步步高导学设计高中数学人教A版选修2-1配套练习323习题课立体几何中的向量方法(含答案详析)

习题课立体几何中的向量方法一、基础过关1.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角11梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别22为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点可否共面？为什么？(3)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.2.以下列图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是素来角梯形，BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值．3.如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，π∠ABC＝4，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．(1)证明直线MN∥平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．二、能力提升4．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．5.等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE(以下列图)．(1)求证：平面ABC⊥平面ABE；(2)求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．三、研究与拓展6.如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上可否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明原由．答案1．解由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直．以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立以下列图的空间直角坐标系．证明设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)．→→→→因此GH＝(0，b,0)，BC＝(0，b,0)，于是GH＝BC.又点G不在直线BC上，因此四边形BCHG是平行四边形．解C、D、F、E四点共面．原由以下：由题设知，F(0,0,2c)，→→→→因此EF＝(－a,0，c)，CH＝(－a,0，c)，EF＝CH.又C?EF，H∈FD，故C、D、F、E四点共面．证明由AB＝BE，得c＝a，→→因此CH＝(－a,0，a)，AE＝(a,0，a)．→→→又AD＝(0,2b,0)，因此CH·AE＝0，→→CH·AD＝0，即CH⊥AE，CH⊥AD.又AD∩AE＝A，因此CH⊥平面ADE.由CH?平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.2．(1)证明∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.AB⊥PD.又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE.故BE⊥PD.解以下列图，以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为(a，a,0)、(0,2a,0)．PA⊥底面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA＝30°.于是，在Rt△AED中，由AD＝2a，得AE＝a.过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE＝a，∠EAF＝60°，得AF＝1a，EF＝3a.223E0，2a，2a.→13→于是AE＝0，2a，2a，CD＝(－a，a,0)．设异面直线AE与CD所成角为θ，→→122a＝2则cosθ＝|AE·CD|＝→→a·2a4.|AE||CD|∴AE与CD所成角的余弦值为24.3．(1)证明作AP⊥CD于点P，连接OP.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P0，2，0，2D－2，2，0，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N1－2，2，0.2244→＝1－2，2，－1，MN44→＝2，－2，OP0，2→＝－2，2，－2.OD22设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，→→则n·OP＝0，n·OD＝0.22即

y－2z＝0，22x＋2y－2z＝0.取z＝2，解得n＝(0,4，2)．→22∵MN·n＝1－4，4，－1·(0,4，2)＝0，∴MN∥平面OCD.解设AB与MD所成角为θ.→∵AB＝(1,0,0)，→22，－1，MD＝－，22→→π∴cosθ＝|AB·MD|＝1，∴θ＝.→→23|AB||MD·|∴AB与MD所成角的大小为π3.4.如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B－1，1，0，P(0,0,2)．22(1)证明→→，易得PC＝(0,1，－2)，AD＝(2,0,0)→→于是PC·AD＝0，因此PC⊥AD.→(2)解PC＝(0,1，－2)，→CD＝(2，－1,0)．设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，→y－2z＝0，n·PC＝0，则即→2x－y＝0.n·CD＝0，不如令z＝1，可得n＝(1,2,1)．可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)．于是cos〈m，n〉＝m·n＝1＝6，|m||·n|66从而sin〈m，n〉＝306.因此二面角A－PC－D的正弦值为306.(3)解设点E的坐标为(0,0，h)，其中h∈[0,2]．→1，－1，h.由此得BE＝22→由CD＝(2，－1,0)，故→→→→BE·CDcos〈BE，CD〉＝→→|BE||CD·|323＝12＝10＋20h2，2＋h×5因此3＝cos30°＝3，10＋20h22解得h＝10，即AE＝101010.5．(1)证明取DE的中点O，取BC的中点G，连接AO，OG，则AO⊥DE，OG⊥DE.∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，AO⊥平面BCDE，∴AO⊥OG.建立以下列图的空间直角坐标系，设BC＝4，则DE＝2，AO＝OG＝3.因此A(0,0，3)，D(1,0,0)，E(－1,0,0)，B(－2，3，0)，C(2，3，0)．设平面ABE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，→，→∵EA＝(1,03)，EB＝(－1，3，0)，→，x1＋3z1＝0，m⊥EA由，得→－x1＋3y1＝0.m⊥EB令y1＝1，得m＝(3，1，－1)，设平面ABC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，→→3)，∵BC＝(4,0,0)，AC＝(2，3，－→x2＝0，n⊥BC，由得3z2＝0.→2x2＋3y2－n⊥AC令y2＝1，得n＝(0,1,1)，∵m·n＝(3，1，－1)·(0,1,1)＝0，∴平面ABC⊥平面ABE.→→(2)解AC·m由(1)得cos〈AC，m〉＝→|AC||m|23＋3＋3＝26.4＋3＋3·3＋1＋15∴直线AC与平面ABE所成角的正弦值为265.6．(1)证明连接BD，设AC交BD于点O，→→→由题意知SO⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，OB、OC、OS的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz以下列图．6设底面边长为a，则高SO＝2a.于是S(0,0，6－2，2a)，D2a，0，022C0，2a，0，B2a，0，0，→2a，0，OC＝0，2→2a，0，－6a，SD＝－22→→OC·SD＝0.故OC⊥SD，因此AC⊥SD.→26(2)解由题意知，平面PAC的一个法向量DS＝2a，0，2a，平面DAC的一个→6，法向量OS＝0，0，2a→→设所求二面角为θ，则cosθ＝OS·DS＝3，→→2|OS||DS|故所求二面角P—AC—D的大小为30°.解在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.→由(