MBA数学考试概率知识点和常见问题及方法

(圆满版)MBA数学考试概率知识点和常有问题及方法(圆满版)MBA数学考试概率知识点和常有问题及方法(圆满版)MBA数学考试概率知识点和常有问题及方法概率知识点/常有问题及方法知识点1.概率的见解和性质在大批重复进行同一试验时，事件A发生的频次老是凑近某个常数，在它附近摇动，这个常数就是事件A的概率PA.事件A的概率PA拥有以下性质：关于每一个事件A,0PA1.关于不能够能事件P1.关于必定事件P1.对随意的两事件A，B有PAUBPAPBPAIB.2.古典概型假如试验的样本空间只包含有限个根本事件，并且试验中每个根本事件发生的可能性同样，这类试验称为等可能概型或古典概型.对古典概型，假如样本空间S中根本事件的总数是n，而事件A包含的根本事件数为m,那么事件A的概率是PAm.n比方：先后扔掷两枚平均的硬币，计算：〔1)两枚都出现正面的概率；〔2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率.【解析】两次扔掷可能出现的结果是“正正〞“正反〞“反正〞“反反〞，并且这4种结果可能性都同样，是等可能事件.〔1〕设事件A1为“两枚都出现正面〞，在4种结果中，事件A1包含的结果只1有一种，所以PA1.〔2〕设事件A2为“一枚出现正面，一枚出现反面〞，在4种结果中，事件A2包含的结果有两种，所以21PA2.423.和事件的概年〔1〕事件A1，A2，⋯，An，两两互不相容，PA1UA2ULAmPA1PA2LPAm.〔2〕随意两个事件A,B有PAUBPAPBPAB.〔3〕随意三个事件

A,B，C有PAUBUCPA

PBPC

PAB

PBC

PAC

PABC.〔4〕立事件的概率

PAUA

PA

PA

1.比方：100件品中有10件次品，从中拿出5件行，求所取的5件品中至多有一件次品的概率

.【解析】至多有一件次品，能够分红两：第1：只有一件次品的概率C1C41090.C1005第2C905：都是正品的概率5.C100C5C1C4所以，至多有一件次品的概率p9010900.9231.C5C51001004.互相独立事件A,B是两个事件，假如事件A的生和事件B的生互不影响，称两个事件是互相独立的，于互相独立的事件A和B，有PABPAPB；独立事件A,B最少生一个的概率PAUB1PAPB；独立事件A,B至多生一个的概率PAUB1PAPB；一性在算个独立事件最少一个生〞的概率，是特别合用的.比方：甲、乙两人各独立投一次，假如两人投中的概率分是0.6和0.5,算：〔1〕两人都投中的概率；〔2〕恰有一人投中的概率；〔3〕最罕有一人投中的概率.【解析】设“甲投篮一次，投中〞为事件A，“乙投篮一次，投中〞为事件B，据题意,PB0.5,且A,B互相独立.〔1〕PABPA，所以两人都投中的概率为0.30.〔2〕恰有一人投中，能够分为两种状况：甲中乙不中：AABPAPB0.3；甲不中乙中：AABPAPB0.2；所以恰有一人投中的概率是＋＝0.5.两人都不中的概率为PAB10.510.8，故最少一人投中的概率为.p1PAB15.伯努利实验进行n次同样试验，假如每次实验的条件同样，且各试验互相独立，那么称其为n次独立重复试验.伯努利实验：在n次独立重复试验中，假定每次试验的结果只有两种可能.即事件A发生或不发生，且每次试验中A事件发生的概率都同样，那么这样的试验称作重伯努利试验.在伯努利实验中，设事件A发生的概率为p，那么在n次试验中事件A恰巧发生k0kn次的概率为PnkCnkpk1nk0,1,2,L,n.pk比方：某射手射击1次，射中目标的概率是，那么他射击4次恰巧击中目标的概率是〔〕.【解析】P43C43p314330.2916.p4常有问题及方法一、根本古典概型问题〔1〕古典概型公式：PAm.n〔2〕古典概型的实质其实是摆列组合问题，所以上一节课总结的摆列组合的方法及题型，在此问题中合用.〔3〕常用正难那么反的思路(对峙事件).例1.10件产品中有4件一等品，从中任取2件，那么最罕有1件一等品的概率为〔〕.(A)1(B)2(C)2(D)8(E)1333151515【解析】任取2件，没有一等品的概率为C621C23，，故最罕有一件一等品的10概率为112.33【答案】B例2.某企业有9名工程师，张三是此中之一，从中随意抽调4人构成攻关小组，包含张三的概率是〔〕.(A)2(B)2(C)1(D)4(E)595399【解析】选张三，再从其他的8个人中随意选3个即可，即为C83；故包含张三的概率为PC834.C949【答案】D例3.将2个红球与1个白球随机地放人甲、乙、丙三个盒子中，那么乙盒中最罕有一个红球的概率为〔〕.(A)1(B)8(C)4(D)5(E)179279927【解析】方法一：可分为两类：乙盒子中有1个红球：先从2个红球中选1个放入乙盒子，其他1个红球在甲、丙两个盒子中任选一个，白球在3个盒子中随意选择，即C21C213；乙盒子中有2个红球：先将2个红球放入乙盒子，白球能够在3个盒子中随意选择，即C13;所以，概率为C21C123C315.339方法二：剔除法.乙盒中没有红球，那么红球在甲丙两个盒子中随意选择，白球在3个盒子中任意选择，即22C31，所以乙盒中最罕有1个红球的概率为122C315.339二、古典概型之骰子问题〔1〕骰子问题必用穷举法.〔2〕常与解析几何联合察看，一般需要转变为不等式求解.例1假定以连续掷两枚骰子分别获得的点数a与b作为点M的坐标，那么点M落入圆x2y218内(不含圆周〕的概率是〔〕.(A)7(B)2(C)1(D)5(E)1136941836【解析】点M落入圆x2y218内，即a2b218，那么a,b1,1、1,2、1,3、1,4、2,1、2,2、2,3、3,1、3,2、4,1，合计10种，所以，落在圆内的概率P10536.18【答案】D例2假定以连续两次掷色子获得的点数a和b作为点P的坐标，那么点Pa,b落在直线xy6和两坐标轴围成的三角形内的概率为〔〕.(A)1(B)7(C)2(D)1(E)56369418【解析】落在三角形内部，只要要ab6即可，利用穷举法可知，P点可认为：1,1、1,2、1,3、1,4、2,1、2,2、2,3、3,1、3,2、4,1共计10种，总合的不同样可能点数为6×6＝36(种).故所求概率为P105.3618【答案】E三、古典概型之几何体涂漆问题将一个正方体六个面涂成红色，此后切成n3个小正方体，那么〔1〕3面红色的小正方体：8个，位于原正方体角上.〔2〕2面红色的小正方体：12n2个，位于原正方体棱上.〔3〕1面红色的小正方体：6n22个，位于原正方风光上(不在棱上的部分).〔4〕没有红色的小正方体：n3个，位于原正方体内部.2例1．将一个白木质的正方体的六个表面都涂上红漆，再将它锯成64个小正方体.从中任取3个，此中最罕有1个三面是红漆的小正方体的概率是〔〕.【解析】3面有红漆的小正方体位于大正方体的极点上，有8个；任取3个最少1个三面是红漆的反面是任取3个没有1个三面是红漆，故所求概率为P1C56311653248.C64【答案】E例2．将一块各面均涂有红漆的正立方体锯成125个大小同样的小正立方体，从这些小正立方体中随机抽取一个，所取到的小正立方体最少两面涂有红漆的概率是〔〕.【解析】小立方体位于大正立方体的角上时，有3面为红色，数目为8个；小立方体位于大正立方体的棱上时，有2面为红色，数目为36个.故所求概率P44.125【答案】D练习：将一个表面漆有红色的长方体切割成假定干个体积为1立方厘米的小正方体，此中，一点红色也没有的小正方体有3块，那么本来的长方体的表面积为〔〕平方厘米.(A)32(B)64(C)78(D)27(E)18【解析】没有红色的小正方体位于本来的长方体的内部，这三个小正方体一定是一字排开的，长宽高分别为1，1，3；所以，原长方体的长宽高应为3,3,5.故表面积为2×3×3＋4×5×3＝78(平方厘米).四、数字之和问题例1．袋中有6只红球、4只黑球，今从袋中随机拿出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，那么得分不大于6分的概率是〔〕.(A)23(B)4(C)25(D)134274221【解析】得分不大于6,分为三种状况：两红两黑，三黑一红，四黑；故得分不大于6的概率为C62C42C16C43C60C4423C10442.【答案】A例2．假定从原点出发的质点M向x轴的正向挪动一个和两个坐标单{2甿甩率分别是2和1，那么该质点挪动3个坐标单位，抵达x3的概率是〔〕.33(A)19(B)20(C)7(D)22(E)23272792727【解析】31221111，故可分为三类：先挪动1个单位，再挪动2个单位：P221；33先挪动2个单位，再挪动一个单位：P1123；323三次挪动1个单位：P3.3故抵达x3的概率为PPP27.P20【答案】B五、袋中取球问题袋中取球模型有3类：〔1〕无放回取球模型.设口袋中有a个白球，b个黑球，逐个拿出假定干个球，看后不再放回袋中，那么恰巧取了mma个白球，nnb个黑球的概率是PCamCbnCmn；ab【拓展】抽签模型.设口袋中有a个白球，b个黑球，逐个拿出假定干个球，看后不再放回袋中，那么第k次取到白球的概率为a，与k没关.Pab〔2〕一次取球模型.设口袋中有a个白球，b个黑球，一次拿出假定干个球，那么恰巧取了mma个白球，nnb个黑球的概率是PCamCbnCmn；可见一次取球模型的概率与无放ab回取球同样.〔3〕有放回取球模型.设口袋中有a个白球，b个黑球，逐个拿出假定干个球，看后放回袋中，那么恰好取了kka个白球，nknkb个黑球的概率是knkPCnkab.abab上述模型可理解为伯努利概型：口袋中有a个白球，b个黑球，从中任取一个球，将这个实验做n次，出现了k次白球，nk次黑球.例1．袋中有5个白球和3个黑球，从中任取2个球，求：〔1〕获得的两球同色的概率；〔2〕获得的两球最罕有一个是白球的概率.【解析】从8个球中任取2个球的取法为C82，所以〔1〕任取两球同色的取法为22C52C32C5C3,所以，取两球同色的概率为P.C822〔2〕任取两球全部是黑球的概率C32，所以，任取两球最罕有一白球的概率为C82P1C32.C8例2．小袋中有10个小球，此中有7个黑球，3个红球，从中任取2个小球，最罕有一个是红球的概率为〔〕.【解析】方法一：C71C317恰巧有1个红球的概率为PA2；C1015恰巧有2个红球的概率为PBC321；C10215所以最罕有一个红球的概率是PAUBPA718PB15.1515方法二：剔除法.从10个小球中任取C7272个，全为黑球的概率为,C21510事件A是“从10个球中任取2球，最少一个是红球〞的对峙事件，所以最少有一个红球的概率P178.1515【答案】D例3．在一个不透明的布袋中装有2个白球、m个黄球和假定干个黑球，它们只有颜色不同样.那么m3.〔1〕从布袋中随机摸出一个球，摸到白球的概率是；〔2〕从布袋中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是0.3.【解析】独自明显不充分，联立两个条件：由条件〔1〕：摸到白球的概率，P2，得n10，可知一共有10个球；n由条件〔2〕：Pm3，可知黄球为3个；0.3，得m10故联立起来充分.【答案】C练习：某装置的启动密码是由0到9中的3个不同样数字构成，连续3次输入错误密码，就会致使该装置永远封闭，一个仅记得密码是由3个不同样数字构成的人能够启动此装置的概率为〔〕.(A)1(B)1(C)1(D)1(E)11201682407201000【解析】分为三类：11第一类：试一试一次即成功的概率为A103720；71911第二类：第一次试一试不能够功，第二次试一试成功的概率为719；720720第三类：第一、二次试一试不能够功，第三次试一试成功的概率为71971811720719718720由加法原理，能启动装置的概率为311.720240【迅速得分法】抽签原理的应用(不放回的取球).本题相当于有720个签，抽3个抽中正确密码即可，故概率为31.720240【答案】C六、独立事件的概率独立事件同时发生的概率公式：PABPAPB.例1．档案馆在一个库房中安装了n个烟火感觉报警器，每个报警器碰到烟火成功报警的概率为p.该库房遇烟火发出报警的概率抵达0.999.〔1〕n3，p0.9；〔2〕n2，p0.97.【解析】条件〔1〕:均未报警的概率为310.90.001，故报警概率为10.0010.999,条件〔1〕充分.条件〔2〕:均未报警的概率为12，故报警概率为，故条件〔2〕充分.【答案】D例2．图7-9是一个简单的电路图，S1,S2,S3表示开关，随机闭合S1,S2,S3中的两个，灯泡发光的概率是〔〕.(A)1(B)1(C)1(D)1(E)264323【解析】闭合两个开关，灯泡发光的状况为：S1S2或S2S3，共2种状况；闭合两个开关的全部可能状况为：S1S2或S1S3或S2S3，共3种状况.故概率为2.3【答案】E例3．在10道中，甲能答8，乙能答6.假定某次考从10道中随机抽出3道作考，最少答2才算合格，甲、乙两人考都合格的概率是〔〕.(A)28(B)2(C)14(D)26(E)8453154515C83C82C2114【解析】甲考合格的概率是C3；乙考合格的概率是1510C63C62C412C331014228甲、乙两人互相独立，所以他考都合格的概率3.1545【答案】A七、关〔1〕