中学数学-初高中数学衔接教材 §1.1 数与式的运算(含答案)

初高中数学衔接教材现初中学识在下脱节立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。因式分解初中一般只限于二次项且系数1”的分解对系数不“的及多而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求高中教材许多化简求值都要用如解方程、不等式等。二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求此题目仅限于简单常规算和难度不大的应用题型在高中二次函数二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。几何部分很多概（重心垂等和（如平行线分线段比例定理射影定理，相交弦定理等、弦切角定理）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。目

录第一章：数与式的运算和因式分……P2—P151.1数与式的运……P2—1.1.1绝值

乘公式

1.1.3二次根式

分式1.2分解因……P9—P15第二章：方程、函数、方程组、不等式…—2.1一元二次方……P16——P242.1.1根判别式2.2二次函……P25——P34

2.1.2根系数的关系（韦达定理）2.2.1二次函数＝＋＋c的像和性2.2.3二次函数的简单应用-1-

2.2.2二函数的三种表示方式0.0.2.3方程组不等……P35——P432.3.1二元二次方程组解法第三章：相似性、圆…P44P693.1相形…P44

2.3.2

一元二次不等式解法3.1.1．平行线分线段成比例定3.2三角形…P54——P62

3.1.2相似形3.2.1三形四心3.2.23.3圆…P63—P69

几种特殊的三角形3.3.1直与圆，圆与圆的位置关系

3.3.2点的轨迹1.1数式运算1.１绝对值绝对值的代数意义正数的绝对是它的本身负的绝对值是它的相反数的绝对值仍是零。即

a|a或

）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。两个数的差的绝对值的几何意义：

表示在数轴上，数

和数

之间的距离。例解等：

＞。－3|解法一由x0xx①若x，等式可变为x，

；

P

C

A

B即

＞4，解得x＜，

x

又x＜1，∴＜0；②若1x，等式可变为

(

，

－1|

图1．－1即1，∴不存在满足条件的x；③若

x

，不等式可变为

(

，即

x

＞4，解x＞。又x，∴＞。-2-66综上所述，原不等式的解为x＜，或x＞。解法二：如图1－1x表轴坐标为x的到标为1的A之的距离，即PA＝x－；－表示轴上点P到标为的B之的距离|，即|PB＝x－3|所以，不等式

＞4的几何意义即为＋|＞。练

由|＝2可知点在点C坐标为0)的左侧、或点在点D坐标为4)的右侧。x＜0或＞。习．填空）若

，则x；若

，则x。（2如果

，且

，则＝；

，则c＝________。．选择题：下列叙述正确的是（）（A若

ab

，则

（）若

ab

，则

（C若

a

，则

（D若

，则

a．化简：x－5|－|2（

x6

1.1.2.法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1平方差公式

(2

；（2完全平方公式

()2aab

。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1立方和公式

(a)(

；（2立方差公式

(aa

2

；（3三数和平方公式

(a)

2

2

2

2

2(ab)

；（4两数和立方公式

(a)33a2ab2

；（5两数差立方公式

(a

323

。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。例1计：

(xx

21)(x2

。解一原式=

(2

=

(21)(x4

=

x6

。解法二：原式=

(1)(

2

1)(xx

2

=(

3

1)(

3

x。-3-例已

，

bcac4

，求

22

的值。解：

2

2

2

a

2

)

。练．填空

19

a

111bba)423

（

m

)2m)；(b)

2

2

2

2

)

。．选择题）若

x

2

mx

是一个完全平方式，则

等于（）（A

m

（）

14

2

（

13

2

（D

116

2（2不论，b为实数，

2

2

的值（）（A）是正数（B）总负数（）以是零（）以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如

(0)

的代数式叫做二次根式。根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式。

例如

3

2

，

a

2

2

等是无理式，而2

2x2

，

22xy

2

，等有理式。分母（）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫分（）理化为了进行分母（子理化，需要引入有理化因式的概念。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如

2

与2

与

，

6

与

6

2

与

3

等般地x与

x，ax与xy，a与

互为有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。在二次根式的化简与运算过程中次根式的乘法可参照多项式乘法进行算中要运用公式

b

ab(ab

；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算次根式的加减法与多项式的加减法类似在简的基础上去括号与合并同类二次根式。-4-．二次根式a的意义

a

2

a

aa例1

将下列式子化为最简二次根式：（）12；（2）

a

b

；（）(x

。解）

12b

；（）

a

2

b

bb(

；（3

x6x

y3(x0)

。例2计：

3)

。解法一：

3)

＝

＝

33)(33)(3＝

33(＝＝。9解法二：

3)

＝

＝＝

13＝＝。3332例试较列各组数的大小：（1111110；（2

和

6

。解）

(11)

，

(10)(10)1

，又

1110，1211＜（2）∵

－6

－62－2226又42，∴64＋2∴

＜

6

。例化：

2)20042)

2005

。解：

2004

3

2005

＝

2004

2)

2004

2)＝

2)3

2)＝＝32-5-例化）

5

；（）

2

1

。解）式5(5)2(22255

。（2原=

1(x)xx

1x

，∵

0

，∴

1，以，原式＝xx

。例已

x

23,23

，求

2xyy

2

的值。解：∵

xy

2322

2

2)

2

，xy

33

，x22)2练1填空：

。（1

33

＝_____（3

___（2若

x5

，则

的取值范围_____（4若

x

5，则2x

xxxx

。．选择题：等式

xxxx

成立的条件是（）（A

x2

（B

x

（C

x

（）

．若

b

a

2

a

2

，求的。-6-AA．比较大小2－－4（填＞，＜1.1.．分式．分式的意义：形如

A的式子，若中有字母，且B0，则称为分式B当M时分式

具有下列基本性质：

A；BM

。mp．繁分式：像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫繁式。2np例1若

xx(x2)x

，求常数

AB

的值。AA(x2)Bx()A5x解：，x(x2)(x2)(x2)A25,。∴解B111例证（中是正整数nn1

19

；（）证明：对任意大的整n有

13

1(n

。（1明成立。

1(n1（其中n正整数）nnnnn（2解：由（）可知

111

1111))9223

1)910

1＝。1010（3证明：∵

3

(n＝

1())24

1)＝，n2n又n，正整数，∴n

一定为正数，∴

3

(n

＜。-7-222222222222例3.

e

ca

，且＞1，c－＋

＝0求的。解：－ac＋a＝两边同除以a，2－e＋＝，∴(2e1)(－＝，∴＝＜1舍去；或＝2∴＝2。练习．填空题：对任意的正整数n

(

11n

；．选择题：若

x2，则＝）xy（A）１（

546（C）（D）45．正数

满足

xxy

，求

xx

的值。．计算

11199

。习1．．解不等式

；

；

x

。-8-２已知

xy

，求

xyxy

的值。．填空）

18

19

＝；（2若

(1)2)

，则

的取值范围；（3

11123356

。B组

．填空）

a

112ab，，则22abb

2

；（2若

x

2xy2

，则

22y2

2

__．已知：

x

1,y2

，求

yy

的值。C组．选择题：（1若

，则（）（A）

（B

（）

b0

（）

（2计算

a

1a

等于（）（A）

（B）

（C

（）

a-9-．解方程

2(

2

1)x)x2

。．计算：

11112

19

。．试证：对任意的正整数，有

1

n(n

＜。-10参答1.1.1．绝对值1