几何与代数：lec13-n维向量空间

线性代数的主要内容一、主要任务：解线性方程组线性方程组向量组的性质矩阵的性质和运算

一个方程对应一个向量再学向量组构成矩阵再学核心工具：初等变换教学内容和学时分配第四章n维向量教学内容学时数§4.1n维向量空间2§4.2向量组的线性相关性4§4.3子空间的基和维数2§4.4向量的内积2§4.5线性方程组的解的结构2§4.7用Matlab解题

1§4.1n维向量空间3.什么是Rn的子空间？请以R3为例说明其子空间.2.向量组的等价与矩阵的等价有什么区别与联系？4.如何通过矩阵构造Rn的子空间？1.向量组的等价与线性表示和矩阵方程的解之间有什么关系？向量解析几何(n3)线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系解析几何与线性代数中向量的联系与区别第四章n维向量§4.1

n维向量空间空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：以空间平面为例一一对应第四章n维向量§4.1

n维向量空间解析几何与线性代数中向量的联系与区别例：确定飞机的状态，需以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量

维向量的实际意义n>3时，n维向量没有直观的几何形象，却有广泛的实际意义．第四章n维向量§4.1

n维向量空间定义分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一.n维向量的概念行向量列向量第四章n维向量§4.1

n维向量空间1.n维实(列)向量的全体关于向量的加法和数乘运算满足8条基本性质:加法:(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)Rn,

Rn,

+

=;(4)Rn,

+()=;数乘:(5)1·=;(6)k(l)=(kl);(7)(k+l)=k+l;(8)k(+)=k

+k.二.n维向量的线性运算第四章n维向量§4.1

n维向量空间

设试将向量

用向量

与

线性表示.解：即例1设即第四章n维向量§4.1

n维向量空间

设试将向量

用向量

与

线性表示.解：即例1设此时方程组无解。000

不能用

与线性表示第四章n维向量§4.1

n维向量空间0ARmn,Ax=b

有解

向量b

能由向量组A1,A2,…,An

线性表示.有解

x1A1+x2A2++xnAn=b

有解存在一组实数x1,

x2,…,

xn,使得b=x1A1+x2A2++xnAn三.线性方程组与线性表示Ax=b有解唯一解无穷多解b能由A1,…,An唯一线性表示b能由A1,…,An线性表示但表示方式不唯一Ax=b无解b不能由A1,…,An

线性表示第四章n维向量§4.1

n维向量空间

r(A)=r(A,b)例2解：显然第四章n维向量§4.1

n维向量空间零向量可被任意一组向量线性表示例3

Ax=,即x1A1+x2A2++xnAn=

必有零解？线性表示不要求系数不全为0.例4.

验证向量组I可由II线性表示：解：

若I能由II线性表示，则第四章n维向量§4.1

n维向量空间BY=A有解.注：若向量组I:1,2,…,r与II:1,2,…,s等价，则I(或II)也与{I,II}={1,2,…,r,

1,2,…,s}等价.B1能由A1,A2,…,An

线性表示AX1=B1有解AX2=B2有解

B2能由A1,A2,…,An

线性表示AXs=Bs有解Bs能由A1,A2,…,An

线性表示AX1=B1,,AXs=Bs有解

B1,,Bs能由A1,…,An线性表示矩阵方程AX=B有解矩阵方程BY=A有解

A1,…,An

能由B1,,Bs线性表示称这两个向量组等价矩阵方程AX=B,BY=A有解B1,,Bs能由A1,…,An线性表示r(A)=r(A,B)=r(B)第四章n维向量§4.1

n维向量空间例4.

验证下面两个向量组等价：故向量组I可由II线性表示.解：

若I能由II线性表示，则BY=A有解.第四章n维向量§4.1

n维向量空间解(续)：

例4.

验证下面两个向量组等价：故II可由I线性表示.所以I与II等价.选取了最简单的一种线性表示关系若II能由I线性表示，则AX=B有解.第四章n维向量§4.1

n维向量空间故I可由III线性表示.

证明：设三个向量组分别组成矩阵A,B,C.说明线性表示关系具有传递性例5：若向量组I:1,2,…,r可由II:1,2,…,s线性表示，II可由III:1,2,…,t线性表示，则I可由III线性表示.

BY=A有解1,2,…,r能由1,2,…,s线性表示1,2,…,s能由1,2,…,t线性表示

CZ=B

有解

CZY=

A

有解则CX=

A

有解.令

X=ZY,第四章n维向量§4.1

n维向量空间注:向量组之间的等价关系具有以下三条性质:

①反身性:每个向量组都与它自身等价.

②对称性:若向量组I与II等价,则II与I等价.③传递性:若向量组I与II等价,II与III等价,

则I与III等价.

向量组之间的等价关系是可以相互线性表示。

第四章n维向量§4.1

n维向量空间矩阵方程AX=B,BY=A有解r(A)=r(A,B)=r(B)矩阵的等价(相抵)初等变换向量组的等价与矩阵的等价向量组之间的等价关系是可以相互线性表示。

注：初等变换包括初等行变换和初等列变换.记为AB.问题：向量组的等价与矩阵的等价之间的关系？定理2.3.

mn矩阵A,B相抵

A,B同型,r(A)=r(B).第四章n维向量§4.1

n维向量空间矩阵方程AX=B,BY=A有解r(A)=r(A,B)=r(B)向量组的等价与矩阵的等价命题：若n维向量组I:1,2,…,m与II:1,2,…,m等价，则m个n维向量构成nm矩阵A=(1,2,…,m)与B=(1,2,…,m)等价.mn矩阵A,B等价(相抵)这两个向量组等价r(A)=r(A,B)=r(B)证明：

A,B同型,r(A)=r(B)逆命题不成立：相抵的两个矩阵的列向量组不一定等价。矩阵A,B相抵,

但列向量组不能相互线性表示，即不等价。第四章n维向量§4.1

n维向量空间B的列向量组能由A的列向量组线性表示A的列向量组能由B的列向量组线性表示初等列变换初等列变换矩阵A与B的列向量组等价初等列变换AB列向量组的等价与矩阵的列等价第四章n维向量§4.1

n维向量空间初等行变换B的行向量组能由A的行向量组线性表示

A的行向量组能由B的行向量组线性表示初等行变换矩阵A与B的行向量组等价初等行变换AB行向量组的等价与矩阵的行等价第四章n维向量§4.1

n维向量空间注1:初等行变换(1)无法通过初等列变换实现矩阵A与B的行向量组等价,但列向量组不等价.初等列变换(1)无法通过初等行变换实现矩阵C与B的列向量组等价,但行向量组不等价.注2:矩阵的行向量组与列向量组第四章n维向量§4.1

n维向量空间4阶Dürer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和=四个角之和.铜币铸造时间：1514年

多么奇妙的魔方！你想构造Dürer魔方吗？Dürer魔方有多少个？如何构造所有的Dürer魔方？8417141615

-416-11319122011111和为43.Dürer魔方24从杜勒魔方到向量空间4阶Dürer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和=四个角之和.你想构造Dürer魔方吗？Dürer魔方有多少个？如何构造所有的Dürer魔方？A=B=设A,B是任意两个Dürer魔方，对任意实数k，kA是Dürer魔方吗？A+B是Dürer魔方吗？Dürer魔方25从杜勒魔方到向量空间8417141615

-416-11319122011111你想构造Dürer魔方吗？Dürer魔方有多少个？如何构造所有的Dürer魔方？设A,B是任意两个Dürer魔方，对任意实数k，kA是Dürer魔方吗？A+B是Dürer魔方吗？允许构成魔方的数取任意实数任意两个Dürer魔方的任意的线性组合仍是Dürer魔方。记D={A=(aij)R4×4|A为Dürer魔方}则D构成一个向量空间，称为Dürer魔方空间.无穷多个求出魔方空间的一组基,基的任意线性组合都构成一个Dürer魔方.Dürer魔方空间26从杜勒魔方到向量空间任意两个Dürer魔方的任意的线性组合仍是Dürer魔方。记D={四阶Dürer魔方的全体}则D构成一个向量空间，称为Dürer魔方空间.Dürer魔方空间从杜勒魔方到向量空间记R2={2维向量的全体}任意两个2维向量的任意的线性组合仍是2维向量。则R2构成一个2维向量空间.R3——3维向量的全体，构成一个3维向量空间.n维实(列)向量的全体——构成一个n维向量空间.Dürer魔方空间R2的子空间记R2={2维向量的全体}任意一组2维向量的任意的线性组合仍是2维向量。则R2构成一个2维向量空间.R2={2维向量的全体}；

任意通过原点的直线；R2的子空间

原点本身{0}称为零空间.R2的平凡子空间.R3的子空间？R3；任意通过原点的平面、直线；{0}如何从一个矩阵构造向量空间？四.Rn的子空间2.设S是Rn的非空子集,且对向量的加法及数乘封闭,即,S,kR,有+S,kS,则称S是一个(实)向量空间.注：向量空间必包含0向量

.反之,若一向量集不含0,则它必不构成向量空间.也称S是Rn的子空间.3.设S是一个向量空间,US,若U也构成一个向量空间,则称U为S是一个子空间.S中任意一组向量的任意线性组合仍在S中向量空间V：Rn的非空子集,且对线性运算封闭注1：向量空间必包含0向量

.反之,若一向量集不含0,则它必不构成向量空间.例6.W={(x,y,z)TR3|x+2yz=1}是向量空间吗？W不含0向量W不构成向量空间.在R3中不经过原点的直线与平面都不是向量空间.在R3中经过原点的直线与平面都构成向量空间.例7.W={(x,y,z)TR3|x+2yz=0}构成向量空间.(x1+x2)+2(y1+y2)(z1+z2)=0kR,

kx+2kykz=0第四章n维向量§4.1

n维向量空间向量空间V：Rn的非空子集,且对线性运算封闭在R3中不经过原点的直线与平面都不是向量空间.在R3中经过原点的直线与平面都构成向量空间.例8.设ARmn,bRm,b0,r(A,b)=r(A)=r,SB={xRn

|Ax=b}中不含0,不是向量空间.KA={xRn|Ax=0}x1,x2KA,A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0kR,A(kx1)=kAx1=0,是向量空间.注1：向量空间必包含0向量

.反之,若一向量集不含0,则它必不构成向量空间.称为A的核空间或零空间.第四章n维向量§4.1

n维向量空间向量空间V：Rn的非空子集,且对线性运算封闭4.设1,2,…,sRn,用L(1,2,…,s)表示

1,2,…,s的一切线性组合所成的集合,L(1,2,…,s)={k11+k22+…+kss|k1,k2,…,ksR}则L(1,2,…,s)构成一个向量空间,称为由1,2,…,s生成的子空间.而1,2,…,s为生成元.注1：生成的子空间是包含{1,2,…,s}的所有向量空间中最小的.注2：1,2,…,s与1,2,…,t等价

L(1,2,…,s)=

L(1,2,…,t).第四章n维向量§4.1

n维向量空间向量空间V：Rn的非空子集