=正寿=>代入a、b的值(==>得出c的值由a、c=C>得出b=五2—〃2f=>代入a、c的值=»得出b的值【例题】RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2.以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD,则线段BD的长为 .【分析】首先要结合题意，画出相应的图形.因为以AC为一边在△ABC外部作等腰直角三角形ACD,则AC可以是直角边，也可以是斜边，所以有三种情况.如图(1),BD=4：如图(2)BD=a/22+42=2^：如图(3),NACD=90",BC=2>/J,CD=&BD=7(2>^)2+(7^=加.【答案】4或2行或加练习：L在Rt△嫉中，若&=3,6=5,则°=.【答案】4或后.如图.在此△月以7中，/左30°,庞垂直平分斜边47,交AB千D,5式垂足，连接出若除1,贝IJA。的长是( )A.2V3 B.2 C.4>/3D.4【答案】A.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为（ ）A.5 B.W C.V5 D.5或、【答案】D问题情境4：运用勾股定理求实际问题中的线段的长度问题模型：已知实际问题中的几条线段，构造直角三角形求一条直角边或斜边的长求解模型：根据实际问题画出几何图形由实际问题中的已知条件得出已知几何图形中的线段长由实际问题中的已知条件得出已知几何图形中的线段长根据实际问题画出几何图形由实际问题中的已知条件得出已知几何图形中的线段长由实际问题中的已知条件得出已知几何图形中的线段长【例题】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A.8米B.10米C.12米D・14米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.则EBDC【答案】解：如图，设大树高为AB=10m,小树高为CD=4m,过C点作CE_LAB于E,是矩形，连接AC则EBDC，EB=4m,EC=8m»AE=AB-EB=10-4=6m,在Rt△AEC111»AC=J《E2+EC*(0m，故选B.A练习：1.一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？【答案】解：如图所示：连接月C在Rt^ABC中，由勾股定理得：AC=RAB?+BC2=小(m)七2.236>2.2•••这块薄木板能从门框内通过..有一根70cm长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的木箱中，能否放进去？【答案】解：能,理由如下：V7(1OV4?)2+3O2=50>/2°70,7>70，能放进去..如图所示，一场暴雨过后，垂直于地而的一棵树在距地而1米处折断，树尖万恰好碰到地面，经测量32米，则树高为（ ）B.旧米C.（若B.旧米C.（若+1）米D.3米根据勾股定理求出未知数的值根据已知条件在图形上标明:①各己知边的长度;②标出相等的边和相等的角根据勾股定理求出未知数的值根据已知条件在图形上标明:①各己知边的长度;②标出相等的边和相等的角【答案】C知识关联：勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，一元一次方程的解法，角平分线的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质问题情境5：求折叠问题中的线段的长度问题模型：已知一个矩形的长和宽，求折叠所得的直角三角形的一条边的长求解模型： ■在未知线段所在的直角,三角形中表=>示出三条边的长【例题】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12,BC=5,点E在AB上，将ADAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为.【分析】由勾股定理求得:BD=13,DA二DA'=BC二5,ZDA,E=ZDAE=90°,设AE=x,贝ijA'E=x,BE=12—x,BA,=13~5=8,在RtZkE4B中，（12-x）2=/+82,解得：x=W,即AE的长为123 3…但.10【答案】一3练习：L如图，在在中，ZC=90°,AC=8,BC=6,按图中所示方法将△应力沿物折叠,使点。落在边四上的点U处，则折痕劭的长为.

【答案】3^52.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边月r=6cm、BC=8cm,现将△的折叠，使点6与点月重合，折痕为〃瓦则正的长为(A)4cm(B)5cm(C)6cm(D)10cm第15题【答案】B3.如图，在心448。中，NHg90°,N炉30°,6U3.点，是6。边上一动点(不与点5、。重合)，过点0作0瓦L5C交四边于点E,将N6沿直线应翻折，点5落在射线3。上的点尸处，当AW为直角三角形时，劭的长为使。点与4使。点与4点重合，求折痕及7【答案】1或24.如图，长方形应7?中，AB=3,6c=4,将该长方形折叠,的长.【答案】解：如图所示，设月。与“•相交于点。，连接小根据题意可得：ACLEF,设密岗则QM-x,根据折叠的性质可得：9-x,A38,N月密NCOFN月赤NC赤900在长方形被力中，HU5,故H332.5,在Rt△月国中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2即:32+x2=(4-x)2在Rt△月支•中，由勾股定理得：A02+OE2=AE2解得：05-8在和RtZkCC斤中AUCO,/FAU/ECO,N月赤/。限90°故Rt△小心RtZkC无（ASA）：.0f^0^—8HP：EF^-4故折痕所的长为4知识关联：勾股定理，立体图形的平面展开图问题情境6：求立体图形中两点之间的最短距离问题模型：已知一个立体图形，求立体图形中两点之间的最短路径长求解模型：将立体图形展开成平面图形连接起点和终点，构造这条线段所在的直角三角形一运用勾股定理求出最短路径的长【例题】如图，圆柱形容器中，高为l.2m,底面周长为1如在容器内壁离容器底部0.3m••的点5处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点4处，••♦•则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）.（第16题图圮【分析】因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P,使PA+PB最短，过A作EF的对称点4,连接4B,则A'B与EF的交点就是所求的点P,过B作BM±A4于点M,在町M'MB中，A'M=L2,BM=L,所以△/=Ja'M?+8M?=1.3，因为2A'B=AP+P8,所以壁虎捉蚊子的最短距离为L3m.

AA.M|\【答案】1.3m.练习：如阳1W-3•一4•网桂居他的纳岛为九底面中出力，-现更田优3A的女网曲＜则儿(△5)ftlKHMHa展蝶*为**■选的1.ftW«W«GIC»M.【答案】香£CHR今创，■周I・l9・d・一只*暇国崇叁长.禽，育分加为2E,1・m,4E竹氏川修新网从sry?ATATffiI10i•»=«-&A.cr«#«R+TSW.Wffff【答案】n9价,同是二冲•雷夏或1夕工即他区下幔段Al’mK«.ffHtlMttitiM*Mtt.BfT*i19-5.AU=/Xr*T??^=jW♦3-5<cm>.MT，l-ZOFTBC^-13+<什”'=?35(cr»>.先求出前三个直角三角形的直角边的长归纳得出第先求出前三个直角三角形的直角边的长归纳得出第n个图形中要求的直角三角形的边的长度/FtTFFD7--歌上雨片•最归易域颊量1“5黑米・%56、问题情境7：运用勾股定理作长度为(n为正整数)的线段问题模型：已知直角边为正整数的一个直角三角形，按规律求出第n个图形中直角三角形的斜边求解模型： 分析这些直角边的 长度的共同规律【例题】如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形.的斜边长为16/厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为 厘米.［分析】设第①个等腰直角三角形的斜边长为x,第②个等腰直角三角形的斜边是第①个无倍，第③个等腰直角三角形的斜边是第①个2倍，第④个等腰直角三角形的斜边是第①个2人倍