数列和无穷级数课件

第八章无穷级数1数项级数2幂级数3函数的幂级数展开及其应用1第八章无穷级数1数项级数2幂级数3函数的幂级数展开第一节数项级数1无穷级数的定义2收敛级数的性质3正项级数的性质及敛散性判别法4任意项级数的绝对收敛和条件收敛5交错级数2第一节数项级数1无穷级数的定义2收敛级数的性质3正一.数项级数的概念中学:无穷等比级数定义将其各项依次累加所得的式子称为数项无穷级数设有数列问题:如何理解无穷个数相加?3一.数项级数的概念中学:无穷等比级数定义将其各项依次1.部分和:2.部分和数列:3.收敛:称级数收敛称为级数余项极限不存在,称级数发散41.部分和:2.部分和数列:3.收敛:称级数收敛例.判断级数敛散性:(1).1+2+3+…+n+…级数发散(2).5例.判断级数敛散性:(1).1+2+3+…+n+…级数级数收敛(3).级数发散6级数收敛(3).级数发散6(4).q=1时级数发散q=-1时极限不存在,级数发散级数发散总之:级数收敛级数发散7(4).q=1时级数发散q=-1时极限不存在,级数发散级二.数项级数的性质性质1若级数收敛于和S,k为常数,则证推论:

级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变8二.数项级数的性质性质1若级数性质2.两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减例:级数收敛因为和都收敛9性质2.两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减例:级数收敛因性质3.改变前有限项不影响级数的敛散性证不妨设去掉前k项,得级数常数原级数部分和时,同时敛散因此,不影响级数的敛散性.10性质3.改变前有限项不影响级数的敛散性证不妨设去掉前k项性质4.收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变证:设收敛级数新级数注意:(1).加括号后所得新级数发散,则原级数发散.(2).加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛.例如:(1－1)+(1－1)+(1－1)+......收敛而1－1+1－1+1－1+......发散.11性质4.收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变证:性质5.(级数收敛必要条件)若级数收敛,则证:注意:(1).若,则级数发散(2).时,级数不一定收敛判断级数发散12性质5.(级数收敛必要条件)若级数收敛但可以证明级数发散假若级数收敛,则但是,矛盾例如:调和级数13但可以证明级数发散假若级数收敛,则但是,矛盾例如:调和级数1(2)不存在级数发散例.判断级数敛散性:(1)级数发散14(2)不存在级数发散例.判断级数敛散性:(1)级数发散1三.正项级数及其审敛法其部分和数列有界定理14(基本定理)正项级数收敛的充要条件是证(充分性)是正项级数,因此单调增加单调有界数列必有极限,则级数收敛.(必要性)由收敛数列必有界的性质可知15三.正项级数及其审敛法其部分和数列有界定理14(基本定理)正定理15(比较审敛法)设和都是正项级数,且若收敛,则收敛;若发散则发散.证:设收敛于σ,则部分和由定理1,收敛.反之,若发散则必发散.16定理15(比较审敛法)设和例:p-级数的敛散性解时,级数显然发散.因为,而发散,则p-级数发散时,它的各项不大于下面的等比级数各项收敛收敛因此p-级数的部分和有界,故收敛.

发散收敛时,17例:p-级数的敛散性解时,级数显然发散.因为例.判断级数敛散性:而收敛收敛发散发散而收敛收敛18例.判断级数敛散性:而收敛收敛定理15’(比较审敛法极限形式)设和都是正项级数,(1)如果则和同时收敛或同时发散.(2)如果则收敛时，也收敛.则发散,也发散(3)如果19定理15’(比较审敛法极限形式)设和例如前面例(3),由也可以得出结论例发散而发散20例如前面例(3),由也可以得出结论例发散而定理16.(比值审敛法)设是正项级数,如果则:收敛;发散;无法确定.21定理16.(比值审敛法)设是正项级数,如例.判断级数敛散性:收敛收敛发散发散22例.判断级数敛散性:收敛收敛发散发散22定理17.(根值审敛法)设是正项级数,如果则:收敛;发散;无法确定.例证明收敛23定理17.(根值审敛法)设是正项级数,如定理18.(积分判别法)24定理18.(积分判别法)242525任意项级数考虑正项级数收敛,则绝对收敛收敛,而发散,则条件收敛例如绝对收敛1.绝对收敛与条件收敛四.任意项级数及其审敛法各项为任意实数的级数26任意项级数考虑正项级数收敛,则绝对收敛收敛,而定理19.如果绝对收敛,则必收敛证设则由收敛知收敛而则收敛27定理19.如果绝对收敛,则注意:(1)逆命题不成立

(2)

如果用比值或根值审敛法判定

发散则发散上定理的作用：任意项级数正项级数28注意:(1)逆命题不成立(2)如果用比值或根值审敛法判解故由定理知原级数绝对收敛.29解故由定理知原级数绝对收敛.29例2解30例2解30313132323333定理20

对于任意项级数，若保留其非负项，将其负项改写成零，可得一个正项级数；若保留其非正项并改变其符号，而将其正项改写成零，又可得另一个正项级数，其中34定理20对于任意项级数，若保留其非2.交错级数:或定理23(莱布尼兹定理)若交错级数满足:则级数收敛,且其和,其证单调有界352.交错级数:或定理23(莱布尼兹定理)若交错级数满足:则同理交错级数例如收敛且S<1如果则36则同理交错级数例如收敛且S<1如果则36例对发散而发散对收敛条件收敛37例对发散而发散对收敛条件收敛37解原级数收敛.38解原级数收敛.38定理25（黎曼定理）对于条件收敛的级数，可以适当地交换其项的先后次序，使得到的更序级数发散或收敛于任何预先给定的常数L.39定理25（黎曼定理）对于条件收敛的级数，可以适当地交换其项无穷级数审敛法正项级数交错级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;一般项级数4.绝对收敛40无穷级数审敛法正项级数交错级数1.2.4.充要条件5.第一步：先用收敛的必要条件判断级数是否发散。第二步：若，再看是否为几何级数或p-级数第三步：若不是，但为正项级数，则运用正项级数的方法进行判断。第四步：若为交错级数，可以考查的敛散性或

莱布尼兹判别法。41第一步：先用收敛的必要条件判断级数是否发散。第二步：若第三节幂级数1.函数项级数的概念2.幂级数及其收敛域4.幂级数的求和3.幂级数的性质42第三节幂级数1.函数项级数的概念2.幂级数及其收敛域4一、函数项级数的一般概念1.定义:43一、函数项级数的一般概念1.定义:432.收敛点与收敛域:442.收敛点与收敛域:44函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)45函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:46二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:46几何说明：收敛区域发散区域发散区域47几何说明：收敛区域发散区域发散区域47推论48推论48定义:

正数R称为幂级数的收敛半径.称为幂级数的收敛区间.规定问题如何求幂级数的收敛半径?幂级数的收敛域49定义:正数R称为幂级数的收敛半径.5050例

求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛该级数发散51例求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛该级数发散5152525353发散收敛故收敛区间为(0,1].54发散收敛故收敛区间为(0,1].54解缺少偶次幂的项55解缺少偶次幂的项55级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为级数收敛,56级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为级数收敛,5三、幂级数的运算(1)加减法57三、幂级数的运算(1)加减法57(2)乘法(其中柯西乘积58(2)乘法(其中柯西乘积58即幂级数在收敛域内可以逐项求极限59即幂级数在收敛域内可以逐项求极限59(收敛半径不变)60(收敛半径不变)60思考：幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？不一定.它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是61思考：幂级数逐项求导后，收敛半径不变，不一定.它们(收敛半径不变)62(收敛半径不变)62常用已知和函数的幂级数63常用已知和函数的幂级数63解两边积分得64解两边积分得6465656666解收敛域(-1,1),67解收敛域(-1,1),67常用已知和函数的幂级数68常用已知和函数的幂级数68第四节函数的幂级数展开及应用函数展开为幂级数几个常用函数的麦克劳林展开式函数幂级数展开式的应用69第四节函数的幂级数展开及应用函数展开为幂级数几个常用函数一、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题:1.如果能展开,是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?70一、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数7171问题定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.72问题定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.72在x=0点任意可导,73在x=0点任意可导,737474二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)主要研究函数如何展开成x的幂级数.

麦克劳林级数(1)求出如果某阶导数不存在,说明不能展开(2)求出(3)求出收敛半径R(4)在(-R,R)内,如果则f(x)75二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)主要研究函数如何例1解有限趋于零,因为收敛收敛半径76例1解有限趋于零,因为收例2解77例2解77例3解牛顿二项式展开式注意:78例3解牛顿二项式展开式注意:78双阶乘79双阶乘792.间接法例如利用已知的基本展开式和幂级数的性质(1).逐项积分,逐项求导法802.间接法例如利用已知的基本展开