物理新编-0力学第章质点运动

第六节简谐振动第六节

简谐振动一、简谐振动

Simple harmonic

motion一质点沿x

轴的运动可用余弦函数(也可以正弦函数)来表示时，此质点的运动称为简谐振动SHM

。x=

A

cos

(ωｔ+

φ)x

：质点对原点的位移ω：

圆频率

Frequency

of

cycle

ωｔ+

φ：

相位

Phaseφ：

初相

Initial

phase

(

t

=

0

时

)A：

振幅

Amplitude

T：

周期

Periodυ：

频率Frequency圆频率、频率和周

者之间的关系：ω

=

2πυ，

υ=

1/

T相位是决定质点在t时刻的运动状态（位置、速度）的重要物理量相位相差2π的整数倍，其质点的运动状态相同。二、简谐振动的旋转矢量图矢量

OM

逆时针以角速度

ω转动，矢量

OM

的端点

M

在OX

轴上的投影点P

的位移为：x =

A

cos(ωｔ+

φ

)矢量OM

0

是t=0

时刻的位置，即为简谐振动的旋转矢量Rotatingvector

图。MM0XOφωtxAωPXMPAXXAXAXAXAXAXAXAXAXAXAAXφ’－φ

＞0

，

Q

超前Lead

PLag

behind

P同相Synchronous反相Antiphaseφ’－φ

＜0

，

Qφ’－φ＝

0φ’－φ＝π超前时间Δ

t=（

φ’－

φ）/

ω超前相位φ’－

φ

=ω

ΔｔMM

’Q

POxφφ’ω例1-8

物体沿X轴简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s

。当t=0时，位移为0.06

m，且向X

轴正方向运动。求运动表达式，并求以x=-0.06m处回到平衡位置所需的最少时间。解：已知A=0.12

m，T=2s，ω

=2π/T

=

π (

rad/s

).(1)初态t=0

时，x=0.06，v＞0，初相φ=－π/3,运动表达式为：x=0.12

cos

(πｔ-π/3

)

(m)ω(t

=1

s)

B

’(

t

=

5/3

s)

BA

(

t

=

0)x

(m)OφC0.06-0.06●●Δφ(2)

当x=-0.06

m时，物体在旋转矢量图中的位置可能在B或B′处，显然B处回到平衡位置C

处所需时间为最少。因为OB与OC夹角为△φ=π/6，所以最少时间为：△t =

△

φ

/ω= (π/6)

/π=1/6

秒ω(

t

=1

s

)

B

’(t

=

5/3

s)

BA

(

t

=

0

)x(m)OφC0.06-0.06●●Δφ三、简谐振动的速度和加速度1、速度：ｖ

=dx/dt=－ωA

sin(ωｔ+

φ)=

ωA

cos(ωｔ+

φ

+π/2)速度超前位移相位π/22、加速度

a =

dv/dt=－ω2Acos(ωｔ+φ)=ω2.A

cos(ωｔ+φ+π)加速度与位移相反3、简谐振动的运动学方程a

=－

ω2

x或

d2x

/dt2

+

ω2

x =

04、广义简谐振动任何一个物理量随时间而变化的规律如果遵从余弦（正弦）函数的关系，则统称为广义简谐振动。π2txv

的

超前

xx

v

a0a

与x

的相反。，π2tvxv

的

超前

xx

v

a0a

与x

的相反。，π2atvxv

的

超前

xx

v

a0a

与x

的相反。，位移、速度、加速度之间的相位关系位移速度加速度xtva[例4]一谐振动的振动曲线。A1.0x

A20t求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。。A1.0x

A20t0A1.0x

A20tt

=0时{x=

A2求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。。0A1.0x

A20tt

=0时{x=

A2>

0v

0求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。xπ3AA1.0x

A20tt

=0时{x

=

A02>

0v

0求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。。0...φ

=π3xAπ3A1.0x

A20tt

=0时{x=

A2>

0v

0求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。。0...φ

=π3xAπ3A1.0x

A20tt

=0时{x=

A2>

0v

0t

=1时{

x

1=

0求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。。0...φ

=π31＜

0xAπ3A1.0x

A20tt

=0时{x=

A2>

0v

0t

=1时{

x

1=

0v=dxdt求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。。0...φ

=π31＜

0xAπ3πA2xA1.0x

A20tt

=0时{x=

A2>

0v

0t

=1时{

x

1=

0v=dxdt求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。。0...φ

=π31＜

012xAπ3πA2xA1.0x

A20tt

=0时{x=

A2>

0v

0t

=1时x

1=

0{

v

=

dxdt求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。。...Φ

=

π0...φ

=π3＜

0121Φ1

=ω

t

1+

φ

=xAπ3πA2xA1.0x

A20tt

=0时{x=

A2>

0v

0t

=1时x

1=

0{

v

=

dxdt求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。。...Φ

=

π0...φ

=ππ31＜

012Φ1

=ω

t

1+

φ=ω×

13xAπ3πA2xA1.0x

A20tt

=0时{x=

A2>

0v

0t

=1时x

1=

0{

v

=

dxdt求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。。...Φ

=

π0...φ

=π31＜

012Φ1

=ω

t

1+

φ=ω×

13π

=π2xAπ3πA2xA1.0x

A20tt

=0时{x=

A2>

0v

0t

=1时x

1=

0{

v

=

dxdt求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。。...Φ

=

π0...φ

=π31＜

0121

1Φ

=ω

t

+

φ

=ω×

13π

=π265

πxAπ3πA2xA1.0x

A20tt

=0时{x=

A2>

0v

0t

=1时x

1=

0{

v

=

dxdt求：ω

、φ[例4]一谐振动的振动曲线以及振动方程。。...ω

=...Φ

=

π6x

=

A

cos

(

5

π

t3π

)x

=

A

cos

(

5

π

t3π

)6本题ω

的另一种求法：x

=

A

cos

(

5

π

t3π

)πx3At=

06本题ω

的另一种求法：x

=

A

cos

(

5

π

t3π

)π2πAx3At=1t=

06本题ω

的另一种求法：x

=

A