高数教案第十章重积分

完好word高数教课设计第十章重积分完好word高数教课设计第十章重积分34/34完好word高数教课设计第十章重积分高等数学教案章节题目第十章重积分课型理论课§10-1二重积分的看法及性质讲课目标理解二重积分的看法，认识二重积分性质。重点二重积分的看法，性质难点怎样运用二重积分的性质去解决问题参照书目同上教具讲课后记教学过程（一）、复习上节内容（二）、讲解§10-1二重积分的看法及性质一、二重积分的看法（一）引例曲顶柱体的体积平面薄片的质量（二）二重积分的定义1．定义：几个事实二、二重积分的性质三、二重积分的几何意义（三）、本次课内容小结（四）、部署作业1第十章重积分10-1二重积分的看法与性质一、二重积分的看法（一）引例曲顶柱体的体积设有一空间立体,它的底是xoy面上的有界地区D,它的侧面是以D的界限曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面zf(x.y)。当(x,y)D时,f(x,y)在D上连续且f(x,y)0,此后称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算:(1)用随意一组曲线网将地区D分红n个小地区1，2，L，n，以这些小地区的界限曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将本来的曲顶柱体分划成n个小曲顶柱体1，2，L，n。（假定i所对应的小曲顶柱体为i,这里i既代表第i个小地区,又表示它的面积值,i既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)10-1-1n进而V(将化整为零)ii1(2)因为f(x,y)连续,对于同一个小地区来说,函数值的变化不大。所以,可以将小曲顶柱2体近似地看作小平顶柱体,于是if(ii)i((ii)i)(以不变之高取代变高,求i的近似值)整个曲顶柱体的体积近似值为nVf(ii)ii1(4)为获得V的精准值,只要让这n个小地区愈来愈小,即让每个小地区向某点缩短。为此,我们引入地区直径的看法:一个闭地区的直径是指地区上随意两点距离的最大者。所谓让地区向一点缩短性地变小,意指让地区的直径趋势于零。设n个小地区直径中的最大者为,则nVlim0i1f(i,i)i2.平面薄片的质量设有一平面薄片据有xoy面上的地区D,它在x,y处的面密度为x,y,这里x,y0,并且x,y在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。图10-1-2将D分红n个小地区1，2，L，n，用i记i的直径,i既代表第i个小地区又代表它的面积。当maxi很小时,因为x,y连续,每小片地区的质量可近似地看作是均匀1in的,那么第i小块地区的近似质量可取为(i,i)i(i,i)i3n于是M(i,i)ii1nMlim(i,i)i0i1两种实质意义完满不一样样的问题,最后都归纳同一形式的极限问题。所以,有必需撇开这类极限问题的实质背景,给出一个更宽泛、更抽象的数学看法,即二重积分。（二）二重积分的定义1．定义：设fx,y是闭地区D上的有界函数,将地区D分红个小地区1,2,,n,此中,i既表示第i个小地区,也表示它的面积,i表示它的直径。max{i}(i,i)i1in作乘积f(i,i)i(i1,2L,n)n作和式f(i,i)ii1n若极限limfi,ii0i1记作fx,yd。Dn

存在,则称此极限值为函数fx,y在地区D上的二重积分,即fx,ydlimfi,iiD0i1此中:fx,y称之为被积函数,fx,yd称之为被积表达式,d称之为面积元素,nx,y称之为积分变量,D称之为积分地区,fi,ii称之为积分和式。i12．几个事实二重积分的存在定理若fx,y在闭地区D上连续,则fx,y在D上的二重积分存在。申明:在此后的讨论中,我们总假定在闭地区上的二重积分存在。(2)fx,yd中的面积元素d象征着积分和式中的i。D4图10-1-3因为二重积分的定义中对地区D的区分是随意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分地区D,那么除了凑近界限曲线的一些小地区以外,绝大部分的小地区都是矩形,所以,可以将d记作dxdy(并称dxdy为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为fx,ydxdy。D(3)若fx,y0,二重积分表示以fx,y为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体积。二、二重积分的性质二重积分与定积分有周边似的性质线性性[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)]dDDD此中:,是常数。对地区的可加性若地区D分为两个部分地区D1,D2,则f(x,y)df(x,y)df(x,y)dDD1D23.若在D上,fx,y1,为地区D的面积,则1ddDD几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。4.若在D上,fx,yx,y,则有不等式f(x,y)d(x,y)dDD5特别地,因为fx,yfx,yfx,y，有f(x,y)df(x,y)dDD估值不等式设M与m分别是fx,y在闭地区D上最大值和最小值,是M的面积,则mf(x,y)dMD二重积分的中值定理设函数fx,y在闭地区D上连续,是D的面积,则在D上最少存在一点,,使得f(x,y)df(,)D、对称性（偶倍奇零）设函数fx,y在闭地区D上连续,D对于x轴对称,D位于x轴上方的部分为D1,在D上(1)f(x,y)f(x,y),则f(x,y)d2f(x,y)dDD1(2)f(x,y)f(x,y),则f(x,y)d0D当地区对于y轴对称,函数对于变量x有奇偶性时,仍有近似结果.例1比较以下各对二重积分的大小（1）(xy)2d与(xy)3d，此中D:(x2)2(y1)22。DD（2）ln(xy)d与[ln(xy)]2d，此中D是三角形地区，三极点分别为DD(1,0),(1,1),(2,0)。例2判断积分31x2y2dxdy的正负号.[负]x2y24例3预计以下积分之值IdxdyD:xy10I2]cos2xcos2D100y三、二重积分的几何意义61．若f(x,y)0，f(x,y)d表示曲顶柱体的体积D2．若f(x,y)0，f(x,y)d表示曲顶柱体的体积的负值D3．f(x,y)d表示曲顶柱体的体积的代数和D例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.[16R3]3小结：二重积分的定义（和式的极限）；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；二重积分的性质。作业：习题10-1（P136）基础题：4(1);5(1)7高等数学教案第十章重积分理论章节题目课型课§10-2二重积分的计算法（一）讲课目标深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧重点娴熟掌握二重积分计算难点对积分地区的区分参照书目同上教具讲课后记本节内容掌握的不够理想。教课过程（一）、复习上节内容（二）讲解10-2二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分1、x-型地区，y-型地区。2、二重积分化二次积分时应注意的问题3．求体积4．改换积分序次（四）、本次课内容小结（五）、部署作业8§10-2二重积分的计算法利用二重积分的定义来计算二重积分明显是不实质的,二重积分的计算是经过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。一、利用直角坐标计算二重积分１、x-型地区，y-型地区我们用几何看法来讨论二重积分fx,yd的计算问题。D讨论中,我们假定fx,y0；假定积分地区D可用不等式axb1(x)y2(x)表示,此中1x,2x在a,b上连续。图10-2-1图10-2-2据二重积分的几何意义可知,fx,yd的值等于以D为底,以曲面zfx,yD为顶的曲顶柱体的体积。图10-2-3在区间a,b上随意取定一个点x0,作平行于yoz面的平面xx0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间1x0,2x0为底,曲线zfx0,y为曲边的曲边梯形,其面积为A2x0x0,ydyx0f1x09一般地,过区间a,b上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为xAxfx,ydyx利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为Vbb2(x)A(x)dxaf(x,y)dydxa1(x)进而有b2(x)f(x,y)df(x,y)dydxDa1(x)(1)上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,f(x,y)只看作y的函数,对f(x,y)计算从1(x)到2(x)的定积分,此后把所得的结果(它是x的函数)再对x从a到b计算定积分。这个先对y,后对x的二次积分也常记作b2(x)f(x,y)ddxf(x,y)dyDa1(x)在上述讨论中,假定了fx,y0，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实质上,公式(1)其实不受此条件限制,对一般的f(x,y)(在D上连续),公式(1)老是建立的。近似地,假如积分地区D可以用下述不等式cyd,1(y)x2(y)表示,且函数1(y),2(y)在[c,d]上连续,fx,y在D上连续,则d2(y)d2(y)f(x,y)df(x,y)dxdydyf(x,y)dxDc1(y)c1(y)(2)10图10-2-4图10-2-5明显,(2)式是先对x,后对y的二次积分。2．二重积分化二次积分时应注意的问题（1）.积分地区的形状前面所画的两类积分地区的形状拥有一个共同点:对于I型(或II型)地区,用平行于y轴(x轴)的直线穿过地区内部,直线与地区的边界订交不多于两点。假如积分地区不知足这一条件时,可对地区进行剖分,化归为I型(或II型)地区的并集。（2）.积分限确实定二重积分化二次积分,确立两个定积分的限是重点。这里,我们介绍配置二次积分限的方法--几何法。画出积分地区D的图形(假定的图形以下)图10-2-6在a,b上任取一点x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过地区D,与地区D的界限有两个交点(x,1(x))与(x,2(x)),这里的1(x)、2(x)就是将x,看作常数而对y积分时的下限和上限；又因x是在区间a,b上随意取的,所以再将x看作变量而对x积分时,积分的下限为a、上限为b。例1.计算Ixyd,此中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭地区.D11（可用X–型地区，Y–型地区分别求解）9[]8例2.计算Dxyd,此中D是抛物线y2x及直线yx2所围成的闭地区.（先对x后对y积分）[45]8例3.计算Dsinxdxdy,此中D是直线yx,y0,所围成的闭地区.[2]x（先对y后对x积分）2x2228x2dx2例4.互换以下积分序次If(x,y)dydxf(x,y)dy002028y2重点绘图[dyf(x,y)dx]02y例5.计算Ixln(y1y2)dxdy,此中D由y4x2,y3x,x1所围成.D重点：绘图，切割积分地区，利用对称性[0]3．求体积思虑例6.求由曲面zx22y2及z62x2y2所围成的立体的体积。解作出该立体的简图,并确立它在xoy面上的投影地区图10-2-7消去变量z得一垂直于xoy面的柱面x2y22,立体镶嵌在此中,立体在xoy面的投影地区就是该柱面在xoy面上所围成的地区D:x2y22列出体积计算的表达式V[(62x2y2)(x22y2)]d(63x23y3)dDD配置积分限,化二重积分为二次积分并作定积分计算12图10-2-8V6d3x2d3y2dDDD而d2D由x,y的对称性有x2dy2dDDx2d22x22x2dxdy2x22x2dxD22x22422x2dx22cos2dx244sin0016(21)!!(21)!!16112(22)!!242所求立体的体积为V12664．改换积分序次练习111xf(x,y)dy的序次.[11y改变积分dx0dy0f(x,y)dx]00练习21dx2xx222x改变积分f(x,y)dydx0f(x,y)dy的序次.00112y2f(x,y)dx][dy11y0练习32adx2ax2f(x,y)dy(a0)的序次.改变积分2axx0aaa2y2a2a2a2a[0dyy2f(x,y)dx0dyaa2y2f(x,y)dxadyy22a2a

f(x,y)dx.]练习4求(x2y)dxdy，此中D是由抛物线yx2和xy2所围平面闭地区.[33]D14013练习5求x2ey2dxdy，此中D是以(0,0),(1,1),(0,1)为极点的三角形.[1(12)]D6e1练习6计算积分I12dy142

y1y3e1yyexdx1dyexdx.[e]2y82小结：二重积分计算公式直角坐标系下f(x,y)dxdyb2(x)X—型dxf(x,y)dyDa1(x)f(x,y)dxdyd2(y)Y—型dyf(x,y)dxDc1(y)作业习题10-2（P154）基础题：2(1),(4);3;4(3);7;10提升题：6(4);14高等数学教案章节题目第十章重积分课型理论课§10-2二重积分的计算法（二）讲课目标掌握二重积分的计算方法（极坐标）。重点二重积分的计算方法难点二重积分的计算方法参照书目同上《高等数学习题集》教具讲课后记教课过程（一）、复习上节内容（二）讲解10-2二重积分的计算法(二)一、利用极坐标计算二重积分变换公式极坐标下的二重积分计算法使用极坐标变换计算二重积分的原则二、例题（三）、本次课内容小结（四）、部署作业15§10-2二重积分的计算法二、利用极坐标计算二重积分变换公式依据二重积分的定义有nf(x,y)dlimf(i,i)iD0i1图10-2-9现研究这一和式极限在极坐标中的形式。用以极点0为中心的一族齐心圆r常数以及从极点出发的一族射线常数,将D剖分红个小闭地区。除了包括界限点的一些小闭地区外,小闭地区i的面积可以下计算i1(riri)2i1ri2i1(2riri)rii222ri(riri)riiririi2此中,ri表示相邻两圆弧半径的均匀值。在小地区i上取点ri,i,设该点直角坐标为i,i,据直角坐标与极坐标的关系有iricosi,irisini于是nnlimf(i,i)ilimf(ricosi,risini)ririi0i10i1即16f(x,y)df(rcos,rsin)rdrdDD因为f.也常记作.,所以,上述变换公式也可以写成更丰饶启迪xydfxydxdyDD性的形式f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD(1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,此中,rdrd就是极坐标中的面积元素。式的记忆方法:f(x,y)dxdyD极坐标下的二重积分计算法

xrcosrsindxdyrdrd

f(rcos,rsin)rdrdD极坐标系中的二重积分,相同可以化归为二次积分来计算。(1)积分地区D可表示成下述形式1( )r2( )此中函数1,2在,上连续。图10-2-102()f(rcos,rsin)rdrddf(rcos,rsin)rdr则D1()(2)积分地区D为下述形式图10-2-1117明显,这但是(1)的特别形式10(即极点在积分地区的界限上)。故()f(rcos,rsin)rdrddf(rcos,rsin)rdrD0(3)积分地区D为下述形式10-2-12明显,这种地区又是情况二的一种变形(极点包围在积分地区D的内部),D可剖分红D1D2,而D1:0,0r( )D2:2,0r( )故D:02,0r( )2( )f(rcos,rsin)rdrddf(rcos,rsin)rdr则D00由上边的讨论不难发现,将二重积分化为极坐标形式进行计算,其重点之处在于:将积分地区D用极坐标变量r,表示成以下形式,1( )r2( )使用极坐标变换计算二重积分的原则积分地区的界限曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数表示式用极坐标变量表示较简单(含(x2y2),为实数)。aaa2x2dyIdx(a0)x2y24a2(x2例1计算0xy2)解此积分地区为D:0xa,xyaa2x218地区的简图为图10-2-13该地区在极坐标下的表示形式为D:40,0r2asinrdrd02asindr0r2asinIr2dr2arcsindDr4a2404a242a00102()d223244例2计算e(x2y2)d，此中D为x2y2a2。D利用本题推出概率积分0ex2dx2例3求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax(a0)所截得的(含在柱面内的)立体的体积.[32a3(22)]33例4写出积分f(x,y)dxdy的极坐标二次积分形式，此中积分地区DD{(x,y)|1xy1x2,0x1}.[21f(rcos,rsin)rdr].d10sincos例5计算22，其D为由圆2222(xy)dxdyxy2yxy4y及直线x3y0，，Dy3x0所围成的平面闭地区.[3d4sinr2rdr15(3)]2sin26例6计算x2yd，此中D为x2y2a2,x0,y0。[1a5]。D151922例7计算sin(xy)d，此中D为1x2y24。[4]。x2y2例8计算(xyd，此中D为22xy2y。提示：D:0,02sin[]。)，D例9计算x2y2d，此中D为x2y22ax。[32a3]D9例10将下述二次积分化为直角坐标系下的二次积分4da,rsin)rdr。If(rcos402x1a2x2[I2dxfx,ydy2dxa2x2fx,ydy]0x2小结：二重积分计算公式极坐标系下f(rcos,rsin)rdrd2()df(rcos,rsin)drD1( )作业：习题10-2（P154）基础题：13(3);14(3);提升题：15(2);1720高等数学教课设计第十章重积分章节题目课型理论课§10-3三重积分（一）1、掌握三重积分的定义、性质讲课目标2、掌握直角坐标下三重积分的计算方法3、掌握柱面坐标下三重积分的计算方法重点直角坐标、柱面坐标下三重积分的计算方法（投影法、截面法）难点直角坐标、柱面坐标下三重积分的计算方法（投影法、截面法）参照书目同上教具讲课后记教课过程（一）、复习上节内容（二）、讲解§10-3三重积分（一）一、三重积分的看法1．三重积分的定义2．三重积分的存在定理3．三重积分的物理意义二．三重积分的计算法1、利用直角坐标计算三重积分2、利用柱面坐标计算三重积分（1）三重积分f(x,y,z)dv在柱面坐标系中的计算公式（2）用柱面坐标r,,z表示积分地区的方法（三）、本次课内容小结（四）、部署作业21§10-3三重积分的看法及其计算法一、三重积分的看法1．三重积分的定义设f(x,y,z)是空间闭地区上的有界函数,将随意地分划成n个小地区v1,v2,,vn，此中vi表示第i个小地区,也表示它的体积。在每个小地区vi上任取一点(i,i,i),n作乘积f(i,i,i)vi，作和式f(i,i,i)vi，以记这ni1n个小地区直径的最大者,若极限limf(i,i,i)vi存在,则称此极限值为函数01if(x,y,z)在地区上的三重积分,记作f(x,y,z)dv,n即f(x,y,z)dv=limf(i,i,i)vi.0i1此中dv叫体积元素。自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成dxdydz。2．三重积分的存在定理若函数在地区上连续,则三重积分存在。3．三重积分的物理意义假如f(x,y,z)表示某物体在(x,y,z)处的质量密度,是该物体所据有的空间地区,且f(x,y,z)在n上连续,则和式i1f(i,i,i)vi就是物体质量m的近似值,该和式当0时的极限值就是该物体的质量m。故mf(x,y,z)dv特别地,当f(x,y,z)=1时,dv为体积.二．三重积分的计算法22计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分。1．利用直角坐标计算三重积分假定积分地区的形状以以以下图所示.在xoy面上的投影地区为Dxy,过Dxy上随意一点,作平行于z轴的直线穿过内部,与界限曲面订交不多于两点。亦即,的界限曲面可分为上、下两片部分曲面。S1:zz1(x,y),S2:zz2(x,y)此中z1(x,y),z2(x,y)在Dxy上连续,并且z1(x,y)z2(x,y)。图10-3-1怎样计算三重积分f(x,y,z)dv呢?不如先考虑特别情况f(x,y,z)=1,则dvdxdydzz2(x,y)z1(x,y)dDxyz2(x,y)dvdxdydz即一般情况下,近似地有

Dxyz1(x,y)z2(x,y)dvdxdyf(x,y,z)dzDxyz1(x,y)z2(x,y)[z1(x,y),z2(x,y)]上明显积分f(x,y,z)dz但是把f(x,y,z)看作z的函数在区间z1(x,y)对z求定积分,所以,其结果应是x,y的函数,记F(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dzz1(x,y)那么f(x,y,z)dvF(x,y)dxdyxy23如上图所示,地区Dxy可表示为axb,y1(x)yy2(x)by2(x,y)进而F(x,y)dxdydxF(x,y)dyay1(x,y)xy综上讨论,若积分地区可表示成axb,y1(x)yy2(x),z1(x,y)zz2(x,y)bdxy2(x)z2(x,y)则f(x,y,z)dvdyf(x,y,z)dzay1(x)z1(x,y)这就是三重积分的计算公式,它将三重积分化成先对积分变量z,次对y,最后对x的三次积分。假如平行于z轴且穿过内部的直线与界限曲面的交点多于两个,可模拟二重积分计算中所采纳的方法,将剖分红若干个部分,(如1,2),使在上的三重积分化为各部分地区(1,2)上的三重积分,自然各部分地区(1,2)应合适对地区的要求。例1计算三重积分分xdxdydz，此中是由三个坐标平面及平面x2yz1所围成的空间地区。[1]48例2计算三重积分z2dxdydz，此中是由椭球面x2y2z21所围成的空a2b2c2间地区。（先二后一）。[4abc]152．利用柱面坐标计算三重积分对于某些三重积分,因为积分地区和被积函数的特色,常常要利用柱面坐标和球面坐标来计算。（一）.柱面坐标设M(x,y,z)为空间的一点,该点在xoy面上的投影为p,p点的极坐标为r,,则r,,z三个数称作点M的柱面坐标。24图10-3-2规定r,,z的取值范围是0r，02，柱面坐标系的三组坐标面分别为=常数,即以z轴为轴的圆柱面；=常数,即过z轴的半平面；z=常数,即与xoy面平行的平面。M的直角坐标与柱面坐标之间相关系式rcosyrsinzz

z(1)（二）.三重积分f(x,y,z)dv在柱面坐标系中的计算公式10-3-3用三组坐标面r=常数,=常数,z=常数,将切割成很多小地区,除了含的界限点的一些不规则小地区外,这种小闭地区都是柱体。观察由r,,z各获得微小增量dr,d,dz所成的柱体,该柱体是底面积为rdrd,高为dz的柱体,其体积为dvrdrddz这即是柱面坐标系下的体积元素,并注意到(1)式有25f(x,y,z)dvf(rcos,rsin,z)rdrddz(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。(2)式右端的三重积分计算,也可化为对于积分变量r,,z的三次积分,其积分限要由r,,z在中的变化情况来确立。（三）用柱面坐标r,,z表示积分地区的方法(1)找出在xoy面上的投影地区Dxy,并用极坐标变量r,表示之；(2)在Dxy内任取一点(r,),过此点作平行于z轴的直线穿过地区,此直线与界限曲面的两交点之竖坐标(将此竖坐标表示成r,的函数)即为z的变化范围。例1利用柱面坐标计算三重积分zx2y2dv，此中是柱面x2y22x及平面z0,zaa0,y0所围成半圆柱体。[8a3]9例2用柱坐标计算三重积分dxdydz,,此中是由抛物柱面x2y24z与平面1x2y2zh(h0)所围成。[[(14h)ln(14h)4h]]4小结：三重积分的定义和计算（化三重积分为三次积分），直角坐标系下的体积元素dvdxdydz。柱面坐标的体积元素dxdydzrdrddz作业：习题10-3（P164）基础题：5;9(2);提升题：8;1426高等数学教课设计第十章重积分章节题目课型理论课§10-4重积分的应用1、掌握利用二重积分求曲面的面积，平面薄片的质心、转动惯量。讲课目标2、掌握利用三重积分求立体体积、空间体积的质心、转动惯量、引力。重点利用二重积分求曲面的面积，平面薄片的质心、转动惯量。难点利用三重积分求立体体积、空间体积的质心、转动惯量、引力。参照书目同上教具讲课后记教学过程（一）、复习上节内容（二）、讲解10-4重积分的应用一、立体体积二、曲面的面积；1、推导公式；2、例题三、质心；平面上的质点系的质心质心空间物体的质心四、转动惯量；平面质点系对坐标轴的转动惯量平面薄片对于坐标轴的转动惯量空间物体的转动惯量五、引力（三）、本次课内容小结（四）、部署作业27§10-4重积分的应用定积分应用的元素法也可推行到二重积分,使用该方法需知足以下条件：1.所要计算的某个量U对于闭地区D拥有可加性(即:当闭地区D分红很多小闭地区d时,所求量U相应地分红很多部重量U,且UU。2.在D内任取一个直径充分小的小闭地区d时,相应的部重量U可近似地表示为f(x,y)d,此中(x,y)d,称f(x,y)d为所求量U的元素,并记作dU。3.所求量U可表示成积分形式Uf(x,y)dD一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面zf(x,y),(x,y)D,则其体积为Vf(x,y)dxdy，D据有空间有界域的立体的体积为Vdxdydz。例1.求曲面S1:zx2y21任一点的切平面与曲面S2:zx2y2所围立体的体积V.[]2例2.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.4a3(1cos4)][3二、曲面的面积设曲面S由方程zf(x,y)给出,Dxy为曲面S在xoy面上的投影地区,函数f(x,y)在Dxy上拥有连续偏导数fx(x,y)和fy(x,y),现计算曲面的面积A。10-4-128在闭地区Dxy上任取向来径很小的闭地区d(它的面积也记作d),在d内取一点(x,y),对应着曲面S上一点M(x,y,f(x,y)),曲面S在点M处的切平面设为T。以小地区d的界限为准线作母线平行于z轴的柱面,该柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片平面,因为d的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。曲面S在点M处的法线向量(指向向上的那个)为n{fx(x,y),fy(x,y),1}它与z轴正向所成夹角的方向余弦为cos11fx2(x,y)fy2(x,y)dAd而cos所以dA1fx2(x,y)fy2(x,y)d这就是曲面S的面积元素,故A1fx2(x,y)fy2(x,y)dxy即z2z2A1dxdyxyDxyzxy被柱面x2y2R22[(13例3计算双曲抛物面所截出的面积A.[R2)21)]]3例4.计算半径为a的球的表面积.（可利用直角坐标系或球坐标系）[4a2]练习求球面x2y2z2a2含在柱面x2y2ax(a0)内部的面积。解所求曲面在xoy面的投影地区Dxy{(x,y)|x2y2ax}29图10-4-2曲面方程应取为za2x2y2,则zxxzyy2x2y22x2y2a,a1zx2zy2ax2y2a2曲面在xoy面上的投影地区Dxy为图10-4-3据曲面的对称性,有2acosa2dA2adxdy22rdr220arDxyaxy222a2a2r2acosd22a(aasin)d02224a0(aasin)d2a2(2)若曲面的方程为xg(y,z)或h(z,x),可分别将曲面投影到yoz面或zox面,设所获得的投影地区分别为Dyz或Dzx,近似地有302A1xyDyz或2Ay1zDzx

2xdydzz2ydzdxx二、质心平面上的质点系的质心设在xoy平面上有n个质点,它们分别位于点(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)处,质量分别为m1,m2,,mn.由力学知道,该质点系的质点的坐标为nmixinMyMxmiyii1i1xnynmmimmii1,i1空间物体的质心设据有空间有界闭地区的物体，在点(x,y,z)处的密度为(x,y,z)（假定(x,y,z)在上连续），则物体的质心坐标是1x(x,y,z)dv1y(x,y,z)dvz1xyz(x,y,z)dvMMM此中M(x,y,z)dv当为常数，1xdv1ydvz1xyzdvVVV3.质心设有一平面薄片,据有xoy面上的闭地区D,在点(x,y)处的面密度为(x,y),假定(x,y)在D上连续,怎样确立该薄片的质心坐标x,y。在闭地区D上任取向来径很小的闭地区d,(x,y)是这小闭地区内的一点,因为d的直径很小,且(x,y)在D上连续,所以薄片中相应于d的部分的质量近似等于31(x,y)d,于是静矩元素dMx,dMy为Mxy(x,y)d