《概率论与数理统计》课后习题答案

PAGE3PAGE3习题1.1解答BC中的样本解：点。 解：

(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）A(正，正)，（正，反）B（正，正），（反，反）C (正，正)，（正，反），（反，正）BCD分别表示“点数之和为偶数”，“点数53AB,AB,ACBC,ABCD中的样本点。解：(1,1),(1,2),,(1,6),(2,1),(2,2),,(2,6),,(6,1),(6,2),,(6,6)；ABAB,(6,2),(6,4),(6,6),AC；BCABCD(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)BC表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；（3）只订一种报； （4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）ABC；（2）ABC；ABCABCABC;

（3）ABCABCABC；ABC；ABC；（7）ABCABCABCABC或ABACBC（8）ABC；（9）ABCAAA1 2 3

分别表示甲、乙、丙射中。试说明A,A2 2

A,AA3 1

,AA1

,AAA,1 2 3AA AA1 2 2

AA.1 3解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。BCABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：ABC，ABC，BAC.解：如图：AACABCABC ABCABCABCABCABCABCBABCABCABCABCABCABCABCABC;ABCABCC;BACABCABCABCBAABCBCABCBCACBCAB是否成立？举例说明。解：ABC那么，ACBC，但AB。BCA(BC)ABC是否成立？举例说明。解：ABCA(BC)但是ABC。P(A)1P(B)1P(BA：3 2（1）AB，（2）AB， （3）P(AB)1.8解：（1）P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)1；2（2）P(BA)P(BP(B)P(1；6（3）P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)

113。2 8 89P(AP(B1P(AC)P(BC1PAB)0求事件4 16A,B,C全不发生的概率。PABC)BC1PABC)=1P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)111

011034 4 4

16 16

8A“三个都是红灯”=B“全绿”；C“全黄”；D“无红”；E“无绿”；F“三次颜色相解：

“颜色全不相同”；H“颜色不全相同”。P(P(B)P(C)

111

1；P(D)P(E)

22

8；333 27 333 27P(F)

111

1；P(G)

2；27 27 27 9 333 9P(H)1P(F)118.9 910098件正品，23件（31313次），试求：31件是次品的概率；31件是次品的概率。解：一次拿3件：C2C1

C1C2

C2C1（1）P

98 C3100

0.0588；（2）P

2 98 2C3100

980.0594；每次拿一件，取后放回，拿3次：（1）P

298230.0576；1003

（2）P1

983 0.0588；1003每次拿一件，取后不放回，拿3次：P

29897 30.0588；1009998（2）P1

9897960.05941009998从3个不同的数字，试求下列事件的概率：A三个数字中不含A1

三个数字中不含或。PAGE9PAGE9解：C3 7P(A) 8 ；1 C3 1510P(A

) 9

C8

14

C1或P(A)1 8

142 C3 1510

2 C3 1510从44位偶数的概率。5P34P2 41解：P 9 8 P4 90106位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；解： （）P1160.41； （）P 126C1C4112

C4112 6 0.00061；126（3）P 12 6126

0.0073从一副扑克牌（52张）3张（不重复），32张花色相同的概率。解：C1C3

C1C2C1

C3C1C1C1P

13 4 C3

39602或P1

4 13 C3

1360252 52习题1.2解答60%，30%、10%是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令iA“取到的是i等品”，i1,2,3令iP(AA) P(

) 0.6 2A1 P(A1

) 1 3 P(

1 。A) P(A3

) 0.9 3104221件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：AB“两件都不合格”1C2C24C2106C2P(B|P(AB)1C2C24C2106C2P(1P(A) 510III。两种报警系统单独使用III0.920.93III0.85，求III都有效的概率；III有效的概率；III仍有效的概率。解：令A“系统（Ⅰ）有效”，B“系统（Ⅱ）有效”则P(A)0.92,P(B)0.93,P(B|A)0.85（1）P(AB)P(BAB)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)0.930.92)0.850.862（2）P(BA)P(AAB)P(A)P(AB)0.920.8620.058（3）P(A|B)P(AB)

0.058

0.8286P(B) 10.93设0P1AB独立的充要条件是P(B|A)P(B|A)证：：ABAB也独立。P(B|A)P(B),P(B|A)P(B)P(B|A)P(B|A)：0P(A)1 0P(A)1又P(B|A)

P(AB),P(B|A)

P(AB)P(A) P(A)P(B|AP(B|APAB)

P(AB)P(A) P(A)即PA)]PABPA)[P(BPAB)]P(AB)P(A)P(B)，故A与B独立。ABAB1PAP(B).4PABPAB

1，AB独立4P(AB)P(A)P(B)P(A)]P(B)14P(AB)P(A)P(B)P(P(B)]141P(P(B),P(P2(4PP(B)1。26.PA>0P(B>0，则有ABAB相容；ABAB不独立。PP(B0（1）AB独立，所以P(AB)P(A)P(B)0，A与B相容。（2）因为P(AB)0，而P(A)P(B)0，P(AB)P(A)P(B)，A与B不独立。BCAB与C也独立。证明：AB、C相互独立，P[(AB)C]P(ACBC)P(AC)P(BC)P(ABC)P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)[P(P(B)P(AB)]P(C)P(AB)P(C)AB与C独立。0.7，0.80.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令A,A,A1 2

分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，PA1

)0.7,P(A2

)0.8,P(A3

)0.9令B表示最多有一台机床需要工人照顾，P(B)PAAA1 2 3

AAA1 2

AAA1 2

AAA)1 2 3P(AA1 2

A)P(AA3 1

A)P(AA3 1

A)P(AAA)3 1 2 30.70.80.90.30.80.90.70.20.80.70.80.10.9021n+12n+2n2n1n+12n+2n21n+12n+2n2n1n+12n+2n2n系统I系统II解：A“系统（Ⅰ）B“系统（Ⅱ）正常工作”A“第i个元件正常工作”，i1,2,,2niP(Ai那么

)P,A,A1

,,A2n

相互独立。P(A)P(AA1 2

A)(An

An2

A )2nP(AA1 2

A)P(An

An2

A 2n

P(AA1 2

A )2nn P(A)2nP(A)2nP(A)i i i1 in1 i12PnP2nPn(2Pn)P(B)A1

An1

)(A2

An2

)(An

A )]2nni1

P(Ai

A )ni

[P(A)P(

)P(A)P(A )]ii1

ni

i nini1

[2PP2]Pn(2P)n7题的方法可以证明(A7题的方法可以证明(AA )与(AA )ij时独立。inijnj前三人中恰有一人中奖的概率；第二人中奖的概率。解：Ai

“第i个人中奖”，i1,2,3(1) P(AA

AA

AAA)1 2 3

1 2

1 2 3P(AA1 2

A)P(AA3 1

A)P(AAA)3 1 2 3P(A1

)P(A2

|A)P(A1

|AA1

)P(A1

)P(A2

|A)P(A1

|AA)1 2P(A1

)P(A2

|A)P(A1

|AA)1 2465

654

645110 9 8 10 9 8 10 9 8 2C1C2 1P

4 6 C3 210（2）P(A2

)P(A1

)P(A2

|A)P(A1

)P(A2

|A)143

64210 9 10 9 595%的真实患10%100004试求：某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。解：B“被检验者患有肝癌”，APA|B)0.95PA|B)0.10P(B)0.0004（1）P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.00040.950.99960.10.10034（2）P(B|

P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B) 0.00040.950.00040.950.9996

0.003830%15件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2）在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。i解：i

“5件中有i件优质品”，i0,1,2,3,4,5P(B2

)C2(0.3)2(0.7)355

0.3087P(BB)（2）P(B | B)P(B |B) 2 02 i 2

P(B)i1 0P(B2

) 0.3087 0.3711P(B0

) 1(0.7)51002112%，15%，试计算：1件产品为正品的概率；该箱产品通过验收的概率。解：A“抽取一件产品为正品”A“箱中有i件次品”，i0,1,2iB“该箱产品通过验收”1）P()2 P(A)P(A|A)

110i0.9i i 3 102）P(B)i()P(B|)P(Ai0(B|A)0.90.980.10.050.8870.700.30需进一步调0.800.20生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率；2件不能出厂的概率；2件不能出厂的概率。解：AB“仪器能出厂”AABBAAB，那么P(A)0.3,P(B|A)0.8P(AB)PA)P(B|0.30.80.24所以P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94令B “n件中恰有i件仪器能出厂”，i,niP(BnP(B

)(0.94)n)Cn2(0.94)n2(0.06)2C2(0.94)n2(0.06)2n2 n n

B)1P(B )P(B)1C1(0.94)nk n nk0p，试求以下事件的概率：r次才成功；rk次；nrn次成功；PAGE20PAGE20nrn次成功。解：（1）Pp)rPCrrk1

pr(1p)kPCrprp)nrnPCrprp)nrn130.40.50.7.0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解：Ai

“恰有i次击中飞机”，i0,1,2,3显然：

B“飞机被击落”P(A0P(A

)(10.4)(10.5)(10.7)0.09)0.40.7)0.4)0.50.7)0.4)0.710.36P(A2

)0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P(A)0.40.50.70.143P(B|A0

)0，P(B|A1

)0.2，P(B|A2

)0.6，P(B|A3

)1所以P(B)3i0

P(Ai

)P(B|Ai

)0.458；P(B)1P(B)10.4580.542习题1.3解答XP(X

k)12k

(k1,2,),则X的概率分布；PX为偶数PX.1解：令P(Xk)p ,kk 2k显然0pk

1，且 p k

1 2 112k 111kkPXk

21k为一概率分布。12k1P(X为偶数)

p 1 4 12k 22k 11 3kk4P(X)

p k

111 25 112k 11 16k5 k5XP(X数C.

2k)

Ck!

ek),且0，求常

cke1，而ke1k!k1

k!k0

e

1，即ce)1p(0pXX的概率分布。PXk)p)kkp=0.1立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求（1）X的概率分布； （2）P(X。解：（1）P(Xk)p)k

p(0.9)k

0.1,k0,1,2,（2）P(X)

P(Xk)

(0.9)k0.1(0.9)5k5 k5541个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？解：p的独立重复试验。

，所以这是一个n5,p1 4 41 1 3 1 3 1P(X4)C4( )4 C5( )5( )05 4 4 5 4 4 640.01，各台设备工作情况相互独立。120台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；100台，110.01？解：（1）1(0.99)20200.01(0.99)190.0175（按Poisson(泊松)分布近似）（2）n100np1000.011（Poisson(泊松)分布近似）P(XN

100

Ck100

(0.01)k(0.99)100k

100

1ke1k!

0.01N

kN

kN1X服从参数为Poisson(泊松)P（1）； （2）P(X.

0)1，求2解：P(X0)e1 , ln22P(X1P(X1[P(X0)P(X1[11ln2]1ln2)2 2 2XPoisson(泊松)分布。经统计发现在某4没有印刷错误的概率。解：P(X1)P(X2)，即P（X0）e2

1e1!

2e,22!P(e2)

e8在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求123时没有收到紧急呼救的概率；1251次紧急呼救的概率；tXt的2Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）.求123时没有收到紧急呼救的概率；1251次紧急呼救的概率；解：（1）t3, 32（2）t5, 52

P(X0)e322P(X1P(X0)1e522X的概率分布为：01233aaa2aXP-22a-1110试求（1）a； （2）YXP-22a-1110解：（1）2aa

1aa2a110。。1038313110510510YP（2YPf(x)0.5to1f(x)0.5to123x1.3.8试求:（1）t的值；（2）X的概率密度；（3）P(2X2.解：（1）

1(t)0.5

10.5312 2t11x1

, x[1,0)2 2（2）f(x)1x16 2

, x[0,3)0 其它0（2X)0(1x1)dx2(1x1)dx11

2 2 6 2 120X的概率密度为x, 0xaf(x) aP

其他).6a解：令

f(x)dx1，即sinxdx1 0cosxa0

1，即cosaa 233 2 P(X

)sinxdxcosx|26 2 66exx变成概率密度函数?解：令

x2xdx1即 c ee

(x12

1e4dx11即 ce

1 c 1 14X~N(,2，其概率密度函数为4f(x)

1 x24x46e6e

x)试求,2；若已知C

f(x)dxC

fx)dx，求C.解：f(x)

1 x24x46e 6

1 (x2)232(3)22 , 23若f(x)dxcc 若

f(x)dx，由正态分布的对称性可知c2.X的概率密度为2x, 0x1f(x)0, 其他以YXX1P(Y2.2PX

121)2xdx122 401 3 9P(Y2)C2( )2( 。3 4 4 64X服从[1,5]P(x1

Xx2

).如果（1）x1

1x2

5；（2）1x1

5x.21Xf(x)4

,1x5P(x1

Xx2

0 , x21 ) dx (x4 4 1

其他1 5（2）P(x Xx) dx (5x)1 51 2 4 4 1x1X（以分计）服从

1的指数分布。某顾客等5105次，以Y内他未等到服务而离开的次数，试求Y解：1P(X10)1P(X10)1e510]e2P(Yk)Ck(e2)ke2)5k,k5P(Y1e2)50.5167习题1.4解答1.XPX0.2PX2)0.3，PX0.5XP(0.5X2)F(x的曲线。解： 0F(F(x)0.51F(x曲线：

, x1,1x2,2x3 ；, x3

P(0.5X2)0.5F(F(x)10123X的分布函数为0,

x1F(x)

0.4, 1x10.8, 1x3, x3试求:（1）X（2）PX2|X.解：（1）XXP110.43（2）P(X2|X

P(X1)2P(X330.4X为途中遇到红灯的次数，试求（1）X的概率分布；X的分布函数。解：2 3（1）P(Xk)Ck( )k( )3k,k列成表格

3 5 501232754368125125125125XpXp2712581（2）F(x) 1251171251

, x0, 0x1, 1x2, 2x3, x31.311XF(x的曲线。解： 01 1

x14x

x2 4

1x0F(x)

1 1 1 x2 x 12 2 4 1

0x3x3F(F(x)10.2510123X的分布函数为ABe2xF(x) 0,

x0x0试求:（1）B（2）P(1X；（3）f(x.解：（1）F()lim(ABe2x)1 A1xlim(ABe2x)F(0)0 BA1x0（2）P(1XFF1e22e2x , x0（3）f(x)F'(x), x0X为连续型随机变量，其分布函数为 a, xF(x)bxlnxcxd, 1xe;试确定F(x)中的a,b,c,d的值解：F()0 a1F()1 d1lim(bxlnxcxa0x1lim(bxlnxxd1xe

d, xe.c1bee11即b1Xfx)和P(X.

a aF(x)(1x2)解：

a dx1x2)即 aarctanx|1a1 F(x)x a dt11arctanx,xt2) 2 P(|XFF(11arctan1)[11arctan(1)]0.52 2 tN(t服从参数为0.1Poisson(泊松)X表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年试求:XX的分布函数；3年内再次发生地震的概率；35年内再次发生地震的概率。解：（1）当t0PXt)P(N(t)0)e0.1tF(t)P(