二阶线性微分方程理论及解法课件

二阶线性微分方程的理论及解法一、二阶齐次线性微分方程解的结构二、二阶非齐次线性微分方程解的结构三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法第三节11/21/20221二阶线性微分方程的理论及解法一、二阶齐次线性微分方程解的结二阶线性微分方程：时,称为二阶非齐次线性微分方程;时,称为二阶齐次线性微分方程.复习:一阶线性微分方程：通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y11/21/20222二阶线性微分方程：时,称为二阶非齐次线性微分方程;时,证毕.一、二阶齐次线性微分方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得（解的叠加原理）定理1.11/21/20223证毕.一、二阶齐次线性微分方程解的结构是二阶线性齐次方程的两注：未必是已知方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解！但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关性的概念.11/21/20224注：未必是已知方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐定义:是定义在区间I上的

n个函数,使得则称这n个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必须全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数11/21/20225定义:是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个☆

两个函数线性相关性的充要条件：线性相关线性无关常数注：0与任意函数必线性相关仅相差常数倍！11/21/20226☆两个函数线性相关性的充要条件：线性相关线性无关常数注：0定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则为该方程的通解.例如,方程有特解且故方程的通解为推论*.是n阶线性齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为11/21/20227定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则为该方程二、二阶非齐次线性微分方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①证毕！又Y中含有两个独立任意常数，即y是①的解.11/21/20228二、二阶非齐次线性微分方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为11/21/20229例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为11推广*.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解11/21/202210推广*.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.（非齐次方程之解的叠加原理）11/21/202211定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.（非齐次方程之解定理5.均是方程的特解.是方程的特解，则11/21/202212定理5.均是方程的特解.是方程的特解，则11/21/202常数,则该方程的通解是().设两个不同的函数都是一阶非齐次线性方程的解,是任意例1.11/21/202213常数,则该方程的通解是().设两个不同是任意常数,则该方程设是二阶非齐次线性微分方程的三个不同特解,且备用1.的通解是().11/21/202214是任意常数,则该方程设是二阶非齐次线性微分方程的三个不同特常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意备用2提示:线性无关.（反证法可证）不一定线性无关11/21/202215常数,则该方程的通解是().设线性无关例2.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三11/21/202216例2.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法和它的导数只差常数倍,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r

为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.11/21/202217三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法和它的导数只差常数倍,代2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解，u(x)待定.代入方程得:是特征方程的二重根取u=x,则得因此原方程的通解为11/21/2022182.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设3.当时,特征方程有一对共轭复根此时微分方程有两个复数解:利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为11/21/2022193.当时,特征方程有一对共轭复根此时微分方程有两个复数解总结:特征方程:实根特征根通解11/21/202220总结:特征方程:实根特征根通★

若含k重复根★

若含k重实根r,则其通解中必含则其通解中必含特征方程:推广*：n阶常系数齐次线性微分方程11/21/202221★若含k重复根★若含k重实根r,则其通解中例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例4.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为11/21/202222例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例4解特征方程为解得故所求通解为例511/21/202223解特征方程为解得故所求通解为例511/21/202223特征根通解解特征方程例69/1011/21/202224特征根通解解特征方程例69/1011/21/202224例7在下列微分方程中，以为通解的是(D)(2008考研)11/21/202225例7在下列微分方程中，以为通解的是(D)1、四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法2、根据解的结构定理，其通解为非齐次方程特解齐次方程通解11/21/2022261、四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法2、根据解的结构定求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.—待定系数法11/21/202227求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入1、设特解为其中为待定多项式,（其中为实数，为m次多项式）则代入得化简得11/21/2022281、设特解为其中为待定多项式,（其中(1)若非特征方程的根，故特解形式为则Q(x)为m次多项式，(2)若是特征方程的单根，为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,为m次多项式,故特解形式为即即11/21/202229(1)若非特征方程的根，故特解形式为则Q(x)为结论对方程①,*注：此结论可推广到高阶情形！(k是重根次数)当是特征方程的k重根时,可设特解11/21/202230结论对方程①,*注：此结论可推广到高阶情形！(k是重根次数)例7.的一个特解.解：本题而特征方程为不是特征方程的根.故设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为11/21/202231例7.的一个特解.解：本题而特征方程为不是特征方程的根.故解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例811/21/202232解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例备用.的通解.

解：特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为11/21/202233备用.的通解.解：特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设例9*.求解解：特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得对应齐次方程通解为故原方程通解为由初始条件得于是所求解为11/21/202234例9*.求解解：特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方2、第二步求出如下两个方程的特解分析思路*:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点（欧拉公式）11/21/2022352、第二步求出如下两个方程的特解分析思路*:第一步将f结论:对非齐次线性方程可设特解:其中*注：此结论可推广到高阶情形！11/21/202236结论:对非齐次线性方程可设特解:其中*注：此结论可推广到高例10.的一个特解.解：特征方程为故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数，得故特解因为11/21/202237例10.的一个特解.解：特征方程为故设特解为不是特征方程的例11.的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数，得因此特解为代入得通解为为特征方程的单根,故设非齐次方程特解11/21/202238例11.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解例12*.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为构造下列微分方程的特解形式：11/21/202239例12*.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形*.11/21/202240内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则思考题.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为11/21/202241思考题.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解二阶线性微分方程的理论及解法一、二阶齐次线性微分方程解的结构二、二阶非齐次线性微分方程解的结构三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法第三节11/21/202242二阶线性微分方程的理论及解法一、二阶齐次线性微分方程解的结二阶线性微分方程：时,称为二阶非齐次线性微分方程;时,称为二阶齐次线性微分方程.复习:一阶线性微分方程：通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y11/21/202243二阶线性微分方程：时,称为二阶非齐次线性微分方程;时,证毕.一、二阶齐次线性微分方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得（解的叠加原理）定理1.11/21/202244证毕.一、二阶齐次线性微分方程解的结构是二阶线性齐次方程的两注：未必是已知方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解！但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关性的概念.11/21/202245注：未必是已知方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐定义:是定义在区间I上的

n个函数,使得则称这n个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必须全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数11/21/202246定义:是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个☆

两个函数线性相关性的充要条件：线性相关线性无关常数注：0与任意函数必线性相关仅相差常数倍！11/21/202247☆两个函数线性相关性的充要条件：线性相关线性无关常数注：0定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则为该方程的通解.例如,方程有特解且故方程的通解为推论*.是n阶线性齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为11/21/202248定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则为该方程二、二阶非齐次线性微分方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①证毕！又Y中含有两个独立任意常数，即y是①的解.11/21/202249二、二阶非齐次线性微分方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为11/21/202250例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为11推广*.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解11/21/202251推广*.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.（非齐次方程之解的叠加原理）11/21/202252定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.（非齐次方程之解定理5.均是方程的特解.是方程的特解，则11/21/202253定理5.均是方程的特解.是方程的特解，则11/21/202常数,则该方程的通解是().设两个不同的函数都是一阶非齐次线性方程的解,是任意例1.11/21/202254常数,则该方程的通解是().设两个不同是任意常数,则该方程设是二阶非齐次线性微分方程的三个不同特解,且备用1.的通解是().11/21/202255是任意常数,则该方程设是二阶非齐次线性微分方程的三个不同特常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意备用2提示:线性无关.（反证法可证）不一定线性无关11/21/202256常数,则该方程的通解是().设线性无关例2.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三11/21/202257例2.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法和它的导数只差常数倍,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r

为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.11/21/202258三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法和它的导数只差常数倍,代2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解，u(x)待定.代入方程得:是特征方程的二重根取u=x,则得因此原方程的通解为11/21/2022592.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设3.当时,特征方程有一对共轭复根此时微分方程有两个复数解:利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为11/21/2022603.当时,特征方程有一对共轭复根此时微分方程有两个复数解总结:特征方程:实根特征根通解11/21/202261总结:特征方程:实根特征根通★

若含k重复根★

若含k重实根r,则其通解中必含则其通解中必含特征方程:推广*：n阶常系数齐次线性微分方程11/21/202262★若含k重复根★若含k重实根r,则其通解中例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例4.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为11/21/202263例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例4解特征方程为解得故所求通解为例511/21/202264解特征方程为解得故所求通解为例511/21/202223特征根通解解特征方程例69/1011/21/202265特征根通解解特征方程例69/1011/21/202224例7在下列微分方程中，以为通解的是(D)(2008考研)11/21/202266例7在下列微分方程中，以为通解的是(D)1、四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法2、根据解的结构定理，其通解为非齐次方程特解齐次方程通解11/21/2022671、四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法2、根据解的结构定求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.—待定系数法11/21/202268求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入1、设特解为其中为待定多项式,（其中为实数，为m次多项式）则代入得化简得11/21/2022691、设特解为其中为待定多项式,（其中(1)若非特征方程的根，故特解形式为则Q(x)为m次多项式，(2)若是特征方程的单根，为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,为m次多项式,故特解形式为即即11/21/202270(1)若非特征方程的根，故特解形式为则Q(x)为结论对方程①,*注：此结论可推广到高阶情形！(k是重根次数)当是特征方程的k重根时,可设特解11/21/202271结论对方程①,*注：此结论可推广到高阶情形！(k是重根次数)例7.的一个特解.解：本题而特征方程为不是特征方程的根.故设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为11/21/202272例7.的一个特解.解：本题而特征方程为不是特征方程的根.故解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例811/21/202273解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例备用.的通解.

解：特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为11/21/202274备用.的通