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文档简介
第二章随机信号与噪声交通大学
电子工程系
2009.7定义分类描述概率分布和概率密度函数数字特征2009.07交通大学电子工程系定义随 量
X
(e)不仅与样本元素e有关,且与时间t有关
随机过程X(t,e)2009.07交通大学电子工程系设随机实验E的样本空间是S
e，若对某个元素e
S，总有一个确知的时间函数Xt,e，t
T与之对应。这样，对于所有的eS，就可得到一簇时间t的函数，将这簇函数的全体称为随机过程，记作Xt,e或Xt
对给定的ti和e
j，Xt,e是一个确定的数值对给定的ti，Xt,
e是一个随
量对给定的e
j，Xt,e是一个时间函数——样本函数当t,e都为变量时，Xt,e是一个随机过程定义1：2009.07交通大学电子工程系2009.07交通大学电子工程系若对每个特定的时间ti
i
1,2,K，Xti
,e都是随 量，则称X
t,
e为随机过程。即将随机过程看作是依赖于时间t的一簇随
量。定义2：。。。2009.07交通大学电子工程系以上两种定义从不同角度描述了随机过程，应用于不同的场合：对随机过程作实际观测时，
常用定义1，此时用实验方法观测各个样本，只要观测的样本数足够多，就可掌握随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义
2，此时把随机过程看作是n维随 量，只要维数足够多(n足够大)，就可掌握随机过程的统计特性。2009.07交通大学电子工程系随机过程的分类根据信号的取值及时间是离散的还是连续的连续随机过程：取值连续，时间连续连续随机序列：取值连续，时间离散离散随机过程：取值离散，时间连续离散随机序列：取值离散，时间离散例：噪声电压例：PAM信号例：数字基带信号例：PCM中的量化信号连续随机过程和离散随机过程又合称连续时间随机过
程；连续时间随机序列和离散时间序列又合称离散时间随机过程。2009.07交通大学电子工程系根据样本函数的形式不确定的随机过程：—任意样本函数的未来值，不能由过去的观测值准确
。例：噪声电压确定的随机过程—任意样本函数的未来值，能由过去的观测值准确例：y(t)
Acos(0
t
)其中，为(0,2
)上均匀分布的随
量根据随机过程的分布函数或概率密度函数的特性平稳随机过程马尔可夫过程正态随机过程。。。2009.07交通大学电子工程系随机过程的概率分布和概率密度函数根据随机过程的定义2，随机过程的特性可采用量的联合概率分布描述随设随即过程X(t)在任意n个时刻的取值X
(t1
),X
(t2
),L
,X
(tn
)构成n维随量[X
(t1
),X
(t2
),L
,X
(tn
)]，则定义随机过程X(t)的n维分布函数和n维概率密度函数为FX(x1,
x2
,
L
,
xn
;
t1,
t2
,
L
,
tn
)
PX(t1)
x1,
X(t
2
)
x2
,
L
,
X(tn
)
xn
12x
,
x
,
L
,
xnn
F
(
x
,
x
,
L
,
x
)f
X
(
x1
,
x2
,
L
,
xn
;
t1,
t2
,
L
,
tn
)
X
1
2
n
2009.07交通大学电子工程系工程上常用一维，二维分布函数来描述，它能很好地反映随机过程的基本特性f
(
x
'
,
t
)dx
'f
(
x
'
,
x
'
;
t
,
t
)dx
'
,
dx
'X
1
2
1
2
1
2xXXx1
x2-
--FX
(
x1
,
x2
;
t1
,
t2
)
F
(
x,
t
)
x1
x2X
1
2
n
1
2x'
,dx'
,L,dx'1
2
nxL
n
f
(x'
,x'
,L
,
x'
;t
,t
,
--
-或
FX(x1,
x2,L,
xn;t1,t2,L,tn
)2009.07交通大学电子工程系随机过程的数字特征数学期望与方差数学期望XX-m
(t)
EX
t
xf
(x,t)dxmX
(t)是X(t)的所有样本在任一时刻t
的取值的统计平均;mX
(t)是时间t
的确定函数，随机过程的诸样本在它附近起伏。2009.07交通大学电子工程系X
XX22X
EX(t)
m
(t)
2 [
X(t)
m
(t)]
f
(x,t)dxDX
(t)σ
(t)
方差数学期望与方差仅描述了随机过程在各个时刻的统计平均特性，而它在任意两时刻的状态之间的联系则可由其自相关函数和自协方差函数描述。2X对其数学期望的偏离程度。
(t)也是t
的确定函数，它描述了随机过程的诸样本2009.07交通大学电子工程系
自相关函数和自协方差函数自相关函数RX
(t1,
t2
)
EX
(t1
)
X
(t2
)
-
-x1x2fX
(x1,
x2
;t1
,
t2
)dx1dx2RX
(t1,t2
)反映了X(t)在任意两时刻的取值之间的相关程度自协方差函数CX
(t1,
t2
)
EX(t1)
mX
(t1
)X(t2
)
mX
(t2
)CX
(t1,t2
)反映了X(t)在任意两时刻的起伏值之间的相关程度f (x
,
x
;t
,
t
)dx
dx1
X
1
2
X
2
X
1
2
1
2
1
2
-
-X
(t
)
m
(t
)
X(t
)
m
(t
)2009.07交通大学电子工程系222222
m
(t)X
(t)D
σ
(t)
E
X(t)
D
X
(t)R
(t,
t)
EX
(t)
XXXCX
(t,
t)
E[X
(t)
mX
(t)]X
σ
(t)
方差均方值当mX
(t1)
mX
(t2
)
0时CX
(t1,
t2
)
RX
(t1,
t2
)当t1
t2
t时CX
(t1
,
t2
)
RX
(t1
,
t2
)
mX
(t1
)mX
(t2
)2009.07交通大学电子工程系互相关函数和互协方差函数RXY(t1,t2
)
EX(t1
)Y(t2
)CXY(t1,t2
)
RXY(t1,t2
)
mX
(t1)mX
(t1)RXY
(t1,t2
)和CXY
(t1,t2
)描述了两个不同的随机过程的取值或起伏值之间的相关程度CXY(t1,t2
)
EX(t1
)
mX
(t1
)Y(t2
)
mY(t2
)
-
-
-
-xyfXY(x,y;t1,t2
)dxdyL
dxdy2009.07交通大学电子工程系注：1.不相关对任意的t1、t2，总有CXY
(t1,t2
)
0
—－X(t)和Y(t)不相关若不相关，则必有E
X(t1
)Y(t
2
)
E
X(t1
)E
Y(t2
)正交对任意的t1、t2，总有R
XY
(t1,t2
)
0
—－X(t)和Y
(t)正交相互独立对所有的t1、t2，fXY（x,y;t1,t2）
f
X
(x,t1)f
X
(y,t2
)—X(t)和Y(t)相互独立推论：1.当均值为0时，不相关与正交等价2.
相互独立必不相关，反之则不一定成立P19
例2－22009.07交通大学电子工程系平稳性各态遍历性2009.07交通大学电子工程系平稳随机过程概念严平稳随机过程（狭义平稳）上式说明随机过程的平稳性是指过程的统计特性与所选取的时间起点无关。它的实际意义在于测试一个平稳过程的统计特性，无论什么时候进行，其结果是相同的。对于任意的n和ε，随机过程X(t)的联合概率密度函数满足fx
(x1,
x2
L
xn
;t1
,
t1
L
t
n
)
f
X
(x1,
x2
L
xn
;t1
ε,
t2
ε
L
t
n
ε)则称X(t)为(n阶)严平稳随机过程。2009.07交通大学电子工程系1X
1
2
2XX
1
1
X
1
1
X(x
,
x
;t
t
)fX
(x1,
x2
;t1,
t2
)
f
X
(x1,
x2
;t1
,
t2
)令t-1
f(x
,
x
;0,t
t
)
fX
1
2
2
1f (x
,
t
)
f(x
,t
)令t-1
f(x,0)
f
(x)一般只考虑二阶严平稳随机过程，其一维概率密度函数与时间
t无关，二维概率密度函数只与时间间隔(t1,t2
)有关，而与时间起点
t1
,t2
本身无关，即：2009.07交通大学电子工程系2X
1
2
1
2
XX
(t)E
R(t
,t
)
EX
(t
)
X
(t
)
R
(
)宽平稳随机过程（广义平稳）若随机过程X(t)的数学期望为一常数，自相关函数只与时间间隔
t2
t1有关，且它的均方值有限，即EX(t)
mX则称X(t)为宽平稳随机过程显然，严平稳随机过程必定是宽平稳的，反之则不一定成立。宽平稳与二阶严平稳等价。2009.07交通大学电子工程系m
2XXXX2X(τ
时，可以认为
X(t)
与X(t
τ)
不相关）e.
如果
X(t)
含有周期分量，那么周期的周期分量。R
X
(τ）
也含有相同
0,
那么
R
(τ）将含有常数项即如果
EX(t)
md
.
limR
(τ）
mτ广义平稳过程相关函数的性质自相关函数a.
R
X
(0)
EX
(t)
02b.
R
x
(τ）
R
X
(τ)c.
R
X
(0)
R
X
(τ）2009.07交通大学电子工程系2XR
X
(0)m2X0自相关函数的典型曲线2009.07交通大学电子工程系C2XX
X
R
(0)
R
(
)σ
C
(0)
RXX(0)
m
2X(
τ
)
R
(
τ
)
m
2XX
X对广义平稳随机过程X2XX2XX
RX
(0)
RX
()
交流功率R ()
m2
直流功率
平均功率R
(0)
EX
(t)对电路系统，当X(t)表示电流或电压时有C (0)
2009.07交通大学电子工程系互相关函数若RXY
(t1,t2
)
RXY
(t2
t1)
RXY
(τ),则称X
t,Yt联合平稳RXY
(-τ)
RYX
(τ)RXY
(τ)
RX
(0)RY
(0)22XYX
YX
YX
Y又有R(τ)
1
R
(0)
R
(0)Q
R
(0)R
(0)
1
R
(0)
R
(0)P23
例2－3几何平均算术平均2009.07交通大学电子工程系随机过程的各态遍历性各态遍历性的定义时间均值T-TX(t)dt
1
X(t)
limT
2T
1-TT
2TTX(t)X(t
τ)dtX(t)X(t
τ)
lim时间自相关函数2009.07交通大学电子工程系X即X(t)的时间均值等于它的统计均值，时间自相关函数等于它的统计自相关函数，则称X(t)为遍历过程，或具有各态遍历性若
X(t)X(t
τ)
EX
(t)
X
(t
τ)
R
(τ)各态遍历性设X(t)为平稳随机过程
X(t)
EX
(t)
mX2009.07交通大学电子工程系研究随机过程遍历性的重要意义在于，对于遍历过程，可以用它的任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均对一般随机过程而言，它的各个样本函数的积分是不同的，即随机过程的时间平均应该是个随
量。但对遍历过程而言，由于它的时间平均趋于一个非随机的确定量，所以可以认为遍历过程的诸样本函数的时间平均是相同的，且都等于它的统计平均。故遍历过程的统计平均可以用它的任一样本函数的时间平均表示。因此，所谓各态遍历性就是指该过程的任一样本
像“遍历”了随机过程的所有可能状态。这就为解决许多工程问题带来极大方便——就随机过程的数字特征而言，无须观测过程的所有样本，而只须对任一样本观测足够长的时间，即将求统计平均转换为求任一样本的时间平均。2009.07交通大学电子工程系lim
1lim
12T0212T02T
2TT1
X
1X
X
)
2TB(1
)
EX
(t
1
)X(t
1
)
X
(t
)
X
(t))
R
(
d
0(1 )
B(d
0)R
(
)
m
(1T
T其自相关函数具有遍历性的充要条件随机过程具有遍历性的条件随机过程必须是平稳的——必要而非充分条件即遍历过程一定是平稳的，但平稳随机过程并不都具有遍历性设X(t)是平稳随机过程则其均值具有遍历性的充要条件2009.07交通大学电子工程系变换存在的通信系统中的信号是功率信号，不满足充分条件，故主要研究其功率谱。2009.07交通大学电子工程系T-Tx
(t)dt0
其余当T为有限值时，xT
为能量有限信号x(t) t
TxT
(t)
T
2T
1x
(t)
lim功率谱密度的定义设x(t)为功率信号则其时间平均功率为P
引入x(t)的截尾函数xT
(t)222009.07交通大学电子工程系X
T
(f)XTx
2(t)dtT-TTX (f)
2
dfTTTT
T2T2T2T2T12T112XT
TT
2T
2-x
2(t)dt
limT
P
limT
Tx
(t)e
j
2
πft
dtS (f)
limX (f)
2X
T
(f)
df
lim
df2
T
limx
2(t)dt
X (f)
T
称SX
(f
)为功率谱密度因为对SX
(f
)的积分为平均功率，故即，功率信号x(t
)的功率谱密度为设
lim
X
T
(
f
)为S (
f
)且满足Parseval
方程，即则x
的频谱为2009.07交通大学电子工程系得随机过程X(t)的功率谱密度为2T2
EX (
f)
2TX (
f
)
2对于随机过程X(t)，x(t)只是其某一样本函数，x(t)的时间平均功率P具有随机性，对其进一步求统计平均，即：
T
limTdf
T
P
E
limTdf
EX
(f)
TX2T2T
S (f)
lim2009.07交通大学电子工程系TTXXTT
R
(t,t
)dt
—自相关函数的时间均值注：R
(t,t
)
lim
1对广义平稳随机过程:
R
X
(t,t
)
RX
()
则有S
X
(
f
)
RX
(
)－维纳
(Wiener-khinchin)定理功率谱密度与自相关函数R
X
(t
,
t
)S
X
(
f
)
P29证明见2009.07交通大学电子工程系1. PX
SX
(
f
)df2.
P
R
(0)
E[
X
2
(t)]X
X平均功率的求解方法2009.07交通大学电子工程系0XXX其余例2-6给出的半随机二进制数字波形为非平稳随机过程其自相关函数为其余例2-3给出的随机二进制数字波形为平稳随机过程，其自相关函数为故例2-3，例2-6有相同的SX
(f
),但其求解方法不同bb010n
Tb
但其时间均值为
R
(t,
t
)
1
TnTb
t
(n
1)Tb
其它R
(t,
t
)
Tb
R
(
)
1
T2009.07交通大学电子工程系功率谱密度的性质性质
SX
(f)
0SX
(-f)
SX
(f)—X(t)为实信号SX
(f
)总为实的Wiener-Khinchin定理的两个特殊形式2009.07交通大学电子工程系0—与曲线面积相等的矩形的单侧宽度
0反映了相关性的强弱：
0越小，CX
(
)越陡，相关程度越弱。2C
(0)2
C
(0)X
X有Cx
(
)
Rx
(
)则当EX(t)
0时,-XC
(
)d
X1
S
(0)0
X即:
2τ
C
(
0
)
XC
(τ)d
则
1.
SX
(
0
)
RX
(τ)d
CX
(τ)d相关时间τ0CX
(0)0
0
0CX
(
)2009.07交通大学电子工程系注：
0与BN数值上成反比2
SX
(
0
)
2
SX
(
0
)
1
RX(
0
)
1
CX
(
0
)
BNN
XQ
2B
S (
0
)
XS
(f)dfX2.
R
(
0
)
XS
(f)df功率谱等效带宽BN
—S
(0)X0fBNSX
(
f
)-
BN2009.07交通大学电子工程系互功率谱密度联合平稳随机过程X(t)和Y(t)的互功率谱密度为SXY
(f
)
RXY
(
)互功率谱密度的性质S
(f)
S
(f)
S
(-f)XY
YX
YX注：SXY
(f)一般总是复的2009.07交通大学电子工程系当输入为确知信号x(t)时输出为y(t)
x(t)
h(t)
或
Y(f)
X(f)
H(f)其中，h(t)为系统的脉冲响应，H
(f
)为系统的传输函数当输入为随机信号X(t)时对输入的每个样本函数x(t,e)，都是时间t的确定函数，因此，给定的e，对应的输出的样本函数y(t,e)为y(t,e)
x(t,e)
h(t)对不同的e，在输出端可得到一簇样本函数，将这簇样本函数的全体记作新的随机过程Y(t)，写作
Y(t)
X(t)
h(t)
-
X(τ)h(t
τ)dτ
-
h(τ)
X(t
τ)dτ2009.07交通大学电子工程系输出过程的统计特性输出过程的均值X(t-τ)
dτh(τ)
Y(t)
EX
EY(t)
EX(t)
h(τ)
m
H(
0
)E
-
-
-当X(t)广义平稳时Q
EX(t-τ)
EX(t)
mXh(
)
X(t-τ)2009.07交通大学电子工程系输出过程的自相关函数RY(t1,t2
)
EY(t1
)Y(t2
)1
221h(u)h(v)dudvR
t
-u,t
-vh(u)h(v)dudvh(u)h(v)dudvEX(t
-u)X(t
-v)XYX
1
2
RX
(τ)
h(τ)
h(-τ)R
τ
u-v
R
(τ)
-
-
-
-
-
-
h(v)X(t
-v)dv-
E
-h(u)X(t-u)du当X(t)广义平稳时Q
RX
(t1-u,t2-v)
RX
(τ
u
v)
令τ
t2
t12009.07交通大学电子工程系输出过程的功率谱密度当X
(t)广义平稳时，两边作变换得2H
(f
)2
系统的功率谱传输函数S
(f)
S
(f)H(f)H
(f)
S
(f)
H(f)Y
X
X2009.07交通大学电子工程系1
221X(t
)X(t
-u)
duh(u)E
同理RYX(τ)
RX
(τ)
h(-τ)——X
(t)Y
(t)联合广义平稳
E X(t
) h(u)X(t
-u)du输入输出过程的互相关函数输入输出过程的互相关函数RXY(t1,t2
)
EX(t1
)Y(t2
)---X
1
2h(u)R (t
,t
-u)du当X(t)广义平稳时，令
t2
t1Q
RX
(t1,t2-u)
RX
(
u)XY
1
2X
X
R (t
,t )
h(u)R
(-u)du
R
(τ)
h(τ)2009.07交通大学电子工程系输入输出过程的互功率谱密度变换得当X(t)为广义平稳时，两边作SXY
(
f
)
H
(
f
)SX
(
f
)S (
f
)
H
(
f
)S
(
f
)
S
(
f
)YX
X
XY注：互功率谱密度一般为复的2009.07交通大学电子工程系的，称过程随机过程的任意N维联合概率密度函数都是联合该过程为
过程。设X(t)为
过程，其N维随
量22
m
m
N
m1
m
EX
X(t)X(t
)
2
X
X
N
N
X1
X(t1
)
X
M
注：mi
EXi
均值矢量
M
M
2009.07交通大学电子工程系TXf (X)
CNN
11/
2N/
22
N
2221C1N
C11
C12C
2exp
-
X
m
C
X
m2π
C
1
1
m
)
mi
)(
X
jC
则其N维联合概率密度函数为：注：C
E(Xij
i
j协方差矩阵LM
M
MCN1
CN
2LC
L
C2009.07交通大学电子工程系
是对角矩阵协方差矩阵20
0
X
2X2XMi
j
C
ji
0Cij当X(t)为广义平稳时mi
mj
mXC
R
(t
t
)
m2
C
(i
j)ij
X
i
j
X
jiC
R
(
0
)
m2
σ
2ij
X
X
X且当N个随量互不相关时C
M
0
L
0
LM
O
0
0
L
2009.07交通大学电子工程系1此时
ixiXN2σ
2
x
m
2
2πσ
2f
X
(xi
) exp-
i
i
—一维概率密度函数f
X
(X)
f
X
X
i
i
1上式说明，对
过程
，从不相关可以推出相
互独立。几点性质由于过程N维联合概率分布完全取决于一维和二维参量（均值、方差和协方差），因此，广义平稳与狭义平稳等价。当
过程的随
量不相关时，则它们必相互独立。故不相关与相互独立等价。随机矢量的线性变换仍为
随机矢量。2009.07交通大学电子工程系白噪声过程设n(t)为广义平稳噪声，如果它的功率谱密度在整个频域内是常数，则称n(t)为白噪声。2nR
N
0
0n2NS
f
—双边功率谱密度Sn
(
f
)0N
0
2f0N
0
2Rn
(
)2009.07交通大学电子工程系白噪声在物理上是不存在的。但在实际工程中，当噪声经过频带有限的系统，噪声功率谱带宽远大于系统带宽时，可将其近似为白噪声。2009.07交通大学电子工程系白噪声通过线性系统输出噪声自相关函数输出噪声功率谱密度2R
R
h
h
-
N0hh-n0
ni2n
0输出噪声平均功率S
f
N
0
Hf
222-Hf
2
dfS
f
df
N0b.
P
Nn
ta.
P
R
0
E
-n0-h2
udu
0
2n0
n00n02009.07交通大学电子工程系若实平稳随机过程Xt的功率谱密度满足且带宽B
2
fx
,B
f0
，则称Xt为窄带平稳随机过程0SX
f
f0
-
fx
f
f0
fx其余SX
f
在实际应用中，当宽带平稳随机过程激励一个窄带滤波器时，在滤波器的输出端得到的便是一个窄带随机过程。2009.07交通大学电子工程系0ff0SX
(f
)-
f0-
f -
f0
x-
f
f0
xf0
-
fxf0
fxt窄带随机过程的功率谱密度X
t
窄带随机过程的一个样本函数2009.07交通大学电子工程系在通收机的解调器前一般总包含一个窄带系统，它是一个带通（频带传输）滤波器，其作用是让信号无失真地通过，同时最大限度地抑制噪声。Sit
ni
t第六、七节的内容是为模拟调制系统的噪声性能分析及数字系统的信号检测理论和最佳接收作准备。2009.07交通大学电子工程系窄带平稳随机过程的正交表示正交表达式nt
nc
tcos0t
ns
tsin
0t以cos
0t作为参考相位时，nc
t为同相分量，ns
t为正交分量;nc
t，ns
t也是随机过程，且相对0t是慢变化的2009.07交通大学电子工程系2c22B
为窄带过程的带宽其余01f
B式中
H
f
t
n
E
n
E
σ
2c功率谱密度Sn
f
Sn
f
H
c
f
S
f
f
S
f
f
2s
f
S
f
f
n
0
n00Scn
nc
f
j
H
f
S
f2c
snn
0正交表达式的性质－零均值窄带平稳随机过程均值和方差E
nt
E
nc
t
E
ns
t
02009.07交通大学电子工程系随量随机过程当
H
f
Rn
nc
sncnsncns
0时，n
t和n
t
是相互独立的c
s当R当R
0
0时，同一时刻,
n
t和n
t是相互独立的ncnsncnsc
sc
snc
nsncnsn0c
n02S
f
f
S
f
f
c当
H
f
S
f
f
S
f
f
0时2n
0n0-τ
Rn
n
τR
τ
R
τR
Rn
nR
0
0时
R
0
0c
s概率分布若nt是过程，则nc
t,ns
t也是
过程自相关函数2009.07交通大学电子工程系综上得，零均值窄带平稳 过程，其同相和正交分量也是平稳 过程，且均值、方差相同。它们的功率谱密度可有原窄带过程的功率谱做搬移再经过低通滤波后得到。另外，同一时刻的同相和正交分量是统计独立的随 量。2009.07交通大学电子工程系scRt,t也都是低通慢变化的随机过程t
Rt
0Rt
n
t
n
nc
tt
tg
1
ns
t2
2窄带平稳随机过程的包络相位表示包络相位表达式nt
Rtcos0t
t2009.07交通大学电子工程系22均匀分布R2R2
f
R,
f
R
f
量，但Rt,t并不是统计独立的随机过程即R,
是统计独立的随。expf
1
瑞利分布
expf
RP52R,
隐于时间ti
思路：f
nc
,
ns
f
R,
f
R,
f
见包络相位的概率分布只研究Rt,
t的一维概率密度时，它们相当于两个随
量2R2
20
22Q
f
R,2R
22009.07交通大学电子工程系正弦信号st
a
cos
0
t
为
0，2
内均匀分布的随
量窄带噪声n
t
nc
tcos
0
t
ns
t
sin
0
t2009.07交通大学电子工程系scAc
tAs
t22t
A
tAt
A
t
tg
1
a
cos0t
cos
a
sin
0t
sin
nc
tcos0t
ns
tsin
0t
acos
nc
tcos0t
asin
ns
tsin0t
Ac
tcos0t
As
tsin
0t
Atcos0t
t其中
Ac
t
Atcost
a
cos
nc
tAs
t
Atsin
t
a
sin
ns
t接收到的混合信号xt
st
nt2009.07交通大学电子工程系2c
sDAc
DAs
2EAs
a
sin
EAc
a
cos
的
随
量Q
n
,n
是均值为0，方差为从以上Act,As
t的表达式可以看出，对给定的，随
量，即：同一时刻的Ac
t和As
t相互独立的Ac
a
cos
nc
As
a
sin
ns求包络和相位的一维概率分布2009.07交通大学电子工程系exp2
2exp
12
2f
A,
|
1
2
2
1
2
2A2
a2
2
Aa
cos
A2
2A
a
cos
A
a
sin
csf
Ac
,
As
|
又
Ac
A
cos
As
Asin
得雅可比变换式J
A由此可得Ac,As的联合PSD：2009.07交通大学电子工程系包络A(t)的分布112002020-莱斯分布
2σA2exp
d
a2d
AI
0
σ2A则f
A2σ
2a
2令d
2πI
x函数σ
2I
0
x为零阶修正σaAA2
a
I2σ
2
A
exp
f
A,φ
/
θ
dφf
A|θ
exp
x
cos
φdφ2
π2
π2009.07交通大学电子工程系-瑞利分布-函数的级数表示22σA2σx
2A
σ
2exp
则f
A
I0
0
12d
I0
A当d
0时1.
小信噪比时(d
0)Q
当0
x
1时
I
0
x
e
42009.07交通大学电子工程系11exp2220-正态分布则exp2σ2当A
a时.exp2
exp
exp
2σ2
2.
大信噪比(d
1)A
a2
1
2πσ2f
A2σ2A
a2
2πaσ2AA
a
σ
2
aA
2π
aAσ
2Aσ
2f
Aσ
aAaAσ
22πσ
aA
IσI0
A
2d
2πx1I0
xexQ当x1时2009.07交通大学电子工程系相位Φ(t)的分布'e-dxe
dt
d
2π
4π
2πσ
22σ
2π2πf
A,φ/θdA2σ2202a2d
a2
2σ2erfx
acosθ
φ1erfexpsin
θ
φ
exp-a2
2σ2
acosθ
φf
φ|θ则f
φ
cosφe'
dsin2
φ''1erf
d
cosφ
t0令φ'
θ
φerf
为误差函数2009.07交通大学电子工程系112
正态分布
均值为0，方差为
1
2d
02.
大信噪比
(d
1)1.
小信噪比(d
0)π
d2πexp
dφ'
f
φ'
e
der
f
d
cos
φ'
1sin
φ'
φ'
cos
φ'
1f
φ'
5o时Q
当'
0,2
内均匀分布2009.07交通大学电子工程系小信噪比时，信号
噪声的分布近似为噪声的分布；大信噪比时，信号
噪声的分布近似为正态分布。正弦信号
窄带噪声后，幅度不再是恒定的常量a，而变成莱斯分布的随机起伏的包络At；相角也不是原来的初值，而以相位偏差
't在附近作随机起伏(相位抖动)。2009.07交通大学电子工程系随机过程的定义随机过程的描述随机过程的性质随机过程的功率谱密度随机过程经过线性系统各类重要的随机过程过程白噪声过程窄带随机过程2009.07交通大学电子工程系随机过程的定义定义1：随机过程是一簇关于时间t的样本函数的全体定义2：随机过程是依赖于时间t的N维随
量随机过程的描述概率密度函数和概率分布函数数字特征－均值、方差、自相关函数、自协方差函数定义式及其关系式互相关函数、互协方差函数正交、不相关和相互独立的概念2009.07交通大学电子工程系222X2
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