北京工业大学线性代数第六章第五节标准形第六节唯一性课件

第五节标准形一．二次型的标准形二．化二次型为标准形的方法1第五节标准形一．二次型的标准形1一．二次型的标准形只含平方项的二次型，称为标准形.如标准形的矩阵是一个对角阵，且主对角定义：说明:元素是其平方项的系数。2一．二次型的标准形只含平方项的二次型，称为标准形.如标准形的数域P上任意一个二次型都可以经过可逆线性替换化成标准形.数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对角阵．定理：推论：问题：由定理可知，将一个二次型化为标准形，关键是要找到可逆替换，如何找?如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则称这个对角阵是A的合同标准形．定义：3数域P上任意一个二次型都可以经过可逆线性替换化成标准形.数域二．化二次型为标准形的方法⑴二次型含有变量的平方项例1用配方法化二次型为标准形，并求出可逆线性替换．(P193---例6.5.1)1．配方法4二．化二次型为标准形的方法⑴二次型含有变量的平方项例1解：用配方法把变量x1,

x2,x3逐个配成完全平方的形式：5解：用配方法把变量x1,x2,x3逐个配成完全平方的形则有所作的可逆替换是6则有所作的可逆替换是6例2用配方法化二次型为标准形，并求出可逆替换．(P194---例6.5.2)解：为了能够配方,首先要变成有平方项.为此令⑴⑵二次型不含变量的平方项则7例2用配方法化二次型为标准形，并求出可逆替换．(P19(按例1的方法)8(按例1的方法)8则⑵为了写出所作可逆替换,先从⑵式解出⑶把⑶式带入⑴式得所作可逆替换:9则⑵为了写出所作可逆替换,先从⑵式解出⑶把⑶式带入⑴式得所作设设存在初等矩阵P1,P2,…,Pt,使得则2．初等变换法经过可逆替换X=CY化成标准形YTDY,其中D是对角阵.则初等矩阵有三种类型P(j,i(k)),P(i,j),P(i(c)),10设设存在初等矩阵P1,P2,…,Pt,使得则2．初因此即它们的转置矩阵分别为像这种初等行、列变换类型相同，称为成对初等行、列变换。11因此即它们的转置矩阵分别为像这种初等行、列变换类型相同，称为对于即同样地，对于即12对于即同样地，对于即12设对A作成对的初等行列变换对E只作初等列变换其中D是对角阵，即当A变成对角阵时E就变成了可逆矩阵C.且CT

AC=D。由以上讨论，我们得到求二次型标准形的另一种方法：13设对A作成对的初等行列变换对E只作初等列变换其中D是对例3用初等变换法化二次型(P196---例6.5.3)为标准形，并求出可逆替换．解：的矩阵为14例3用初等变换法化二次型(P196---例6.5.3)为标1515161617171818则可逆替换为得19则可逆替换为得19化成标准形则(1)同一个二次型其标准形不唯一.

(2)不同标准形中系数不为0的平方项的个数相同。设二次型XTAX经过非退化线性替换X=CY比较例2和例3的结果可看出：因为同一个二次型,用不同的线性替换,可以得到不同的标准形.20化成标准形则(1)同一个二次型其标准形不唯一.(2)不同系数不为0的平方项的个数r等于它的矩阵A因此R(A)=r.这表明二次型XTAX的标准形中的秩（即二次型的秩），因而是唯一的。21系数不为0的平方项的个数r等于它的矩阵A因此R(A)=r问题:由例2和例3的结果可看出，同一个二次型的标准形中系数不为0的平方项的个数相同，且系数为正的平方项的个数也相同.前者对于任意数域P上的二次型都成立，后者是否也成立？我们将证明后者对于实数域上的二次型是成立的。22问题:由例2和例3的结果可看出，同一个二次型的标准形中系数不第六节唯一性一.实规范形

n元实二次型XTAX

经过一个适当的可逆线性替换X=CY,可以化成下述形式的标准形

d1y12

+d2y22+…+dpyp2–dp+1yp+12-…-dr

yr2（1）其中di>0(i=1,2,…,r);且r是这个二次型的秩，因为正实数总可以开平方，所以可以再作一个可逆线性替换：23第六节唯一性一.实规范形n元实二次型则二次型（1）可以变成如下形式的标准形

z12+z22+…+zp2-zp+12-…-zp+q2称为XTAX的实规范形.实规范型的特征：只含平方项，且平方项的系数为1、-1或0；系数为1的平方项都写在前面。24则二次型（1）可以变成如下形式的标准形实规范型的特征：只含平例1用初等变换法化二次型(P196---例6.5.3)为规范形，并求出可逆替换．解：用初等变换法经可逆替换25例1用初等变换法化二次型(P196---例6.5.3)为得标准形得规范形再作线性替换问题：实二次型的规范形是不是唯一呢？26得标准形得规范形再作线性替换问题：实二次型的规范形是不是唯一二.唯一性的几个结论惯性定理:实二次型的规范形是唯一的.定义:

实二次型XTAX的规范形中,正平方项的个数p称为XTAX的正惯性指数,负平方项的个数r-p称为负惯性指数,正、负惯性指数之差2p-r称为XTAX的符号差.任意实规范形中系数不为0的平方项的个数等于二次型的秩，故实二次型的规范形被它的秩和正惯性指数决定。注：27二.唯一性的几个结论惯性定理:实二次型的规范形是唯一的.

实二次型XTAX的任一标准形中，系数为正的平方项个数是唯一确定的,且等于XTAX的正惯性指数.系数为负的平方项个数也唯一确定且等于XTAX的负惯性指数．推论1

所以，n阶实对称矩阵A的合同标准形中，主对角元素为正(负)数的个数等于A的正(负)惯性指数。28实二次型XTAX的任一标准形中，系数为正的平方

任意一个实对称矩阵A都合同于一个主对角元只有1,-1,0的对角阵.其中1,-1的个数共有R(A)个，1的个数等于XTAX的正惯性指数,-1的个数等于XTAX的负惯性指数.这个对角阵成为A的合同规范形;1和-1的个数分别称为A的正惯性指数和负惯性指数.推论2

两个n阶实对称矩阵合同的充要条件是它们的秩和正惯性指数相同.推论3

29任意一个实对称矩阵A都合同于一个主对角元只有作业P2131217(1)(3)30作业P21330第五节标准形一．二次型的标准形二．化二次型为标准形的方法31第五节标准形一．二次型的标准形1一．二次型的标准形只含平方项的二次型，称为标准形.如标准形的矩阵是一个对角阵，且主对角定义：说明:元素是其平方项的系数。32一．二次型的标准形只含平方项的二次型，称为标准形.如标准形的数域P上任意一个二次型都可以经过可逆线性替换化成标准形.数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对角阵．定理：推论：问题：由定理可知，将一个二次型化为标准形，关键是要找到可逆替换，如何找?如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则称这个对角阵是A的合同标准形．定义：33数域P上任意一个二次型都可以经过可逆线性替换化成标准形.数域二．化二次型为标准形的方法⑴二次型含有变量的平方项例1用配方法化二次型为标准形，并求出可逆线性替换．(P193---例6.5.1)1．配方法34二．化二次型为标准形的方法⑴二次型含有变量的平方项例1解：用配方法把变量x1,

x2,x3逐个配成完全平方的形式：35解：用配方法把变量x1,x2,x3逐个配成完全平方的形则有所作的可逆替换是36则有所作的可逆替换是6例2用配方法化二次型为标准形，并求出可逆替换．(P194---例6.5.2)解：为了能够配方,首先要变成有平方项.为此令⑴⑵二次型不含变量的平方项则37例2用配方法化二次型为标准形，并求出可逆替换．(P19(按例1的方法)38(按例1的方法)8则⑵为了写出所作可逆替换,先从⑵式解出⑶把⑶式带入⑴式得所作可逆替换:39则⑵为了写出所作可逆替换,先从⑵式解出⑶把⑶式带入⑴式得所作设设存在初等矩阵P1,P2,…,Pt,使得则2．初等变换法经过可逆替换X=CY化成标准形YTDY,其中D是对角阵.则初等矩阵有三种类型P(j,i(k)),P(i,j),P(i(c)),40设设存在初等矩阵P1,P2,…,Pt,使得则2．初因此即它们的转置矩阵分别为像这种初等行、列变换类型相同，称为成对初等行、列变换。41因此即它们的转置矩阵分别为像这种初等行、列变换类型相同，称为对于即同样地，对于即42对于即同样地，对于即12设对A作成对的初等行列变换对E只作初等列变换其中D是对角阵，即当A变成对角阵时E就变成了可逆矩阵C.且CT

AC=D。由以上讨论，我们得到求二次型标准形的另一种方法：43设对A作成对的初等行列变换对E只作初等列变换其中D是对例3用初等变换法化二次型(P196---例6.5.3)为标准形，并求出可逆替换．解：的矩阵为44例3用初等变换法化二次型(P196---例6.5.3)为标4515461647174818则可逆替换为得49则可逆替换为得19化成标准形则(1)同一个二次型其标准形不唯一.

(2)不同标准形中系数不为0的平方项的个数相同。设二次型XTAX经过非退化线性替换X=CY比较例2和例3的结果可看出：因为同一个二次型,用不同的线性替换,可以得到不同的标准形.50化成标准形则(1)同一个二次型其标准形不唯一.(2)不同系数不为0的平方项的个数r等于它的矩阵A因此R(A)=r.这表明二次型XTAX的标准形中的秩（即二次型的秩），因而是唯一的。51系数不为0的平方项的个数r等于它的矩阵A因此R(A)=r问题:由例2和例3的结果可看出，同一个二次型的标准形中系数不为0的平方项的个数相同，且系数为正的平方项的个数也相同.前者对于任意数域P上的二次型都成立，后者是否也成立？我们将证明后者对于实数域上的二次型是成立的。52问题:由例2和例3的结果可看出，同一个二次型的标准形中系数不第六节唯一性一.实规范形

n元实二次型XTAX

经过一个适当的可逆线性替换X=CY,可以化成下述形式的标准形

d1y12

+d2y22+…+dpyp2–dp+1yp+12-…-dr

yr2（1）其中di>0(i=1,2,…,r);且r是这个二次型的秩，因为正实数总可以开平方，所以可以再作一个可逆线性替换：53第六节唯一性一.实规范形n元实二次型则二次型（1）可以变成如下形式的标准形

z12+z22+…+zp2-zp+12-…-zp+q2称为XTAX的实规范形.实规范型的特征：只含平方项，且平方项的系数为1、-1或0；系数为1的平方项都写在前面。54则二次型（1）可以变成如下形式的标准形实规范型的特征：只含平例1用初等变换法化二次型(P196---例6.5.3)为规范形，并求出可逆替换．解：用初等变换法经可逆替换55例1用初等变换法化二次型(P196---例6.5.3)为得标准形得规范形再作线性替换问题：实二次型的规范形是不是唯一呢？56得标准形得规范形再作线性替换问题：实二次型的规范形是不是唯一二.唯一性的几个结论惯性定理:实二次型的规范形是唯一的.定义:

实二次型XTAX的规范形中,正平方项的个数p称为XTAX的正惯性指数,负平方项的个数r-p称为负惯性