人教版高中数学必修二第四章复习模板课件

第四章圆与方程第四章圆与方程圆的概念1．定义：平面内到定点的距离等于_____的点的集合叫做圆，其中定点叫_____，定长叫_____．2．确定圆的基本条件已知____和____可以确定一个圆．____确定圆的位置，_____确定圆的大小．定长圆心半径圆心半径圆心半径圆心半径圆的概念定长圆心半径圆心半径圆心半径圆心半径4.1.1圆的标准方程4.1.1圆的标准方程

1.设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则圆的标准方程是_________________.

(x-a)2+(y-b)2=r21.设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则(x-a)2+在坐标平面上，平面被圆分成三个部分：圆上的点，圆内的点及圆外的点，那么如何判断点与圆的这三种位置关系呢？判断方法是由两点间的距离公式,求出该点到圆心的距离,再与圆的半径比较大小即可.设点P(x0,y0)到圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心C的距离为d,则

点与圆的位置关系(1)将所给的点P与圆心C的距离d跟半径r比较：若|PC|＝r，则点M在圆C上；若|PC|＞r，则点M在圆外；若|PC|＜r，则点M在圆内．(2)可利用圆的标准方程来确定．点P(m，n)在圆C上⇔___________________；点P(m，n)在圆C外⇔___________________；点P(m，n)在圆C内⇔___________________.(m－a)2＋(n－b)2＝r2(m－a)2＋(n－b)2＞r2(m－a)2＋(n－b)2＜r2在坐标平面上，平面被圆分成三个部分：圆上的点，圆内的下表归纳点与圆的位置关系及判断方法位置关系判定方法几何法：用|MC|与r作比较代数法：用圆的标准方程来判定点M在圆C上|CM|＝r(m－a)2＋(n－b)2＝r2点M在圆C外|CM|＞r(m－a)2＋(n－b)2＞r2点M在圆C内|CM|＜r(m－a)2＋(n－b)2＜r2下表归纳点与圆的位置关系及判断方法位置关系判定方法几何法：用2.求圆的标准方程的常用方法(1)几何法利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程得结果.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:先设方程,再列式,后求解.2.求圆的标准方程的常用方法题型一求圆的标准方程例1:求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心在原点,半径为3;(2)圆心在点(-2,1),半径为(3)经过点P(5,1),圆心在点(8,-3).分析:(1)､(2)直接写圆的方程,(3)可根据两点间的距离公式求半径,再写出圆的标准方程.解:(1)∵圆心(0,0),半径为3,∴圆的方程为x2+y2=9.(2)∵圆心(-2,1),半径∴圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.(3)∵圆的半径又圆心为(8,-3),∴圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.题型一求圆的标准方程解:(1)∵圆心(0,0),半径为3

规律技巧:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,只要求出a､b､r,这时圆的方程被确定,因此,确定圆的方程,需要三个独立条件.规律技巧:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,题型二用待定系数法求圆的方程例2:求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的方程.分析:因为条件与圆心有直接关系,因此设圆的标准方程即可解决问题.∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.题型二用待定系数法求圆的方程∴圆的方程为(x-2)2+(解法2:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.解法2:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,

规律技巧:确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准､定参数”是解题的基本方法.其中,选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式,进而确定其中三个参数.规律技巧:确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准､定参数”题型三点和圆的位置关系例3:已知圆心C(3,4),半径r=5,求此圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)在圆上､圆外还是圆内.解法1:所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.∵点A(0,0)与圆心C(3,4)的距离d=5,而r=5,d=r,∴点A在圆上.点B(1,3)与圆心C(3,4)的距离 ∴点B在圆内.题型三点和圆的位置关系

规律技巧:判断点与圆的位置关系,通常用两种方法,一种是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判定.另一种方法是把点P(x0,y0)代入圆的方程.若(x-x0)2+(y-y0)2>r2,则点P在圆外,若(x-x0)2+(y-y0)2=r2,则点P在圆上;若(x-x0)2+(y-y0)2<r2,则点P在圆内.规律技巧:判断点与圆的位置关系,通常用两种方法,一种是利4.1.2圆的一般方程4.1.2圆的一般方程1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)当________________时,方程表示一个点,该点的坐标为______________________;(2)当________________时,方程不表示任何图形;(3)当________________时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为________________,半径等于________________,上述方程称为圆的一般式方程.D2+E2-4F=0

D2+E2-4F<0

D2+E2-4F>0

1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.D2+E2-4F=02.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论:当二元二次方程具条件:(1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即____________;(2)没有xy项,即__________;(3)__________________时,它才表示圆.A=C≠0B=0D2+E2-4AF>02.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2①明确了圆心C(a,b),半径r,把标准方程展开就可得圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0②(其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2).仅当D2+E2-4F>0时,方程②才表示一个圆.2.求圆的方程,需知三个条件,知过不共线三点求圆的方程,用一般式简单.知圆心和半径用标准形式简单.1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2①题型一圆的方程的判断例1:判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程.(1)x2+y2+2x+1=0;(2)x2+y2+2ay-1=0;(3)x2+y2+20x+121=0;(4)x2+y2+2ax=0.分析:先将方程配方,化成圆的标准形式,然后再作出判断.题型一圆的方程的判断解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆.(2)原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示圆心在(0,-a),半径为的圆,标准方程为x2+(y+a)2=(3)原方程可化为:(x+10)2+y2=-21<0,故方程不表示任何曲线,故不能表示圆.(4)原方程可化为(x+a)2+y2=a2.①当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆;②当a≠0时,方程表示以(-a,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程为(x+a)2+y2=a2.解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1

规律技巧:对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆;也可以由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.规律技巧:对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方题型二求圆的一般方程例2:试判断A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否在同一圆上.分析:先求过A､B､C三点的圆的方程,再把D代入圆的方程,看是否成立即可.题型二求圆的一般方程解:设A､B､C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A､B､C三点的坐标分别代入圆的方程得∴过A､B､C三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将D(4,3)代入方程,适合.故A､B､C､D四点在同一圆上.解:设A､B､C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F

规律技巧:求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:①根据题意,选择标准方程或一般方程;②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.规律技巧:求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求变式训练2:求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将A､B､C三点坐标代入整理得∴所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.变式训练2:求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,圆的标准方程与一般方程的特点对比

标准方程一般方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)指出了圆心坐标和半径大小，几何特征明显是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显二者都含有三个特定的系数，要确定方程，均需要三个独立条件圆的标准方程与一般方程的特点对比

标准方程一般方程(x－a求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程求轨迹方程的五个步骤(1)设点：建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标(x，y)；(2)列式：写出点M适合的条件；(3)代换：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)验证：验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．求轨迹方程的五个步骤例3:等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.例3:等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3解:设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得:|AC|=|AB|,由两点间距离公式得,平方整理得,(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆,但A､B､C为三角形的顶点,∴A､B､C三点不共线.当B与C重合时,C(3,5),当BC为直径时,C(5,-1),解:设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得:∴端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(3x+y-14≠0). 故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,为半径的圆,但要除去(3,5)和(5,-1)两点.如下图所示.∴端点C的轨迹方程是

规律技巧:在求轨迹方程时,必须考虑C点是三角形的一个顶点,故A､B､C不能共线,这一点容易造成失误,应引起高度重视.规律技巧:在求轨迹方程时,必须考虑C点是三角形的一个顶4.2.1直线与圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系1、直线与圆有三种位置关系:(1)直线与圆________,有两个公共点.(2)直线与圆________,有一个公共点.(3)直线与圆________,没有公共点.相交相切相离

2、判断直线与圆的位置关系的两种方法(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断:d<r⇔相交,d=r⇔相切,d>r⇔相离.(2)联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程,利用判别式“Δ”进行判断: Δ>0⇔相交,Δ=0⇔相切,Δ<0⇔相离.1、直线与圆有三种位置关系:相交相切相离2、判断直线与圆的直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数___个___个___个两一零直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2位人教版高中数学必修二第四章复习模板课件3、有关直线与圆相交所得的弦长问题一般地,求直线与圆相交所得的弦长,可结合垂径定理与勾股定理(几何法)来处理;也可利用韦达定理(代数法)来处理.3、有关直线与圆相交所得的弦长问题3.求圆的切线方程的常用方法(1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切=代入点斜式方程可得.也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.3.求圆的切线方程的常用方法(2)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式Δ=0求k的值.(2)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时题型一直线与圆的位置关系例1:直线x+y-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0是相切､相离还是相交?消去y,并整理可得,x2-6x+9=0.题型一直线与圆的位置关系Δ=(-6)2-4×9=0,∴直线与圆相切.方法2:将已知圆配方得(x-2)2+(y+1)2=2,∴圆心(2,-1)到直线的距离∴

故直线与圆相切.Δ=(-6)2-4×9=0,

规律技巧:判断圆与直线的位置关系有以下两种方法:(1)把圆C的圆心C(a,b)到直线l的距离d与圆的半径r作比较,即圆C与直线l相离⇔d>r;圆C与直线l相切⇔d=r;圆C与直线l相交⇔d<r.(2)用圆C和直线l的公共点的个数来判定,一般需通过解方程组进行消元,然后用判别式来判断,这种方法计算量大一点,但具有较普遍的意义.规律技巧:判断圆与直线的位置关系有以下两种方法:题型二切线问题例2:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.分析:只要求出切线的斜率即可.解:如右图所示,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1.因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是题型二切线问题当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.

规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方

题型三弦长问题例3:直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交,截得弦长为求l的方程.分析:若直线l的斜率不存在,l:x=5与圆C相切,可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),再根据弦长得方程求k.题型三弦长问题解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C相交于A(x1,y1)\,B(x2,y2),解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C相交于人教版高中数学必修二第四章复习模板课件两边平方,整理得2k2-5k+2=0.解得或k=2.代入(1)知,Δ>0.故直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0.两边平方,整理得2k2-5k+2=0.解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半径,AH是弦长AB的一半,在Rt△AHO中,OA=5,解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半径

规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法,即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量y(或x),利用韦达定理,代入两点间距离公式求解.其二称为几何法,即半弦长､弦心距､半径组成直角三角形,利用直角三角形求解.本例说明几何法比代数法简便.规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法,

变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长.消去y得x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,∴y1=3,y2=0.∴两交点坐标A(1,3),B(2,0),∴弦长变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y4.2.2圆与圆的位置关系

4.2.2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含公共点个数_____

___________

_________

____

_______

____

_______

____1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含公共点个数_____

_2.圆与圆位置关系的判定几何方法：设两圆半径分别为r1，r2，圆心距离为d，则两圆位置关系图形情况d与r1、r2的关系外离_________d＞r1＋r22.圆与圆位置关系的判定两圆位置关系图形情况d与r1、r2的外切__________相交________________d＝r1＋r2|r2－r1|＜d＜r1＋r2外切__________相交________________内切____________内含____________d＝|r2－r1|d＜|r1－r2|内切____________内含____________d＝

一般地,设圆C1和C2的方程分别为(x-x1)2+(y-y1)2=r21,(x-x2)2+(y-y2)2=r22.圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为r1,r2,两圆圆心距d=|C1C2|=那么,当d>r1+r2时,两圆________.当d=r1+r2时,两圆________.当|r1-r2|<d<r1+r2时,两圆________.当d=|r1-r2|时,两圆________.当0≤d<|r1-r2|时,两圆________.外离外切相交内切内含一般地,设圆C1和C2的方程分别为外离外切相交内切内含

1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤(1)判断两圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r,C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r位置关系的常用方法:两圆C1､C2外离⇔|C1C2|>r1+r2;两圆C1、C2外切⇔|C1C2|=r1+r2;两圆C1､C2相交⇔|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2;两圆C1、C2内切⇔|C1C2|=|r1-r2|; 圆C1内含于圆C2⇔0≤|C1C2|<|r2-r1|,其中|C1C2|=0时,两圆同心.1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤(2)判断两圆的位置关系时的一般步骤:第一步:将两圆的方程化为标准方程;第二步:依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1、r2及圆心距d(即|C1C2|);第三步:根据d与r1、r2之间的关系,判断两圆的位置关系.(2)判断两圆的位置关系时的一般步骤:2.判断两圆的位置关系为什么不用代数法跟判断直线与圆的位置关系一样,判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数,但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大,较为麻烦,而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论,不如直接运用几何法简便.2.判断两圆的位置关系为什么不用代数法题型一圆与圆的位置关系例1:a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.(1)外切;(2)内切.分析:把圆的方程化成标准方程,求出两圆半径及圆心距,再作比较.题型一圆与圆的位置关系题型三与两圆公共弦有关的问题例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.分析:因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立方程组消去x2项､y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程.利用勾股定理可求出两圆公共弦长.题型三与两圆公共弦有关的问题解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A､B两点坐标是方程组①-②得3x-4y+6=0.∵A､B两点坐标都满足此方程,∴3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A､B人教版高中数学必修二第四章复习模板课件

规律技巧:求两圆的公共弦所在直线方程,只要将表示圆的两个方程相减即可得到.求圆的弦长用几何法简单.规律技巧:求两圆的公共弦所在直线方程,只要将表示圆的两易错探究例4:求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1)且半径长为1的圆的方程.错解:设所求圆的圆心C(a,b),则由①②解得a=5,b=-1.∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.易错探究错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中认为相切就是外切,思考不到位,丢掉了内切的情况,造成错解.

正解:设所求圆的圆心C(a,b),则①(1)当两圆外切时,有 ②由①②解得a=5,b=-1.∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中认为相切就是(2)若两圆内切,则有

③由①③解得a=3,b=-1.∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上所述,所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.(2)若两圆内切,则有4.2.3直线与圆的方程的应用

4.2.3直线与圆的方程的应用1.掌握直线方程､圆的方程,进一步提高知识运用能力.2.掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”1.掌握直线方程､圆的方程,进一步提高知识运用能力.用坐标方在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用能力,领会将几何问题转化为代数问题的过程,即由坐标方法解决平面几何问题.一般来说此类问题分为如下三步:第一步:______________________,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.第二步:通过__________,解决代数问题.第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 注意:______________方法的灵活运用.

建立适当的直角坐标系代数运算数形结合思想在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用能力,领会1.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”)第一步:根据题目的特点,建立适当的直角坐标系,一般坐标原点选在线段的中点,几何图形的对称中心等.建立坐标系适当,可使问题简化.用坐标和方程表示几何问题中的元素.将几何问题转化为代数问题.第二步:用代数运算解决代数问题.第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.2.要灵活运用数形结合的思想方法.对于一些代数问题,根据其几何意义,可用几何方法解决.1.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”)题型一数形结合思想方法的应用例1:(2008·全国卷)若直线与圆x2+y2=1有公共点,则()A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1题型一数形结合思想方法的应用例1:(2008·全国卷)若答案:D答案:D题型二用坐标法求圆的方程例2:如下图所示,点M是弓形弧的中点,弦|OA|=8,弓形的高为2m,求此弧所在圆的方程.分析:只需要求圆心坐标及半径即可.题型二用坐标法求圆的方程解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r,那么圆的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2.由于原点O(0,0)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上解得:b=-3,r2=25.所以圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r,

规律技巧:本题也可以选取弦OA的中点为坐标原点建立直角坐标,可求得此弧所在圆的方程为x2+(y+3)2=25.由此看来,建立的坐标系不同,所求得的方程不同.规律技巧:本题也可以选取弦OA的中点为坐标原点建立直角题型三与圆有关的综合问题例3:一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的圆形区域,已知港口位于台风中心的正北40km处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?题型三与圆有关的综合问题解:如图所示:解:如图所示:以台风中心为坐标原点,以正东方向为x轴正方向建立直角坐标系,其中取10km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的方程为x2+y2=9,港口所在位置的坐标(0,4),轮船的位置坐标(7,0),则轮船航线所在直线方程为即4x+7y-28=0,圆心到直线的距离而r=3,∴d>r,∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风影响.以台风中心为坐标原点,以正东方向为x轴正方向建立直角坐

规律技巧:选定原点,建立恰当的直角坐标系,可以简化几何问题,将几何问题转化为代数问题.规律技巧:选定原点,建立恰当的直角坐标系,可以简化几何问第四章圆与方程第四章圆与方程圆的概念1．定义：平面内到定点的距离等于_____的点的集合叫做圆，其中定点叫_____，定长叫_____．2．确定圆的基本条件已知____和____可以确定一个圆．____确定圆的位置，_____确定圆的大小．定长圆心半径圆心半径圆心半径圆心半径圆的概念定长圆心半径圆心半径圆心半径圆心半径4.1.1圆的标准方程4.1.1圆的标准方程

1.设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则圆的标准方程是_________________.

(x-a)2+(y-b)2=r21.设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则(x-a)2+在坐标平面上，平面被圆分成三个部分：圆上的点，圆内的点及圆外的点，那么如何判断点与圆的这三种位置关系呢？判断方法是由两点间的距离公式,求出该点到圆心的距离,再与圆的半径比较大小即可.设点P(x0,y0)到圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心C的距离为d,则

点与圆的位置关系(1)将所给的点P与圆心C的距离d跟半径r比较：若|PC|＝r，则点M在圆C上；若|PC|＞r，则点M在圆外；若|PC|＜r，则点M在圆内．(2)可利用圆的标准方程来确定．点P(m，n)在圆C上⇔___________________；点P(m，n)在圆C外⇔___________________；点P(m，n)在圆C内⇔___________________.(m－a)2＋(n－b)2＝r2(m－a)2＋(n－b)2＞r2(m－a)2＋(n－b)2＜r2在坐标平面上，平面被圆分成三个部分：圆上的点，圆内的下表归纳点与圆的位置关系及判断方法位置关系判定方法几何法：用|MC|与r作比较代数法：用圆的标准方程来判定点M在圆C上|CM|＝r(m－a)2＋(n－b)2＝r2点M在圆C外|CM|＞r(m－a)2＋(n－b)2＞r2点M在圆C内|CM|＜r(m－a)2＋(n－b)2＜r2下表归纳点与圆的位置关系及判断方法位置关系判定方法几何法：用2.求圆的标准方程的常用方法(1)几何法利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程得结果.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:先设方程,再列式,后求解.2.求圆的标准方程的常用方法题型一求圆的标准方程例1:求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心在原点,半径为3;(2)圆心在点(-2,1),半径为(3)经过点P(5,1),圆心在点(8,-3).分析:(1)､(2)直接写圆的方程,(3)可根据两点间的距离公式求半径,再写出圆的标准方程.解:(1)∵圆心(0,0),半径为3,∴圆的方程为x2+y2=9.(2)∵圆心(-2,1),半径∴圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.(3)∵圆的半径又圆心为(8,-3),∴圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.题型一求圆的标准方程解:(1)∵圆心(0,0),半径为3

规律技巧:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,只要求出a､b､r,这时圆的方程被确定,因此,确定圆的方程,需要三个独立条件.规律技巧:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,题型二用待定系数法求圆的方程例2:求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的方程.分析:因为条件与圆心有直接关系,因此设圆的标准方程即可解决问题.∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.题型二用待定系数法求圆的方程∴圆的方程为(x-2)2+(解法2:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.解法2:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,

规律技巧:确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准､定参数”是解题的基本方法.其中,选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式,进而确定其中三个参数.规律技巧:确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准､定参数”题型三点和圆的位置关系例3:已知圆心C(3,4),半径r=5,求此圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)在圆上､圆外还是圆内.解法1:所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.∵点A(0,0)与圆心C(3,4)的距离d=5,而r=5,d=r,∴点A在圆上.点B(1,3)与圆心C(3,4)的距离 ∴点B在圆内.题型三点和圆的位置关系

规律技巧:判断点与圆的位置关系,通常用两种方法,一种是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判定.另一种方法是把点P(x0,y0)代入圆的方程.若(x-x0)2+(y-y0)2>r2,则点P在圆外,若(x-x0)2+(y-y0)2=r2,则点P在圆上;若(x-x0)2+(y-y0)2<r2,则点P在圆内.规律技巧:判断点与圆的位置关系,通常用两种方法,一种是利4.1.2圆的一般方程4.1.2圆的一般方程1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)当________________时,方程表示一个点,该点的坐标为______________________;(2)当________________时,方程不表示任何图形;(3)当________________时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为________________,半径等于________________,上述方程称为圆的一般式方程.D2+E2-4F=0

D2+E2-4F<0

D2+E2-4F>0

1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.D2+E2-4F=02.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论:当二元二次方程具条件:(1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即____________;(2)没有xy项,即__________;(3)__________________时,它才表示圆.A=C≠0B=0D2+E2-4AF>02.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2①明确了圆心C(a,b),半径r,把标准方程展开就可得圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0②(其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2).仅当D2+E2-4F>0时,方程②才表示一个圆.2.求圆的方程,需知三个条件,知过不共线三点求圆的方程,用一般式简单.知圆心和半径用标准形式简单.1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2①题型一圆的方程的判断例1:判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程.(1)x2+y2+2x+1=0;(2)x2+y2+2ay-1=0;(3)x2+y2+20x+121=0;(4)x2+y2+2ax=0.分析:先将方程配方,化成圆的标准形式,然后再作出判断.题型一圆的方程的判断解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆.(2)原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示圆心在(0,-a),半径为的圆,标准方程为x2+(y+a)2=(3)原方程可化为:(x+10)2+y2=-21<0,故方程不表示任何曲线,故不能表示圆.(4)原方程可化为(x+a)2+y2=a2.①当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆;②当a≠0时,方程表示以(-a,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程为(x+a)2+y2=a2.解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1

规律技巧:对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆;也可以由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.规律技巧:对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方题型二求圆的一般方程例2:试判断A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否在同一圆上.分析:先求过A､B､C三点的圆的方程,再把D代入圆的方程,看是否成立即可.题型二求圆的一般方程解:设A､B､C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A､B､C三点的坐标分别代入圆的方程得∴过A､B､C三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将D(4,3)代入方程,适合.故A､B､C､D四点在同一圆上.解:设A､B､C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F

规律技巧:求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:①根据题意,选择标准方程或一般方程;②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.规律技巧:求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求变式训练2:求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将A､B､C三点坐标代入整理得∴所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.变式训练2:求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,圆的标准方程与一般方程的特点对比

标准方程一般方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)指出了圆心坐标和半径大小，几何特征明显是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显二者都含有三个特定的系数，要确定方程，均需要三个独立条件圆的标准方程与一般方程的特点对比

标准方程一般方程(x－a求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程求轨迹方程的五个步骤(1)设点：建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标(x，y)；(2)列式：写出点M适合的条件；(3)代换：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)验证：验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．求轨迹方程的五个步骤例3:等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.例3:等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3解:设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得:|AC|=|AB|,由两点间距离公式得,平方整理得,(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆,但A､B､C为三角形的顶点,∴A､B､C三点不共线.当B与C重合时,C(3,5),当BC为直径时,C(5,-1),解:设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得:∴端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(3x+y-14≠0). 故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,为半径的圆,但要除去(3,5)和(5,-1)两点.如下图所示.∴端点C的轨迹方程是

规律技巧:在求轨迹方程时,必须考虑C点是三角形的一个顶点,故A､B､C不能共线,这一点容易造成失误,应引起高度重视.规律技巧:在求轨迹方程时,必须考虑C点是三角形的一个顶4.2.1直线与圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系1、直线与圆有三种位置关系:(1)直线与圆________,有两个公共点.(2)直线与圆________,有一个公共点.(3)直线与圆________,没有公共点.相交相切相离

2、判断直线与圆的位置关系的两种方法(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断:d<r⇔相交,d=r⇔相切,d>r⇔相离.(2)联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程,利用判别式“Δ”进行判断: Δ>0⇔相交,Δ=0⇔相切,Δ<0⇔相离.1、直线与圆有三种位置关系:相交相切相离2、判断直线与圆的直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数___个___个___个两一零直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2位人教版高中数学必修二第四章复习模板课件3、有关直线与圆相交所得的弦长问题一般地,求直线与圆相交所得的弦长,可结合垂径定理与勾股定理(几何法)来处理;也可利用韦达定理(代数法)来处理.3、有关直线与圆相交所得的弦长问题3.求圆的切线方程的常用方法(1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切=代入点斜式方程可得.也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.3.求圆的切线方程的常用方法(2)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式Δ=0求k的值.(2)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时题型一直线与圆的位置关系例1:直线x+y-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0是相切､相离还是相交?消去y,并整理可得,x2-6x+9=0.题型一直线与圆的位置关系Δ=(-6)2-4×9=0,∴直线与圆相切.方法2:将已知圆配方得(x-2)2+(y+1)2=2,∴圆心(2,-1)到直线的距离∴

故直线与圆相切.Δ=(-6)2-4×9=0,

规律技巧:判断圆与直线的位置关系有以下两种方法:(1)把圆C的圆心C(a,b)到直线l的距离d与圆的半径r作比较,即圆C与直线l相离⇔d>r;圆C与直线l相切⇔d=r;圆C与直线l相交⇔d<r.(2)用圆C和直线l的公共点的个数来判定,一般需通过解方程组进行消元,然后用判别式来判断,这种方法计算量大一点,但具有较普遍的意义.规律技巧:判断圆与直线的位置关系有以下两种方法:题型二切线问题例2:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.分析:只要求出切线的斜率即可.解:如右图所示,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1.因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是题型二切线问题当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.

规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方

题型三弦长问题例3:直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交,截得弦长为求l的方程.分析:若直线l的斜率不存在,l:x=5与圆C相切,可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),再根据弦长得方程求k.题型三弦长问题解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C相交于A(x1,y1)\,B(x2,y2),解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C相交于人教版高中数学必修二第四章复习模板课件两边平方,整理得2k2-5k+2=0.解得或k=2.代入(1)知,Δ>0.故直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0.两边平方,整理得2k2-5k+2=0.解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半径,AH是弦长AB的一半,在Rt△AHO中,OA=5,解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半径

规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法,即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量y(或x),利用韦达定理,代入两点间距离公式求解.其二称为几何法,即半弦长､弦心距､半径组成直角三角形,利用直角三角形求解.本例说明几何法比代数法简便.规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法,

变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长.消去y得x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,∴y1=3,y2=0.∴两交点坐标A(1,3),B(2,0),∴弦长变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y4.2.2圆与圆的位置关系

4.2.2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含公共点个数_____

___________

_________

____

_______

____

_______

____1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含公共点个数_____

_2.圆与圆位置关系的判定几何方法：设两圆半径分别为r1，r2，圆心距离为d，则两圆位置关系图形情况d与r1、r2的关系外离_________d＞r1＋r22.圆与圆位置关系的判定两圆位置关系图形情况d与r1、r2的外切__________相交________________d＝r1＋r2|r2－r1|＜d＜r1＋r2外切__________相交________________内切____________内含____________d＝|r2－r1|d＜|r1－r2|内切____________内含____________d＝

一般地,设圆C1和C2的方程分别为(x-x1)2+(y-y1)2=r21,(x-x2)2+(y-y2)2=r22.圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为r1,r2,两圆圆心距d=|C1C2|=那么,当d>r1+r2时,两圆________.当d=r1+r2时,两圆________.当|r1-r2|<d<r1+r2时,两圆________.当d=|r1-r2|时,两圆________.当0≤d<|r1-r2|时,两圆________.外离外切相交内切内含一般地,设圆C1和C2的方程分别为外离外切相交内切内含

1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤(1)判断两圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r,C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r位置关系的常用方法:两圆C1､C2外离⇔|C1C2|>r1+r2;两圆C1、C2外切⇔|C1C2|=r1+r2;两圆C1､C2相交⇔|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2;两圆C1、C2内切⇔|C1C2|=|r1-r2|; 圆C1内含于圆C2⇔0≤|C1C2|<|r2-r1|,其中|C1C2|=0时,两圆同心.1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤(2)判断两圆的位置关系时的一般步骤:第一步:将两圆的方程化为标准方程;第二步:依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1、r2及圆心距d(即|C1C2|);第三步:根据d与r1、r2之间的关系,判断两圆的位置关系.(2)判断两圆的位置关系时的一般步骤:2.判断两圆的位置关系为什么不用代数法跟判断直线与圆的位置关系一样,判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数,但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大,较为麻烦,而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论,不如直接运用几何法简便.2.判断两圆的位置关系为什么不用代数法题型一圆与圆的位置关系例1:a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.(1)外切;(2)内切.分析:把圆的方程化成标准方程,求出两圆半径及圆心距,再作比较.题型一圆与圆的位置关系题型三与两圆公共弦有关的问题例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.分析:因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立方程组消去x2项､y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程.利用勾股定理可求出两圆公共弦长.题型三与两圆公共弦有关的问题解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A､B两点坐标是方程组①-②得3x-4y+6=0.