环境数学模型概述课件

环境系统分析模型黑鹏飞heipf06@环境系统分析模型黑鹏飞数学模型离我们远吗？环境科学中数学模型离我们远吗？为什么要学环境数学模型这门课？思考几个问题：数学模型离我们远吗？环境科学中数学模型离我们远吗？为什么要学模型定义：

系统的模型化是系统分析的基础，为了做好模型化工作，需要给模型一个确切的定义。如果一个事物M与另一个事物S之间，满足两个条件：1.M中包含有一些元素(分量)，每个元素(分量)分别对应和代表原型S中的一个元素(分量)；2.

M中的上述分量之间应存在一定的关系，这种关系可以用于与原型S的分量间关系进行类比。我们则将事物M称为事物S的模型。从形式上看，模型可分成抽象模型和具体模型。模型定义：模型分类：模型

抽象模型

具体模型

数学模型:方程式,函数,逻辑式图象模型:流程图,方向图,框图；计算机程序:计算程序,模拟程序

相似模型:(实物放大缩小)建筑模型，风洞实验模型模拟模型:电模拟模型

满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型.模型分类：模型抽象模型具体模型数学模型:方程式,函数,逻辑式其它定义：1）数学模型（MathematicalModel），是根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算法。用以描述和研究客观现象的运动和变化规律。

2）数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。3）从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。

其它定义：一、

数学模型的定义和分类二、

建立数学模型的过程三、

对模型的基本要求四、

建模方法和举例一、数学模型的定义和分类数学模型的重要性

数学模型应用于科学技术的每一个领域，是一切科学技术部门的重要工具和手段，也是环境系统分析的基础。应用环境系统工程方法解决环境污染控制问题时，一个重要的技术过程就是将所研究的环境系统行为抽象为数学模型，这是进行定量研究工作的基础。数学模型的重要性数学模型的定义和分类

系统的模型化是系统分析的基础，为了做好模型化工作，需要给模型一个确切的定义。如果一个事物M与另一个事物S之间，满足两个条件：1.M中包含有一些元素(分量)，每个元素(分量)分别对应和代表S中的一个元素(分量)；2.

M中的上述分量之间应存在一定的关系，这种关系可以用于与S的分量间关系进行类比。我们则将事物M称为事物S的模型。从形式上看，模型可分成抽象模型和具体模型。数学模型的定义和分类模型分类：模型

图3.1

模型的形式

抽象模型

具体模型

数学模型:方程式,函数,逻辑式图象模型:流程图,方向图,框图；计算机程序:计算程序,模拟程序

相似模型:(实物放大缩小)建筑模型，风洞实验模型模拟模型:电模拟模型

满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型.模型分类：模型图3.1模型的形式抽象模型具体模型数学模型:其它定义：1）数学模型（MathematicalModel），是根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算法。用以描述和研究客观现象的运动规律。

2）数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。3）从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。

其它定义：数学模型在环境中的应用环境科学中应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。数学模型的建立常常是环境科学的终极目标，它是建立在对环境系统进行反复的观察研究，通过实验或现场监测取得了大量的有关信息和数据，进而对所研究的系统行为动态、过程本质和变化规律有了较深刻认识的基础上，经过简化和数学演绎而得出的一些数学表达式，这些表达式描述了环境系统中各变量及其参数间的关系。数学模型在环境中的应用数学模型的分类划分依据模型类型变量与时间关系稳态模型动态模型变量间关系线性模型非线性模型变量性质确定性模型随机性模型参量性质集中参数模型分布参数模型对模型机理的把握程度白箱模型、灰箱模型以及黑箱模型数学模型的分类划分依据模型类型变量与时间关系稳态模型数学模型具有下列特征：高度的抽象性。通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究。经济性。用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期。

数学模型具有局限性，在简化和抽象过程中必然造成某些失真。所谓”模型就是模型,而不是原型”,即是指该性质。数学模型具有下列特征：2数学模型的建立建立数学模型的过程一个模型要真实反映客观实际，必须经过实践-抽象-实践的多次反复。2数学模型的建立数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤

数据是建立模型的基础，在数据搜集时要求尽可能的充分、准确。在获得一定数据量以后，应尽早进行数据的初步分析，努力发现规律性或不确定性，以便及时调整数据搜集的策略，为数学模型的建立打下良好的基础。

数据分析的主要方法有:

时间序列图绘制，反映空间关系的曲线图形绘制或列表，反映变量关系的曲线图形绘制或列表；从中考察和分析系统中各元素的时空变化规律，和元素间关系变化规律。数据是建立模型的基础，在数据搜集时要求尽可能的充模型的结构选择(1)白箱模型

根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。建立机理模型最主要的方法是质量平衡法,在预知污染物质反应的方式和速度时,用来预测物质流的方向和通量。虽然使用演绎法建立白箱模型并不需要经过图3.2所列的建立数学模型步骤，但事实上完全的白箱模型是很少遇到，很难获得的。模型的结构选择

即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中,几乎每个模型都包含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过程机理来确定。通常采用经验系数来定量说明。经验系数的确定则要借助于以往的观测数据或实验结果。

(2)灰箱模型

即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中,几乎每个模型都(3)黑箱模型

即输入-输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模型。它们可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。根据对系统输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性，可被多种不同类型的函数描述。因此由归纳法建立起的经验模型在使用时必须注意其导出过程中的取值范围,不可任意进行扩展。(3)黑箱模型

3.模型参数估计及计算在灰箱、黑箱模型的建立过程中，都需要进行模型参数的估计工作。待定参数可能是一个或多个，其数量取决于模型的结构。待定参数的确定方法一般有最小二乘法、经验公式法、优化法等。但需要认识到，灰箱模型结构的合理性是其进行参数估计的先决条件。而无论采用何种方法进行参数估计，都是建立在观测数据或实验结果的基础上。

3.模型参数估计及计算4.模型的检验和修正

结构形式和参数数值确定之后，数学模型就已具雏形，但还不能付诸应用。只有经过检验和验证的模型才能在一定范围内应用。输入新的(独立)观察数据,并根据输出数据和模型计算系统估计值之间的误差来检验和修正模型。若计算误差满足预定的要求，则建立模型的工作告一段落。若计算误差超过了预定的界限，则可通过修正参数的数值来调整计算结果；4.模型的检验和修正如果调整参数并不能使模型的精度有所改进，则要考虑模型结构的调整，并重新进行参数的估计和模型验证。经验证明合格的模型，可以在一定范围内应用。在应用过程中，要根据实际系统返回的信息对模型不断地修正和完善。如果调整参数并不能使模型的精度有所改进，则要考虑模型结构的调模型要有足够的准确性准确性是指模型的计算结果和实际测量数值的吻合程度。准确度不仅与研究对象有关，而且与它所处的时间，状态及其它条件有关。对于模型精确度的具体规定，要视模型应用的主客观条件而定。

通常在人工控制条件下的各种模拟试验及由此建立的模型可以达到较高的精度，而对于自然系统和复合系统的模拟及由此建立的模型，不能期望具有较高的精度。精确度通常用误差表示。三、模型建立的基本要求建立什么模型，都必须满足下述基本要求。模型要有足够的准确性三、模型建立的基本要求

模型要简单适用

模型既要具备一定的精确度，又要力求简单实用。精确度和模型的复杂程度往往成正比，但随着模型的复杂程度的增加，模型的求解趋于困难，要求的代价亦增加。说明两个基本要求存在着一定的矛盾，需根据问题性质协调解决。有时为了简化模型以便于求解，只能降低对模型精度的要求。另一方面，无论怎样精确的模型也存在着如何从原型进行简化的问题。

模型要简单适用四、模型建立具体方法首先，模型都是原型的简化，简化模型可从两方面进行：通过抓主要矛盾，提出简化问题的一些假设，这是物理和化学意义上的简化；建模后，根据数量级关系进行取舍，这是数学意义上的简化。四