精选最短路径(将军饮马造桥选址)

郧西县河夹中学段廉洁最短路径问题将军饮马问题造桥选址问题最短路径问题①垂线段最短。②两点之间，线段最短。LABABLC问题1

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ABCL两种情形点A，B分别是直线l异侧的两个点点A,B分别是直线l同侧的两个点ABllABCB′C解决问题1①作图lABB′C②证明lABB′CC′lABB′CC′证明:问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）ABMNab解决问题2①作图②证明ABMNabA′ABMNabA′M′N′证明:ABMNabA′M′N′练习

1、如图1，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球?

2、如图2，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为多少？

DBAC图1ABDC图2A′A″NM郧西县河夹镇初级中学段廉洁造桥选址问题的延伸探索造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA思维分析BA1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花各抒己见1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.合作与交流1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.17、空山新雨后，天气晚来秋。平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２＝PQ，A2A3=GH；连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．点A，B分别是直线l异侧的两个点如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。13、乍见翻疑梦，相悲各问年。沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２＝PQ，A2A3=GH；在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B此时从A到B点路径最短.沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２＝PQ，A2A3=GH；问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN问题延伸一如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处思维方法一1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，使A1A2=PQ.（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．问题解决沿垂直于河岸方向依次把Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２＝ＰＱ；连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．思维方法二沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法三沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B１、B２，使BB１＝PQ，B１B２＝MN；连接B２A交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；连接B１N交B１的对岸于P点，建桥PQ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为AB2+B2B1+B1B．问题延伸二如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２＝PQ，A2A3=GH；连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.此时从A到B点路径最短.2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；十月225:46下午10月-2217:46October30,20222022/10/3017:46:1717:46:1730October2022连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸的Ｎ点，建桥ＭＮ；如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．郧西县河夹中学段廉洁16、业余生活要有意义，不要越轨。在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ；10月-2210月-2217:46:1717:46:17October30,20223、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？16、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２＝PQ，A2A3=GH；连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.此时从A到B点路径最短.问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１，使AA１＝MN，平移B点至B1、B2,使BB1＝GH，B1B2=PQ；连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点，交第二条河与N相邻河岸于P点，建桥MN、PQ；连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点，建桥GH；此时从A到B点路径最短.问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２＝ＰＱ，平移B点至B1,使BB1＝GH；连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ；连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸的Ｎ点，建桥ＭＮ；此时从A到B点路径最短.问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２＝ＰＱ，平移B点至B1,使BB1＝GH；连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ；连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸的Ｎ点，建桥ＭＮ；此时从A到B点路径最短.问题解决9、静夜四无邻，荒居旧业贫。。11月-2211月-22Tuesday,November22,202210、雨中黄叶树，灯下白头人。。15:24:2815:24:2815:2411/22/20223:24:28PM11、以我独沈久，愧君相见频。。11月-2215:24:2815:24Nov-2222-Nov-2212、故人江海别，几度隔山川。。15:24:2815:24:2815:24Tuesday,November22,202213、乍见翻疑梦，相悲各问年。。11月-2211月-2215:24:2815:24:28November22,202214、他乡生白发，旧国见青山。。22十一月20223:24:28下午15:24:2811月-2215、比不了得就不比，得不到的就不要。。。十一月223:24下午11月-2215:24November22,202216、行动出成果，工作出财富。。2022/11/2215:24:2815:24:2822November202217、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。。3:24:28下午3:24下午15:24:2811月-229、没有失败，只有暂时停止成功！。11月-2211月-22Tuesday,November22,202210、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。。15:24:2815:24:2815:2411/22/20223:24:28PM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。。11月-2215:24:2815:24Nov-2222-Nov-2212、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。。15:24:2815:24:2815:24Tuesday,November22,202213、不知香积寺，数里入云峰。。11月-2211月-2215:24:2815:24:28November22,202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。22十一月20223:24:28下午15:24:2811月-2215、楚塞三湘接，荆门九派通。。。十一月223:24下午11月-2215:24November22,202216、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。。2022/11/2215:24:2815:24:2822November202217、空山新雨后，天气晚来秋。。3:24:28下午3:24下午15:24:2811月-229、杨柳散和风，青山澹吾虑。。11月-2211月-22Tuesday,November22,202210、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。15:24:2815:24:2815:2411/22/20223:24:28PM11、越是没有本领的就越加自命不凡。11月-2215:24:2815:2