人教版高中数学选修4-4全部课件

第一讲坐标系一平面直角坐标系2022/11/22第一讲坐标系2022/11/211【自主预习】1.直角坐标系(1)数轴.①定义:规定了原点、正方向和_________的直线.②对应关系:数轴上的点与_____之间一一对应.单位长度实数2022/11/22【自主预习】单位长度实数2022/11/212(2)直角坐标系.①定义:在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐标系.②相关概念:数轴的正方向:水平放置的数轴_____的方向、竖直放置的数轴_____的方向分别是数轴的正方向.向右向上2022/11/22(2)直角坐标系.向右向上2022/11/213x轴或横轴:坐标轴_____的数轴.y轴或纵轴:坐标轴_____的数轴.坐标原点:坐标轴的__________.③对应关系:平面直角坐标系内的点与_________________之间一一对应.水平竖直公共原点O有序实数对(x,y)2022/11/22x轴或横轴:坐标轴_____的数轴.水平竖直公共原点O有序实4④公式:设平面直角坐标系中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点为P,填表:两点间的距离公式中点P的坐标公式|P1P2|=________________________________2022/11/22④公式:两点间的距离公式中点P的坐标公式|P1P2|=___52.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:____________的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2022/11/222.平面直角坐标系中的伸缩变换2022/11/216【即时小测】1.函数y=ln|x|的图象为(

)2022/11/22【即时小测】2022/11/217【解析】选D.函数y=ln|x|是偶函数,图象关于y轴对称,又y=lnx在(0,+∞)上为增函数,故选D.2022/11/22【解析】选D.函数y=ln|x|是偶函数,图象关于y轴对称,82.曲线C经过伸缩变换后,对应曲线的方程为:x2+y2=1,则曲线C的方程为(

)2022/11/222.曲线C经过伸缩变换后,对应曲线的方程209【解析】选A.曲线C经过伸缩变换①后,对应曲线的方程为x′2+y′2=1②,把①代入②得到:+9y2=1.2022/11/22【解析】选A.曲线C经过伸缩变换①后,对应210【知识探究】探究点平面直角坐标系中点的位置1.平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点?提示:平面直角坐标系内的点,第一象限符号全正,第二象限横坐标为负,纵坐标为正,第三象限全负,第四象限横坐标为正,纵坐标为负,即一三同号,二四异号.2022/11/22【知识探究】2022/11/21112.伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗?提示:不一定.伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置,但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.2022/11/222.伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗?2022/11/2112【归纳总结】1.平面直角坐标系的作用与建立平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台.建立平面直角坐标系,常常利用垂直直线为坐标轴,充分利用图形的对称性等特征.2022/11/22【归纳总结】2022/11/21132.伸缩变换的类型与特点伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系.特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个实数就能确定数轴上一个点的位置.2022/11/222.伸缩变换的类型与特点2022/11/2114类型一坐标法求轨迹方程【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m,求顶点C的轨迹方程.2022/11/22类型一坐标法求轨迹方程2022/11/2115【解题探究】求轨迹方程的一般步骤是什么?提示:建系-设点-列条件-得方程、整理.2022/11/22【解题探究】求轨迹方程的一般步骤是什么?2022/11/2116【解析】由题意,以线段AB的中点为原点,AB边所在的直线为x轴建立直角坐标系,如图所示,则A(-a,0),B(a,0).设C(x,y),则线段BC的中点为因为|AE|=m,所以2022/11/22【解析】由题意,以线段AB的中点为原点,AB边所在的202217化简得(x+3a)2+y2=4m2.由于点C在直线AB上时,不能构成三角形,故去掉曲线与x轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2(y≠0).(建系不同,轨迹方程不同)2022/11/22化简得(x+3a)2+y2=4m2.2022/11/2118【方法技巧】1.建立平面直角坐标系的技巧(1)如果平面几何图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点.(2)如果平面几何图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴.2022/11/22【方法技巧】2022/11/2119特别提醒:建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上.2022/11/22特别提醒:建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上.20202.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系.建系原则是利于运用已知条件,使表达式简明,运算简便.因此,要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴.(2)建模——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程.2022/11/222.运用解析法解决实际问题的步骤2022/11/2121(3)运算——通过运算,得到所需要的结果.(4)回归——回归到实际问题作答.2022/11/22(3)运算——通过运算,得到所需要的结果.2022/11/222【变式训练】1.已知点(5-m,3-2m)不在第四象限,求实数m的取值范围.2022/11/22【变式训练】1.已知点(5-m,3-2m)不在第四象限,求实23【解析】若点(5-m,3-2m)在第四象限,则5-m>0,且3-2m<0,解得<m<5,故点(5-m,3-2m)不在第四象限时,实数m的取值范围是m≤或m≥5.2022/11/22【解析】若点(5-m,3-2m)在第四象限,2022/11/242.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.2022/11/222.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意一25【证明】如图所示,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y),则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2,PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.2022/11/22【证明】如图所示,2022/11/2126所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2,PB2+PD2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2.故PA2+PC2=PB2+PD2.2022/11/22所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b27类型二伸缩变换公式与应用【典例】求曲线x2+y2=1经过φ:变换后得到的新曲线的方程.2022/11/22类型二伸缩变换公式与应用2022/11/2128【解题探究】如何求变换后的新曲线的方程?提示:将x,y表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程.2022/11/22【解题探究】如何求变换后的新曲线的方程?2022/11/2129【解析】曲线x2+y2=1经过φ:变换后,即代入到圆的方程,可得即所求新曲线的方程为2022/11/22【解析】曲线x2+y2=1经过φ:变换后,2030【延伸探究】1.若曲线C经过变换后得到圆x2+y2=1,求曲线C的方程.2022/11/22【延伸探究】2022/11/2131【解析】将代入到方程x′2+y′2=1,得即曲线C的方程.2022/11/22【解析】将代入到方程x′2+y′2=1,20322.若圆x2+y2=1经过变换φ′后得到曲线求变换φ′的坐标变换公式.2022/11/222.若圆x2+y2=1经过变换φ′后得到曲线2022/1133【解析】设φ′:代入到C′中得与圆的方程比较得λ=5,μ=4.故φ′的变换公式为2022/11/22【解析】设φ′:2022/11/2134【方法技巧】与伸缩变换相关问题的处理方法(1)已知变换前的曲线方程及伸缩变换,求变换后的曲线方程的方法:利用伸缩变换用(x′,y′)表示出(x,y),代入变换前的曲线方程.2022/11/22【方法技巧】与伸缩变换相关问题的处理方法2022/11/2135(2)已知变换后的曲线方程及伸缩变换,求变换前的曲线方程:利用伸缩变换用(x,y)表示(x′,y′),代入变换后的曲线方程.(3)已知变换前后的曲线方程求伸缩变换,将变换前后的方程变形,确定出(x′,y′)与(x,y)的关系即为所求的伸缩变换,也可用待定系数法.2022/11/22(2)已知变换后的曲线方程及伸缩变换,求变换前的曲线方程:利36【补偿训练】1.(2016·蚌埠高二检测)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x′2+y′2=1,则曲线C的方程为(

)2022/11/22【补偿训练】1.(2016·蚌埠高二检测)在同一平面直20237【解析】选B.设曲线C上任意一点的坐标为P(x,y),按φ:变换后的对应的坐标为P′(x′,y′),代入x′2+y′2=1,得16x2+9y2=1.2022/11/22【解析】选B.设曲线C上任意一点的坐标为P(x,y),按20382.将曲线y=sin(2016x)按φ:变换后的曲线与直线x=0,x=π,y=0围成图形的面积为________.2022/11/222.将曲线y=sin(2016x)按φ:39【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),由φ:代入y=sin(2016x),得2y′=sinx′,所以y′=sinx′,即y=sinx,所以y=sinx与直线x=0,x=π,y=0围成图2022/11/22【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为2040形的面积为S=答案:12022/11/22形的面积为S=2022/11/2141自我纠错伸缩变换公式的应用【典例】将曲线按照φ:变换为曲线求曲线y=cos4x在φ变换后的曲线的最小正周期与最大值.2022/11/22自我纠错伸缩变换公式的应用2022/11/2142【失误案例】2022/11/22【失误案例】2022/11/2143分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是弄错了变换顺序,错误代入方程.正确解答过程如下:2022/11/22分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.2022/11/44【解析】由φ:得φ:将曲线按照φ:变换为曲线的方程为2022/11/22【解析】由φ:2022/11/2145由题意,得3μ=1,故λ=2,则曲线y=cos4x在φ变换后的曲线的方程为

所以变换后的曲线的最小正周期为π,最大值为2022/11/22由题意,得3μ=1,2022/11/21462022/11/222022/11/2147第2课时

极坐标和直角坐标的互化2022/11/22第2课时2022/11/2148【自主预习】极坐标与直角坐标的互化公式如图所示,把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(ρ,θ).2022/11/22【自主预习】2022/11/2149ρcosθρsinθx2+y22022/11/22ρcosθρsinθx2+y22022/11/2150【即时小测】1.极坐标系中,点(1,π)的直角坐标为(

)A.(1,0)

B.(-1,0)C.(0,1) D.(0,-1)2022/11/22【即时小测】2022/11/2151【解析】选B.由公式得所以点(1,π)对应的点的直角坐标为(-1,0).2022/11/22【解析】选B.由公式得所以点522.在直角坐标系中,点(2016,-2016)的极坐标为________(ρ>0,0≤θ<2π).2022/11/222.在直角坐标系中,点(2016,-2016)的极坐标为__53【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极点)的距离为2016,极角θ=+2kπ,k∈Z,因为0≤θ<2π,所以θ=.所以点(2016,-2016)的极坐标为.答案:2022/11/22【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极54【知识探究】探究点极坐标和直角坐标的互化1.点与极坐标是一一对应的吗?2022/11/22【知识探究】2022/11/2155提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y)是一一对应的,点M与极坐标(ρ,θ)不是一一对应的,即点M的极坐标不唯一.2022/11/22提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y)是一562.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?2022/11/222.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?2022/11/257提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式分别计算极径和极角,求极角时先计算[0,2π)内的角θ0,再表示为θ0+2kπ,k∈Z.2022/11/22提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式2022/1158【归纳总结】1.直角坐标与极坐标的关系三角函数是点的直角坐标与极坐标的联系纽带,根据三角函数定义,角θ的顶点在原点O(极点),始边为横轴的正半轴,M(x,y)为角θ终边上的一点,|OM|=则sinθ=,cosθ=,所以y=ρsinθ,x=ρcosθ.2022/11/22【归纳总结】2022/11/21592.特殊角的三角函数值θ

sinθ

1cosθ

0tanθ

1

不存在2022/11/222.特殊角的三角函数值θsinθ1cosθ603.由点的直角坐标确定极角当点不在y轴上时,由tanθ=求出[0,2π)上的θ;当点在y轴正半轴上时,θ=;当点在y轴负半轴上时,θ=.2022/11/223.由点的直角坐标确定极角2022/11/2161类型一点的极坐标与直角坐标的转化【典例】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,ρ≥0,θ∈R完成下列各题:(1)将极坐标M化为直角坐标.(2)将直角坐标N(-2016,2016)化为极坐标.2022/11/22类型一点的极坐标与直角坐标的转化2022/11/2162【解题探究】将点的极坐标化为直角坐标的公式是什么?将点的直角坐标化为极坐标的公式是什么?2022/11/22【解题探究】将点的极坐标化为直角坐标的公式是什么?将点的直角63提示:由公式将点的极坐标化为直角坐标,由公式将点的直角坐标化为极坐标.2022/11/22提示:由公式将点的极坐标化为直角坐标,由264【解析】(1)将点M的极坐标代入公式

所以点的直角坐标为(-3,-3).2022/11/22【解析】(1)将点M的极坐标代入公式2022/165(2)由点的直角坐标N(-2016,2016)与公式

且θ的终边经过点N(-2016,2016),所以θ=,所以点N的极坐标为,k∈Z.2022/11/22(2)由点的直角坐标N(-2016,2016)与公式202266【方法技巧】极坐标与直角坐标互化的策略(1)点的直角坐标化为极坐标的注意事项.化点的直角坐标为极坐标时,一般取ρ≥0,θ∈[0,2π),即θ取最小正角,由tanθ=(x≠0)求θ时,必须根据角θ的终边经过点(x,y)所在的象限来确定θ的值.2022/11/22【方法技巧】极坐标与直角坐标互化的策略2022/11/2167(2)掌握特殊角的三角函数值,还需要掌握一些常用的三角变换公式,如半角公式2022/11/22(2)掌握特殊角的三角函数值,还需要掌握一些常用的2022/68【变式训练】1.(2016·绵阳高二检测)将点M的极坐标化成直角坐标是(

)A.(-1,-1) B.(1,1)C.(1,) D.(,1)2022/11/22【变式训练】1.(2016·绵阳高二检测)将点M的极坐标2069【解析】选C.由公式所以(1,)即为所求.2022/11/22【解析】选C.由公式2022/11/21702.若已知极坐标平面内的点P,求点P关于极点对称的点的极坐标及直角坐标.2022/11/222.若已知极坐标平面内的点P,求点P关于极点271【解析】点P关于极点的对称点P′到极点的距离仍为2,即ρ=2.又P与P′的极角间相差π+2kπ,k∈Z,故θ=-+π+2kπ,k∈Z,故P′的极坐标可以为,2022/11/22【解析】点P关于极点的对称点P′到极点的距离仍为2,202272由x=2cos=-1,y=2sin=-,故点P′的直角坐标为(-1,-).2022/11/22由x=2cos=-1,y=2sin=-73类型二极坐标与直角坐标转化的应用【典例】已知A,B两点的极坐标为求线段AB中点的直角坐标.2022/11/22类型二极坐标与直角坐标转化的应用2022/11/2174【解题探究】怎样求线段中点的直角坐标?提示:先求出端点的直角坐标,再利用中点坐标公式求中点的直角坐标.2022/11/22【解题探究】怎样求线段中点的直角坐标?2022/11/2175【解析】因为A点的极坐标为所以所以A(3,),同理可得B(-4,).设线段AB的中点为M(m,n),由线段的中点坐标公式可得2022/11/22【解析】因为A点的极坐标为2022/11/2176所以线段AB中点的直角坐标为2022/11/22所以线段AB中点的直角坐标为2022/1177【延伸探究】1.试求线段AB中点的极坐标.2022/11/22【延伸探究】2022/11/2178【解析】方法一:因为A,B两点的极坐标为故A,B两点在一条直线上,且到极点的距离分别为6,8,故AB中点到极点的距离为1,且在线段OB上,故AB中点的极坐标为2022/11/22【解析】方法一:因为A,B两点的极坐标为2022/79方法二:因为线段AB中点的直角坐标为故因为AB中点在第三象限,故故中点的极坐标为2022/11/22方法二:因为线段AB中点的直角坐标为2022/1802.试求直线AB的方程.2022/11/222.试求直线AB的方程.2022/11/2181【解析】因为A点的极坐标为所以所以A(3,),又因为直线AB的倾斜角为故斜率故直线AB的方程为即2022/11/22【解析】因为A点的极坐标为2022/11/2182【方法技巧】应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时,若不方便利用极坐标直接解决,可先将极坐标化为直角坐标,利用直角坐标系中的公式、性质解决,再转化成极坐标系中的问题即可.2022/11/22【方法技巧】应用点的极坐标与直角坐标互化的策略2022/1183【变式训练】1.若点M的极坐标为则点M关于y轴对称点的极坐标为________.2022/11/22【变式训练】1.若点M的极坐标为则点M关于y轴284【解析】点M的极坐标为所以点M的直角坐标为所以点M关于y轴对称点的直角坐标为由

又点(-3,-3)位于第三象限.2022/11/22【解析】点M的极坐标为2022/11/2185故则所求点的极坐标为答案:2022/11/22故则所求点的极坐标为2022/11/21862.在极坐标系中,已知求|AB|.2022/11/222.在极坐标系中,已知求|AB87【解析】由点A的极坐标为可得点A的直角坐标为同理点B的直角坐标为(2,-2),则|AB|=2022/11/22【解析】由点A的极坐标为可得点A的直角坐标为202288自我纠错点的极坐标及其表示【典例】(2016·合肥高二检测)在极坐标系中,点P(ρ,θ)关于极点对称的点的坐标可以是()①(ρ,-θ);②(-ρ,-θ);③(-ρ,θ);④(ρ,π+θ).A.④ B.①②C.①③ D.③④2022/11/22自我纠错点的极坐标及其表示2022/11/2189【失误案例】2022/11/22【失误案例】2022/11/2190分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是忽视了ρ∈R的情形,即点P(ρ,θ)关于极点对称的点的坐标也可以是(-ρ,θ).事实上,当ρ>0时,点P(ρ,θ)在极角θ的终边上,|OP|=ρ;当ρ<0时,点P(ρ,θ)在极角θ的终边的反向延长线上,|OP|=-ρ.正确解答过程如下:2022/11/22分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.2022/11/91【解析】选D.方法一:点P(ρ,θ)关于极点对称的点的坐标可以是(ρ,π+θ)或(-ρ,θ).方法二:以极点为原点,极轴方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,点P(ρ,θ)的直角坐标为(ρcosθ,ρsinθ),关于原点对称的点的坐标为(-ρcosθ,-ρsinθ),结合选项,得③(-ρ,θ)与④(ρ,π+θ)的直角坐标都是(-ρcosθ,-ρsinθ).2022/11/22【解析】选D.方法一:点P(ρ,θ)关于极点对称的点的202922022/11/222022/11/2193二极坐标系第1课时极坐标系的概念2022/11/22二极坐标系2022/11/2194【自主预习】1.极坐标系(1)取极点:平面内取一个______.(2)作极轴:自极点引一条射线Ox.(3)定单位:选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).定点O2022/11/22【自主预习】定点O2022/11/21952.点的极坐标(1)定义:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为_________.(2)意义:ρ=_____,即极点O与点M的距离(ρ≥0).θ=______,即以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角.M(ρ,θ)|OM|∠xOM2022/11/222.点的极坐标M(ρ,θ)|OM|∠xOM2022/11/296【即时小测】1.极坐标系中,下列与点(1,π)相同的点为(

)A.(1,0) B.(2,π)C.(1,2016π) D.(1,2017π)2022/11/22【即时小测】2022/11/2197【解析】选D.点(1,π)的极径为1,极角为π,由终边相同的角的概念得,点(1,π)与点(1,2017π)相同.2022/11/22【解析】选D.点(1,π)的极径为1,极角为π,由终边相同的982.点M的直角坐标是(-1,),则点M的极点坐标为

(

)2022/11/222.点M的直角坐标是(-1,),则点M的极点坐标为2099【解析】选C.由ρ2=x2+y2,得ρ2=4,ρ=2,则ρcosθ=x得:cosθ=-,结合点在第二象限得:θ=,则点M的极坐标为2022/11/22【解析】选C.由ρ2=x2+y2,得ρ2=4,ρ=2,202100【知识探究】探究点极坐标系1.平面直角坐标系与极坐标系有什么不同?2022/11/22【知识探究】2022/11/21101提示:(1)两种坐标系形式上的区别是直角坐标系有原点,x轴,y轴,极坐标系有极点、极轴.(2)点的直角坐标是有序实数对(x,y),点的极坐标是(ρ,θ).2022/11/22提示:(1)两种坐标系形式上的区别是直角坐标系有原点,x轴,1022.极坐标系中,点的极坐标唯一吗?2022/11/222.极坐标系中,点的极坐标唯一吗?2022/11/21103提示:(1)由于极坐标系中,对于给定的有序数对(ρ,θ)都有唯一确定的点与之对应,但是,对于给定一点M,可以有无数个有序数对(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与之对应,所以极坐标系中的点与极坐标不能建立一一对应关系.(2)如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外的任意一点都有唯一的极坐标(ρ,θ)与之对应,反之亦然.2022/11/22提示:(1)由于极坐标系中,对于给定的有序数对(ρ,θ)都有104【归纳总结】1.极坐标系的四要素①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.2.在极坐标系中找点的位置,应先确定极角,再确定极径,最终确定点的位置.2022/11/22【归纳总结】2022/11/21105特别提醒:若已知点的极坐标(ρ,θ),则点是确定的,反之,若已知点,则其极坐标不确定.2022/11/22特别提醒:若已知点的极坐标(ρ,θ),则点是确定的,反之,若106类型一极坐标系与点的极坐标【典例】在极坐标系中,点P到极点的距离为________,点P到极轴的距离为________.2022/11/22类型一极坐标系与点的极坐标2022/11/21107【解题探究】怎样求点到极点和极轴的距离?提示:点到极点的距离等于极径,点到极轴的距离转化为三角函数计算.2022/11/22【解题探究】怎样求点到极点和极轴的距离?2022/11/21108【解析】因为在极坐标系中,点P,ρ=2,θ=,所以点P到极点的距离为2,点P到极轴的距离为2sin=1.答案:2

12022/11/22【解析】因为在极坐标系中,点P,ρ=2,θ=,109【方法技巧】确定点的极坐标的方法点P的极坐标的一般形式为(ρ,θ+2kπ),k∈Z,则(1)ρ为点P到极点的距离,是个定值.(2)极角为满足θ+2kπ,k∈Z的任意角,不唯一,其中θ是始边在极轴上,终边过OP的任意一个角,一般取绝对值较小的角.2022/11/22【方法技巧】确定点的极坐标的方法2022/11/21110【变式训练】1.在极坐标系中,极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,则点M的极坐标的下列表示:①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z).其中,正确表示的序号为____________.2022/11/22【变式训练】1.在极坐标系中,极轴的反向延长线上一点M与极点111【解析】由于极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,极角的始边为Ox,终边与平角的终边相同,故点M的极坐标为(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正确.答案:②③2022/11/22【解析】由于极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,极角的1122.如图,在极坐标系中,(1)作出以下各点:(2)求点E,F的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R).2022/11/222.如图,在极坐标系中,2022/11/21113【解析】(1)如图,在极坐标系中,点A,B,C,D的位置是确定的.(2)由于点E的极径为4,在θ∈[0,2π)内,极角又因为点的极坐标为(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R),2022/11/22【解析】(1)如图,在极坐标系中,点A,B,C,D的位置是2114所以点E的极坐标为同理,点F的极坐标为2022/11/22所以点E的极坐标为2022/11/21115类型二极坐标系中两点间的距离【典例】在极坐标系中,点O为极点,已知点求|AB|的值.2022/11/22类型二极坐标系中两点间的距离2022/11/21116【解题探究】根据点A,B在极坐标系中的位置关系,可得∠AOB为多少度?提示:∠AOB=90°.2022/11/22【解题探究】根据点A,B在极坐标系中的位置关系,可得∠AOB117【解析】因为故∠AOB=90°,故2022/11/22【解析】因为2022/11/21118【延伸探究】1.本例已知条件不变,试求△AOB的面积.2022/11/22【延伸探究】2022/11/21119【解析】因为故∠AOB=90°,所以S△AOB=2022/11/22【解析】因为故∠AOB=90°,2022/1202.本例已知条件不变,试求线段AB中点的极坐标.2022/11/222.本例已知条件不变,试求线段AB中点的极坐标.2022/1121【解析】设线段AB中点M的极坐标为(ρ,θ),则故线段AB中点M的极坐标为2022/11/22【解析】设线段AB中点M的极坐标为(ρ,θ),2022/11122【方法技巧】点与极坐标的对应关系以及两点间的距离公式(1)在极坐标系中,点的极坐标不唯一,这是由于与角θ1的终边相同的角的集合为{θ|θ=θ1+2kπ,k∈Z}.如果限定ρ≥0,θ∈[0,2π),那么,除极点外,点与有序数对(ρ,θ)可以建立一一对应关系.2022/11/22【方法技巧】点与极坐标的对应关系以及两点间的距离公式2022123(2)在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么两点间的距离公式的两种特殊情形为:①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1-ρ2|;②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1+ρ2|.2022/11/22(2)在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2124【变式训练】1.(2016·南昌高二检测)在极坐标系中,两点间的距离是(

)A.

B.

C.6

D.42022/11/22【变式训练】1.(2016·南昌高二检测)在极坐标系中,20125【解析】选B.|AB|=2022/11/22【解析】选B.|AB|=2022/11/211262.在极坐标系中,若△ABC的三个顶点为判断三角形的形状.2022/11/222.在极坐标系中,若△ABC的三个顶点为127【解析】

所以△ABC是等边三角形.2022/11/22【解析】2022/11/21128自我纠错已知距离求点的极坐标【典例】已知在极坐标系中,O为极点,B(ρ,θ),OA⊥OB,|AB|=5,ρ≥0,θ∈[0,2π),求点B的极坐标.2022/11/22自我纠错已知距离求点的极坐标2022/11/21129【失误案例】2022/11/22【失误案例】2022/11/21130分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是对题目中的垂直条件理解不全面,导致确定极角时漏掉一种情况.正确解答过程如下:2022/11/22分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.2022/11/131【解析】由OA⊥OB,得k∈Z,即k∈Z,由θ∈[0,2π),得由得故ρ=4.所以点B的极坐标为2022/11/22【解析】由OA⊥OB,得k∈Z,21322022/11/222022/11/21133三

简单曲线的极坐标方程2022/11/22三2022/11/21134【自主预习】1.极坐标方程与平面曲线在极坐标系中,方程f(ρ,θ)=0叫做平面曲线C的极坐标方程,满足条件:(1)平面曲线C上任意一点的极坐标中___________满足方程f(ρ,θ)=0.至少有一个2022/11/22【自主预习】至少有一个2022/11/21135(2)坐标适合方程___________的点都在曲线C上.f(ρ,θ)=02022/11/22(2)坐标适合方程___________的点都在曲线C上.f1362.圆的极坐标方程圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ=__(0≤θ<2π)圆心在点(r，0)ρ=_________

圆心在点(r，)ρ=________(0≤θ<π)r2rcosθ2rsinθ2022/11/222.圆的极坐标方程圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0137圆心位置极坐标方程图形圆心在点(r，π)ρ=__________

圆心在点ρ=_________(-π<θ≤0)-2rcosθ-2rsinθ2022/11/22圆心位置极坐标方程图形圆心在点(r，π)ρ=______1383.直线的极坐标方程(ρ∈R)直线位置极坐标方程图形过极点,倾斜角为α(1)θ=___(ρ∈R)或θ=______(ρ∈R)(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)απ+α2022/11/223.直线的极坐标方程(ρ∈R)直线位置极坐标方程图形过极点139直线位置极坐标方程图形过点(a,0),且与极轴垂直________=a

过点且与极轴平行________=a(0<θ<π)ρcosθρsinθ2022/11/22直线位置极坐标方程图形过点(a,0),且与极轴垂直____140【即时小测】1.极坐标系中,圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程为(

)A.ρ=2

B.ρ=4C.ρcosθ=1 D.ρsinθ=12022/11/22【即时小测】2022/11/21141【解析】选A.由圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r,得圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=2.2022/11/22【解析】选A.由圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r1422.极轴所在直线的极坐标方程为________.【解析】如图,设M(ρ,θ)是极轴所在直线上的任意一点,则θ=0(ρ∈R).答案:θ=0(ρ∈R)2022/11/222.极轴所在直线的极坐标方程为________.2022/1143【知识探究】探究点曲线的极坐标方程1.在极坐标系中,点M(ρ,θ)的轨迹方程中一定同时含有ρ,θ吗?提示:不一定,如圆心在极点,半径为1的极坐标方程为ρ=1,方程中只含有ρ.2022/11/22【知识探究】2022/11/211442.如何求圆心为C(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程?2022/11/222.如何求圆心为C(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程?145提示:设圆C上任意一点的极坐标为M(ρ,θ),如图,在△OCM中,由余弦定理,得|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM=|CM|2,即ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)=r2.当O,C,M三点共线时,点M的极坐标也适合上式,所以圆心为C(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程为ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)-r2=0.2022/11/22提示:设圆C上任意一点的极坐标为M(ρ,θ),2022/11146【归纳总结】1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程在极坐标系中,由于点的极坐标的表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ,θ+2π),(-ρ,θ+π),(-ρ,θ-π)都表示同一点,这与点的直角坐标具有唯一性明显不同.所以对于曲线上同一点的极坐标的多种表示形式,只要求2022/11/22【归纳总结】2022/11/21147点的极坐标中至少有一个能满足曲线的极坐标方程即可.2022/11/22点的极坐标中至少有一个能满足曲线的极坐标方程即可.2022/1482.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的相互转化及应用(1)与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样,以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化.2022/11/222.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的相互转化及应用2022/149(2)较简单曲线的极坐标方程可直接求,较复杂曲线的极坐标方程可以先求直角坐标方程,然后再转化.特别提醒:极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出,通常是先转化为直角坐标方程,然后再分析形状.2022/11/22(2)较简单曲线的极坐标方程可直接求,较复杂曲线的极坐标方程150类型一圆的极坐标方程【典例】在极坐标系中,已知圆C的圆心为C,半径为1,求圆C的极坐标方程.2022/11/22类型一圆的极坐标方程2022/11/21151【解题探究】求圆的极坐标方程时需要注意什么问题?提示:求圆的极坐标方程时需要检验特殊点是否适合方程.2022/11/22【解题探究】求圆的极坐标方程时需要注意什么问题?2022/1152【解析】在圆C上任取一点P(ρ,θ),在△POC中,由余弦定理可得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos∠POC,即化简可得2022/11/22【解析】在圆C上任取一点P(ρ,θ),2022/11/21153当O,P,C共线时,此方程也成立,故圆C的极坐标方程为2022/11/22当O,P,C共线时,此方程也成立,2022/11/21154【延伸探究】1.试求圆的直角坐标方程.2022/11/22【延伸探究】2022/11/21155【解析】圆心的极坐标为故直角坐标为又已知圆的半径为1,故圆的直角坐标方程为2022/11/22【解析】圆心的极坐标为2022/11/211562.在极坐标系中,试求该圆上的点与点距离的最大值.2022/11/222.在极坐标系中,试求该圆上的点与点距离的20157【解析】圆心与点的距离

故圆上的点与点P的距离的最大值为2022/11/22【解析】圆心与点的距离2022/1158【方法技巧】求圆的极坐标方程的步骤(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ,θ).(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ,θ)=0并化简.(3)验证极点、圆心与M三点共线时,点M(ρ,θ)的极坐标也适合上述极坐标方程.2022/11/22【方法技巧】求圆的极坐标方程的步骤2022/11/21159【补偿训练】1.在极坐标系中,圆C过极点,且圆心的极坐标是(a>0),则圆C的极坐标方程是(

)A.ρ=-2asinθ B.ρ=2asinθC.ρ=-2acosθ D.ρ=2acosθ2022/11/22【补偿训练】1.在极坐标系中,圆C过极点,且圆心的极2022160【解析】选B.由于圆心的极坐标是,化为直角坐标为(0,a),半径为a,故圆的直角坐标方程为x2+(y-a)2=a2,再化为极坐标方程为ρ=2asinθ.2022/11/22【解析】选B.由于圆心的极坐标是,化为直角坐标2021612.(2016·西安高二检测)将极坐标方程ρ=2cosθ化成直角坐标方程为________.【解析】由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=02022/11/222.(2016·西安高二检测)将极坐标方程ρ=2cosθ化成162类型二直线的极坐标方程【典例】在极坐标系中,求过点(2,π)且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程.2022/11/22类型二直线的极坐标方程2022/11/21163【解题探究】求直线极坐标方程的一般方法是什么?提示:设出直线上任意一点的极坐标(ρ,θ),列出ρ,θ的关系式即可.2022/11/22【解题探究】求直线极坐标方程的一般方法是什么?2022/11164【解析】令A(2,π),设直线上任意一点P(ρ,θ),在△OAP中,∠APO=θ-,由正弦定理得又因为点A(2,π)适合上式,故所求直线的极坐标方程为2022/11/22【解析】令A(2,π),设直线上任意一点P(ρ,θ),202165【方法技巧】关于直线的极坐标方程(1)求直线的极坐标方程的一般方法.设出直线上的任意一点(ρ,θ),利用三角形中的定理,如正弦定理、余弦定理等列出ρ,θ的关系式,即为直线的极坐标方程.2022/11/22【方法技巧】关于直线的极坐标方程2022/11/21166(2)求直线的极坐标方程的注意事项.①当ρ≥0时,直线上的点的极角不是常量,所以直线的极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程,所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程唯一且简便.②当规定了“负极径”的意义,即ρ∈R时,直线的极坐标方程就是唯一的了.2022/11/22(2)求直线的极坐标方程的注意事项.2022/11/21167【变式训练】1.(2016·铜陵高二检测)已知点P的极坐标为(1,π),求过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程.2022/11/22【变式训练】2022/11/21168【解析】点P(1,π)的直角坐标为(-1,0),所求直线的直角坐标方程为x=-1,化为极坐标方程为ρcosθ=-1.2022/11/22【解析】点P(1,π)的直角坐标为(-1,0),所求直线的直1692.在极坐标系中,求过点且与极轴平行的直线方程.【解析】点在直角坐标系下的坐标为即(0,2),所以过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y=2.即为ρsinθ=2.2022/11/222.在极坐标系中,求过点且与极轴平行的直线方程.20170类型三直线与圆的极坐标方程综合题【典例】(2016·衡阳高二检测)在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a>0),l:,C与l有且仅有一个公共点.(1)求a的值.2022/11/22类型三直线与圆的极坐标方程综合题2022/11/21171(2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.2022/11/22(2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求172【解题探究】(1)如何判断曲线的形状?提示:将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程判断曲线的形状.2022/11/22【解题探究】(1)如何判断曲线的形状?2022/11/21173(2)如何求|OA|+|OB|的最大值?提示:利用点的极坐标以及三角函数性质求最大值.2022/11/22(2)如何求|OA|+|OB|的最大值?2022/11/21174【解析】(1)由曲线C:ρ=2acosθ(a>0)得ρ2=2aρcosθ,化为直角坐标方程为(x-a)2+y2=a2,直线l:得由于直线与圆有且只有一个公共点,所以d==a,解得a=1,a=-3(舍去).2022/11/22【解析】(1)由曲线C:ρ=2acosθ(a>0)得2022175(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值2.2022/11/22(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,2022/11176【方法技巧】将极坐标方程化为直角坐标方程的关键因为直线和曲线是满足某种条件的点的集合,所以将极坐标方程化为直角坐标方程的公式仍然用点的极坐标化为直角坐标的公式y=ρsinθ,x=ρcosθ.2022/11/22【方法技巧】将极坐标方程化为直角坐标方程的关键2022/11177【变式训练】1.(2016·衡水高二检测)在极坐标系中,点到圆ρ=-2cosθ的圆心的距离为(

)2022/11/22【变式训练】1.(2016·衡水高二检测)在极坐标系中,20178【解析】选D.点的直角坐标为(1,-),圆ρ=-2cosθ即ρ2=-2ρcosθ的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,所以点(1,-)到圆心(-1,0)的距离为.2022/11/22【解析】选D.点的直角坐标为(1,-),圆1792.(2016·北京高考)在极坐标系中,直线ρcosθ-ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|=________.2022/11/222.(2016·北京高考)在极坐标系中,直线ρcosθ-20180【解析】直线ρcosθ-ρsinθ-1=0可化为x-y-1=0.圆ρ=2cosθ可化为ρ2(cos2θ+sin2θ)=2ρcosθ,x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圆心(1,0),半径长为1.圆心在直线AB上,所以|AB|=2.答案:22022/11/22【解析】直线ρcosθ-ρsinθ-1=0可化为x-181自我纠错极坐标方程化为直角坐标方程【典例】(2016·漳州高二检测)化极坐标方程ρ2cosθ-ρ=0为直角坐标方程为(

)A.x2+y2=0或y=1 B.x=1C.x2+y2=0或x=1 D.y=12022/11/22自我纠错极坐标方程化为直角坐标方程2022/11/21182【失误案例】2022/11/22【失误案例】2022/11/21183分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是忽视了ρ≥0,遗漏了ρ=0的情形.正确解答过程如下:2022/11/22分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.2022/11/184【解析】选C.由ρ2cosθ-ρ=0,得ρ(ρcosθ-1)=0,所以ρ=0或ρcosθ-1=0,即x2+y2=0或x=1.2022/11/22【解析】选C.由ρ2cosθ-ρ=0,得ρ(ρcosθ-1)1852022/11/222022/11/21186四

柱坐标系与球坐标系简介2022/11/22四2022/11/21187【自主预习】1.柱坐标系如图,在柱坐标系中,ρ:_____θ:______z:___范围:ρ≥0,__≤θ<____,____<z<____.|OQ|∠xOQQP02π-∞+∞2022/11/22【自主预习】|OQ|∠xOQQP02π-∞+∞2022/111882.球坐标系如图,在球坐标系中,r:_____φ:______θ:______范围:r≥0,__________,__________.|OP|∠zOP∠xOQ0≤φ≤π0≤θ<2π2022/11/222.球坐标系|OP|∠zOP∠xOQ0≤φ≤π0≤θ<2π21893.点的空间坐标的互相转化公式设空间一点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),则2022/11/223.点的空间坐标的互相转化公式设空间一点P的直角坐标为(x,190空间直角坐标(x,y,z)转换公式柱坐标(ρ,θ,z)

球坐标(r,φ,θ)

ρcosθρsinθzrsinφcosθrsinφsinθrcosφ2022/11/22空间直角坐标(x,y,z)转换公式柱坐标球坐标ρcosθ191【即时小测】1.柱坐标系中,点的柱坐标化为直角坐标为

(

)A.(2,2,3)

B.(2,3,0)

C.(0,2,3)

D.(2,0,3)2022/11/22【即时小测】2022/11/21192【解析】选C.设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),因为(ρ,θ,z)=

2022/11/22【解析】选C.设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ193所以点P的直角坐标为(0,2,3).2022/11/22所以点P的直角坐标为(0,2,3).2022/11942.将球坐标化为直角坐标为(

)A.(1,,1) B.(1,,0)C.(1,0,) D.(0,,1)2022/11/222.将球坐标化为直角坐标为()2022195【解析】选D.点的球坐标(r,φ,θ)化为直角坐标为(x,y,z)=(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ),所以化为直角坐标为2022/11/22【解析】选D.点的球坐标(r,φ,θ)化为直角坐标为(x,y196【知识探究】探究点柱坐标系与球坐标系1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中点的坐标有什么特点?2022/11/22【知识探究】2022/11/21197提示:(1)柱坐标系与球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱坐标系在平面xOy内构造平面极坐标系,球坐标系是构造点P到原点的距离|OP|=r与射线Oz构成极坐标系,且OP在平面xOy内的射影与射线Ox也构成平面极坐标系.2022/11/22提示:(1)柱坐标系与球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱198(2)点P的直角坐标是有序实数组(x,y,z),柱坐标是含有一个极角的有序数组(ρ,θ,z),球坐标是含有两个极角的有序数组(r,φ,θ).2022/11/22(2)点P的直角坐标是有序实数组(x,y,z),柱坐标是含有1992.要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什么限制?提示:空间点的坐标都是三个数值,至少有一个是距离.2022/11/222.要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什么限制?2200【归纳总结】1.柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系柱坐标系和球坐标系都要定位在空间直角坐标系中,柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置.2022/11/22【归纳总结】2022/11/212012.对球坐标系的三点说明(1)在球心为O,r为半径的球中,建立球坐标系,如图,其中,|OP|=r与射线Oz构成极坐标系,且OP在平面xOy内的射影OQ与射线Ox也构成极坐标系,所以球坐标系也称为空间极坐标系.2022/11/222.对球坐标系的三点说明2022/11/21202(2)球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用,在测量实践中,球坐标P(r,φ,θ)中的角θ称为被测点P的方位角,90°-φ称为高低角.(3)在球坐标系中,方程r=r0(r0为正常数)表示球心在原点,半径为r0的球面;2022/11/22(2)球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用,在测量实践中203方程θ=θ0(0≤θ0<2π)表示过z轴的半平面,且与平面xOz所成的二面角为θ0;方程φ=φ0(0≤φ0≤π)表示顶点在原点,半顶角为φ0的“圆锥面”,其中心轴为z轴,当φ0=时,“圆锥面”为平面xOy;当φ0<时,“圆锥面”在平面xOy上方;当φ0>时,“圆锥面”在平面xOy下方.2022/11/22方程θ=θ0(0≤θ0<2π)表示过z轴的半平面,且与平20204类型一柱坐标与直角坐标的转化【典例】把点P的直角坐标(2,2,4)化为柱坐标.2022/11/22类型一柱坐标与直角坐标的转化2022/11/21205【解题探究】直角坐标与柱坐标互化的依据是什么?提示:直角坐标与柱坐标互化的依据是公式2022/11/22【解题探究】直角坐标与柱坐标互化的依据是什么?2022/11206【解析】点P的直角坐标(2,2,4)化为柱坐标解得所以点P的柱坐标为2022/11/22【解析】点P的直角坐标(2,2,4)化为柱坐标207【方法技巧】点的柱坐标与直角坐标的互相转化公式设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),(1)柱坐标化为直角坐标的公式为即柱坐标(ρ,θ,z)的直角坐标为(x,y,z)=(ρcosθ,ρsinθ,z).2022/11/22【方法技巧】点的柱坐标与直角坐标的互相转化公式2022/11208(2)直角坐标化为柱坐标的公式为即直角坐标(x,y,z)的柱坐标为其中,且θ的终边经过(x,y).2022/11/22(2)直角坐标化为柱坐标的公式为2022/11/21209【变式训练】1.将点的柱坐标化为直角坐标为(

)A.(,1,-1)

B.(,-1,-1)C.(-,1,-1) D.(-,-1,-1)2022/11/22【变式训练】1.将点的柱坐标化为直角坐标20210【解析】选C.因为M点的柱坐标为设点M的直角坐标为(x,y,z),所以即所以2022/11/22【解析】选C.因为M点的柱坐标为20222112.将点的直角坐标(-,-3,4)化为柱坐标为________.2022/11/222.将点的直角坐标(-,-3,4)化为柱坐标为____212【解析】设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),因为(x,y,z)=(-,-3,4),由公式且θ的终边经过点(-,-3),故θ=,2022/11/22【解析】设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为2022/213所以点的直角坐标(-,-3,4)化为柱