电子教案-02章0-拉压静不定问题

1.拉伸与压缩静不定问题概念仅仅用平衡方程不能求得所有的未知力的结构称为静不定结构或超静定结构。静定结构有的未知力均能由静力平衡方程确定的结构称为静定结构。静不定结构P2P

123§2－10拉压超静定问题2、超静定问题的解法静力平衡方程——力学——原有基础变形协调方程——几何——灵活思考材料本构方程——物理——构筑桥梁方程联立求解——代数——综合把握Fx

0:

N1

N2

Fy

0:

(

N1

N2

)

cos

N3

P变形几何关系（变形协调方程）变形内力关系（物理方程）补充方程

N1PN

3N

2PAP2未知力3个；平衡方程只有2个。这个问题就是一次静不定问题。例1

两等直杆与三等直杆的受力分析平衡方程:例2

求图示两端固定等直杆的约束反力PabEA

EABAPRARB几何方程:,PRBE

AE

l

P物理方程:代入平衡方程解得:APaR

a

b平衡方程:P

RA

RB

0解：解除约束,以已知方向约束反力代替P

RB

l

l为得到变形协调方程,解除多余约束，分别考虑外力和多余约束反力产生的位移叠加设B为多余约束，此处的实际位移必须为0PBAΔlPBAΔlRRB解得:BPbR

a

b几何方程:设杆的B段有初始间隙δ，求约束反力解：设外力在B处的位移大于初始间隙δB

lP

lR

B处的实际位移为初始间隙δPBAΔlPBARBΔlRPabEA

EAABδ物理方程:,PRBE

AE

l

P解得:…例3

木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160M

Pa和[]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa

和E2

=10GPa；求载荷P。

P

021

11E1

A1

E2

A2N

L

N2

L2

LL

L1

L2物理方程及补充方程：解：平衡方程:Y

4N1

N2几何方程PPy4N1N2

解平衡方程和补充方程，得:11

124E

AE2

A2N

N

P

4E1

A1

E2

A2载荷：N1

0.07P

A11求结构的方法:222

2P

A /

0.72

250

12

/

0.72

1042kN角钢面积由型钢表查得:A1=3.086cm2P1

A11/

0.07

308.6

160

/

0.07

705.4kNN2

0.72P

A2

2

P1124EE2

A2N

N

4E1

A1

E2

A2P超静定结构的第一个特点：超静定结构中杆件的内力按照杆件的刚度占总刚度的比例分配。即：杆的刚度越大，杆件承受的内力越大。例4：图示悬吊结构ABC梁刚性，各杆EA相同，求各杆内力解：1.平衡方程MA

0，

N1

a

N2

2a

P

2a

0N1

2N2

2P

02.几何方程12l2ll1PACBa

al12

lN2N1ABCP3.物理方程1

2EA

EAl

N1l

,

l

N2l补充方程与平衡方程联立解得:125

2P5N

P

；N解：(1)平衡方程m(E)

0(2)

变形几何方程

2lC

lBlC

cos

lC(3)补充方程,基本原则：在小变形条件下，C发生垂直位移到C`点；夹角α不变。PaaA

NC

cos

a

NB

2a

P

3a

0B例5：已知：AE杆为刚性杆，CD杆和BF杆的横截面面积为AD

，弹性模量为E,

求CD杆、BF杆的内力。CaEFlClC'ααCPABCENCNBlBClC'Cl

NC

a

/

sin(4)物理方程PABCENCNBlBlCPaaABDCaElFlCC'ααCC'BEAlEA

NB

lP

123解：列平衡方程N1N

3N

2PAx

1

2F

0:

N

N

Fy

0:

(

N1

N2

)

cos

N3

P(一次静不定)找变形协调关系（几何方程）L2

L1

L3

cos试求三杆的轴力。例6：图示结构，三根杆的材料及横截面积为

l1

l2

l

cos

,l3

l1

2

31

2

3A

A

A

E

E

E1

3

2

AA,L3E

i

Ai物理方程：l

i

Ni

l

iE

A13

E

A1

13

32N

Ncos

补充方程：33E3

A3E

AP1

2

1 1

cos

N

1

13

3E A

cos2

E

A

P2cos

N1

N2

将物理方程代入几和方程得补充方程补充方程与平衡方程联立求解得P

1231NN

3N

2PA找变形协调关系（几何方程）L2

L1

L3

cos这个例题虽然是一个具体问题，但是其求解方法具有一般性，由此可归纳出：求解静不定问题的一般方法画受力图,列平衡方程,判断静不定次数;根据结构的约束条件画变形图,找变形协调关系,列几何方程;由力与变形(或温度与变形)的物理关系,列物理方程;联立几何方程与物理方程建立补充方程;补充方程与平衡方程联立解全部未知力.平衡方程几何方程物理方程补充方程aaaABCDP2PaaaABCD2PPRARD平衡方程1.先解静不定RA

3P

RD

0几何方程Y

0,LP

物理方程DPL

P

a

3P

aEA

EAR

3aLR

D

EA联立以上4式得:RA

33.3kN,

RD

26.7kN例7：等截面刚杆，已知：横截面积A=200mm2，P=20kN。许用应力

=160MPa，弹性模量E=200GPa。试校核杆的强度。aaaABCD2PPRD2.校核杆的强度画杆的轴力图yN(kN)D26.76.733.3最大轴力Nmax

33.3kNRAmax

Nmax

33.3103A

200106

166.5MPa

相对误差:160166.5

160

%

4%

5%结论:杆安全!RA

33.3kN,

RD

26.7kN超静定结构的第二个特点：§2－11

温度应力和装配应力1、静定问题无装配应力。制造误差引起的应力称为装配应力(misfits

orstresses

due

to

assembling)。超静定结构在制造误差等变形因素的影响下会引起应力。2、静定问题无温度应力(Thermal

stresses)变化外界因素的影响下会引起应力。一、温度应力件的变形为：在超静定结构中，由于各个杆件的变形受到相互的制约，当温度改变时，必然要在杆内引起附加应力，由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。对于无约束的杆件，当温度变化为t

t2

t1

时，杆lt

t

l式中：

——为材料的线膨胀系数。例8

图例8

图示结构，杆①、杆②

EA

均相同，当杆①温度升高t

度时，两杆的内力和应力为多少？解（一）绘受力图如图示（设二杆均受压）MA

0,N1

a

N

2

2a,

N1

2N

2

1受力图列平衡方程（二）绘变形几何关系图如图示2lt

lN

1

lN

2即化简后得2ta

2N1a

N2aEA

EA

2由图可列出变形几何关系方程2

lN

2（三）求解内力和应力1552255Is

N

4

EAt

4

Et

N2

EAt

II

Et联立（1）、（2）可解得：EA

EA

N1

2N2

2N

a

N

a2ta

1

2

1

2RARBLTRBLR解：1.平衡方程(共线力系)

X

0,

RA

RB

0(一次静不定)得：RA

RB2.几何方程例10：输热管道AB长为L，横截面积A，材料的弹性摸量E，热膨胀系数为α，试求：当温度升高∆T(oC)时管内的应力。LT

(温度变形）=L（R

再次变形）ABLLTRBLR3.物理方程4.补充方程EA

T

L

RB

LBRTR

LEAL

,

L

T

L补充方程与平衡方程联立解得:RA

RB

EAT5.温度应力TAA

RA

EA

T

E

T两个概念温度变形;再次变形2.几何方程RLT

(温度变形）a

al123AB1l2ll3N2N3N1AB解：1.平衡方程Y

0，N1

N2

N3

0

M

A

0，N2a

N3

2a

02.几何方程l1

2l2

l3

二、装配应力在加工构件时，由于尺寸上的一些微小误差，对超静定结构则会在构件内产生应力，这种应力称为装配应力。例11：图示悬吊结构AB梁刚性，各杆EA相同，杆3短求各杆装配应力3.物理方程123EAEAEAl

N1ll

N2ll

N3l4.补充方程N1l

2

N2l

N3l

补充方程与平衡方程联立解得:1

326lEA

EA

EA

EA3lN

N

EA；Naal123AB1ll2l3N1

N2

N3A

B例6

图例12

两杆

EA

相同，水平杆为刚性杆。杆②比设计长度

l

短了

，求安装后两杆的内力和应力。解：（一）绘受力图，列平衡方程，根据实际情况，杆②在C点安装后，杆②受拉，杆①受压，受力图如图示。MA

0,

N1

a

N2

2a

0,

N1

2N2

a

受力图一根据平衡条件得：（二）绘变形几何关系图如图示即：2N1l

N2lEA

EA

b变形几何关系图一根据图可得变形几何关系方程为2l1

l2（三）求解内力和应力1I5lEA5lE5l5l

N

2EA

2E

N2

II

MA

0,

N1

a

N2

2a

0,

N1

2N2

a

2N1l

N2l

b

EA

EA联立(a)、(b)可得：PPPmaxPPPmax理论应力集中系数

0k

maxmax弹性力学计算实验测试（光弹性实验）§2－12

应力集中概念应力集中：由于结构或功能上的需要，使构件截面尺寸或形状发生突变引起的应力急剧增加的现象。圣文南(Saint-Venant)原理:对弹性体某一局部区域的外力系，若用静力等效的力系来代替；则力的作用点附近区域的应力分布将有显著改变，而对略远处其影响可忽略不计。如右图所示，根据现代力学分析方法（有限元计算方法或光弹性测试方法）的研究结果显示：由于在杆端外力作用的方式不同，将会对杆端附近处各截面的应力分布产生影响（应力非均匀分布），而对远离杆端的各个截