数轴上点的运动规律

【例题1】A、B两地有一条长度是300km的公路，甲车从A地出发开往B地，速度为90km/h,与此同时，乙车从B地出发开往A地，速度为60km/h（1）问：甲乙两车出发几小时后相遇？（2）问：出发几小时后，两车相距【例题1】A、B两地有一条长度是300km的公路，甲车从A地出发开往B地，速度为90km/h,与此同时，乙车从B地出发开往A地，速度为60km/h（1）问：甲乙两车出发几小时后相遇？（2）问：出发几小时后，两车相距50千米？（变形1）b—a（图1）如果我们换个位置，B在左边，A在右边，就会变成下面这样:如图所示，数轴上A如图所示，数轴上A、B两点分别表示a、b两个数，并且（a4）2-|8一b卜0，现有一点P从A出发，以每秒2个单位的速度向右移动，与此同时，有一点Q从B出发，以每秒4个单位的速度向7动。（1）a=,b=,A与B之间的距离是个单位长度。（2）问：几秒后，P、Q两个点重合？（3）问：几秒后，P、Q两个点之间的距离是4个单位长度?111>（图2）BOA此时ab，A、B两点之间的距离，我们可以用a-b来表示。也就是说，在数轴上两点之间的距离，其实就是两个数的差，说具体一点，就是用较大的数减去较小的数，就等于两个点之间的距离。由于数轴上的点从左到右越来越大，所以较大的数在右边，较小的数在左边我们在计算数轴上两点之间的距离时，对于大部分初学者，可以先这样问问自己:①这两个点，哪个表示的是大数？哪个表示的是小数？②我要用哪个数减去哪个数？（思考题）参考图1，若A点表示的数是2a-b，B点表示的数是2b-a，那么A、B之间的距离是（用含有a（思考题）参考图1，若A点表示的数是2a-b，B点表示的数是2b-a，那么A、B之间的距离是（用含有a、b的代数式表示）参考图2,若A点表示的数是2ab，B点表示的数是2ba，那么A、B之间的距离是（用含有a、b的代数式表示）小球滚动的距离是多少个单位长度？【方法总结】数轴上位置已经确定的点，叫做定点；位置不断变化的点，叫做动点。数轴上两个动点重合，就好比马路上两辆车相遇，可以转化成相遇问题。数轴上反方向运动的两个点，就好比马路上两辆车相对行驶，相遇之前距离越来越小，相遇之后距离越来越大。

（思考与讨论）由于数轴上的点，向右增大，向左减小。我们假设A点表示的数为a,B点表示的数为b,保持A、B两点静止不动。我们添上两个能动的点P和Q：「P点从A出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动；与此同时，Q点从B出发，以每秒5个单位长:门度的速度向左移动。设运动时间为t，那么t秒后，？点表示的数是，（3）若P、Q之间相距10个单位长度，求t的值Q点表示的数是o由此可见，向左运动的点，它表示的数可以这样算：起点减去速度乘时间向右运动的点，表示的数就可以这样算：起点加上速度乘时间。111>AOB【例题2】甲车速度是60km/h，乙车速度是90km/h。某天上午，甲、乙两车在同一个地方,走同一条路去往300km外的省城，甲车先走了1小时，然后乙车才出发。（1）问：乙车能否在抵达省城之前，追上甲车？

【方法总结】向左运动的点，它表示的数可以这样算：起点减去经过的路程，向右运动的点，表示的数可以这样算:起点加上经过的路程。这里所说的路程，是指某一个动点的速度乘它的运动时间。数轴上两个动点如果是同方向运动的，一定要比较它们的速度，然后再思考，有没有追上甚至超过的可能，如果有这样的可能，一定要把这种情况写在答题过程中。同向运动的两个点如果能相遇，就好比追及问题里面，后面的快车追上了前面的慢车。追上所需的时间就用它们出发前的距离除以速度差，就能算出答案。（2）问：乙车出发多少小时，甲、乙两车相距30km?三、中点公式在数轴上有一点A表示的数为a，有一点B表示的数为b，并且a:::b（变式）如图，A（变式）如图，A、B两点分别对应数轴上a,b两数，0为原点，若OB=2OA,且AB=24o有一点P从A点出发，以每秒6个单位的速度向右移动，与此同时，有一点Q从B出发，以每秒2个单位的速度向右如果P是AB的中点，那么P点表示的数可以记作：（a■b），一一一…_2（下面我们就来研究这个公式是怎样得到的）TOC\o"1-5"\h\z移动，假设运动时间为to―>P―>QI|I.A0Ba=5，Q点表示的数是（2）t秒以后，P点表示的数是（用含有t的代数式表示）

1JI,APB司因为AB二b-a，P是AB中点，那么AP就是AB的一半，1所以AP=」（b-a）21?点可以看成是从A点出发，向右移动了八（b-a）得到的。一11所以P表示的数就可以写成：a•-（b-a），化简以后就是-（a•b）典型例题讲解【例题1】如图，0为原点，在数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a,b满足2|a+2|+(3a+b)=0a=,b=;若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t(秒).当点P运动到线段0B上，且P0=2PB时，求t的值；先取0B的中点E,当点P在线段0E上时，再取AP的中点F，试探究*—的值是否为定值？EF若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示.若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点0着“折线数轴”的正方向运动，从点0运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点0期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速设运动的时间为t秒问：动点P从点A运动至C点需要多少时间？P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；求当t为何值时，P、0两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等.0C0C后立即原速返回向右匀速运动，当PQ=1时，求t的值.(题目来源：2018年无锡市惠山区初一期末)【例题2】如图，将一条数轴在原点0和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”图中点A表示-10,点B表示10，点C表示18,我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位.动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿【小提示】做这类动点问题，先要标明每个点表示的数，然后弄清楚动点从哪里出发，朝什么方向，速度是多少，正确表示出动点的位置。具3】如图，已知线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为【例题4】阅读理解:t秒(t>0),点M为AP的中点.若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=2AM?若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点.当N为PB的中点时，求线段MN的长度；当PN=2NB时，是否存在这样的t,使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点.如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由.若A、B、C为数轴上三点，若点例如，如图1,点A表示的数为-C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A,B】的妙点.1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1，那么点C是【A,B】的妙点；又如，表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是【A,B】的妙点，但点D是【B,A】的妙点.ADCB-3-2-10123图1Af(-3-2；10123A12知识运用：如图2,M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2,点N所表示的数为4.(1)数所表示的点是【M,N】的妙点;(2)如图3,A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-40,点B所表示的数为20.现有一只电子蚂蚁P从点B出发向左运动，到达点A停止.P点运动多少个单位时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙【参考答案］o【解答】解：(1)T|a+2|+(3a+b)=0,a+2=0,3a+b=0,a=—2,b=6;(2)①若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,运动t秒后P点对应的数为-2+t,点A表示的数为-2,点B表示的数为6,.PO=2+t|,PB=|-2+t-6|=|t-8|,当PO=2PB时，有-2+t|=2|t-8|,解得t=6或14(舍去).答：点P的运动时间t为6;当点P运动到线段0B上时，—9~1-—2h—dAP中点F表示的数是■〃二,0B的中点E表示的数是3,所以EF=3-二"二上二22则、」’二「「二2.EF10-t—2相遇前PQ=1,(1+2)t=8-1,解得上二上3相遇后PQ=1,t=3或5;点Q返回到B,PQ=1,t=(8-D-1=7.综上所述，当PQ=1时，t的值是或3或5或7.故答案为：-2;6.【解答】解：(1)点？运动全点C时，所需时间t=10-2+10+1+8+2=19(秒),由题可知，P、Q两点相遇在线段0B上于M处，设0M=X.则10-2+x-1=8-1+(10-x)+2,解得x=•3故相遇点M所对应的数是〉.3P、0两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能:①动点Q在CB上，动点P在A0上，贝U：8-t=10-2t,解得：t二2.②动点Q在CB上，动点P在0B上，则:8-t=(t-5)X1,解得:t=6.5.③动点Q在B0上,动点P在0B上，贝U：2(t-8)二(t-5)X1,解得：t=11.④动点Q在0A上,动点P在BC上,则:10+2(t-15)=t-13+10,解得：t=17.综上所述：t的值为2、6.5.11或17.【点评】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用P0与BQ的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏.【解答】解：(1JTM是线段AP的中点，AM=■AP=t,2PB=AB-AP=24-2t./PB=2AM,.24-2t=2t,解得t=6.(2)①点P在B点左侧.M是线段AP的中点，PM=AP=t,2•••N是线段BP的中点，.PN=-BP=-(24-2t)=12-t.22.MN=t+12-t=12.②点P在B点或B点右侧.TM是线段AP的中点，•••PM=-_AP=t,2•••N是线段BP的中点,…PN=JLBP=_(2t-24)=t-12■22MN=t-(t-12)=12.⑶①Ovtv12TOC\o"1-5"\h\zQozio由题意得：PM=t,PN=$(24-2t),PM=PN,t=£(24-2t),t二竺.33—712vtv48由题意得：PM=t,PN=Z£t-24),PM=2PN,t=2xZ(2t-(24),t二竺.t>48由题意得：PM=t,PN=Z(2t-24),PN=2PM,盘(2t-24)=2t,t=-24(不成立)33答：当t二」吟P是答：当t二」吟P是MN的中点;当t二…时，N号MP的中点.【解答】解：⑴设所求数为X,由题意得X-(-2)=2(4-x),解得x=2;或x+2=2(X-4),解得x=10.故数2或10所表示的点是[M,NJ的妙点；故答案为：2或10.⑵设点P表示的数为y,分四种情况：P是【A,BJ的妙点.由题意，得y-(-40)=2(20-y),解得y=o,20-0=20;P是【B,AJ的妙点.由题意，得20-y=2